книги / Механика трещин

зависящий от перемещения тензор-градиент, вообще говоря, не обра­ щается в нуль при отсутствии деформаций, ибо он определяет и пово­ рот. В то же время компоненты тензора (1.4), как следует из процедуры их вывода, не зависят от поворота. Что же касается линеаризованного тензора деформаций, то он от поворота зависит.

Представление деформаций через перемещения в эйлеровых пере­ менных легко получается из приведенных формул. Действительно, до тех пор, пока рассматриваются лишь геометрические соотношения, понятия „исходное” и „деформированное” состояния чисто условны, и их можно поменять местами, полагая деформированное состояние исходным, а первоначальное - деформированным. Но при этом сле­ дует изменить знаки перемещений и углов поворота. Кроме того, чтобы сохранить прежний смысл рассматриваемых величин, необходи­ мо изменить знак у деформаций и, конечно, очевидным образом формулы для относительных удлинений и изменения объема. В резуль­ тате получаем

з

= (det[Ômn—2бшгг1) 1//2—1.

Перейдем теперь к описанию напряженного состояния тела. Среди различных возможностей мы отметим лишь две - те, которые приво­ дят к линейным уравнениям равновесия. Линейные уравнения равно­ весия (2.1.2) сохранятся, если в качестве напряжений взять компонен­ ты тензора напряжений (тензор Коши), отвечающие прямоугольным декартовым координатам Хк. В этом случае уравнения (2.1.2) выра­ жают условия равновесия прямоугольного параллелепипеда, мыслен­ но вырезанного из деформированного тела.

Итак, в эйлеровых координатах

где Fm- проекции внешних сил, отнесенных к единице объема дефор­ мированного тела.

Линейные уравнения равновесия можно ввести и в лагранжевых координатах. Возьмем в исходном состоянии объемный элемент тела в виде прямоугольного параллелепипеда, построенного на элементах 1п, и рассмотрим его грань с внешней нормалью 1К. В деформированном состоянии на данную грань (которая, вообще говоря, переместилась, повернулась и как-то деформировалась) извне будет действовать сила. Ее проекции, отнесенные к площади грани до деформации, обозначим через окт. Последние представляют собой компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (в книге [68. С. 81] указанные компоненты обозна­ чены как OjJj, . . .).

где Fm- проекции внешних сил, отнесенных к единице объема до деформации. В отличие от тензора Коши тензор Пиолы-Кирхгофа, вообще говоря, не симметричен (omn Ф опт). [Величины, входящие в уравнения (2.1.2), (1.7), (1.8), совпадают при исчезающих малых деформациях и поворотах.]

Приращение работы указанных „напряжений” над первоначально

Если работа А^не зависит от пути, по которому достигается данное поле перемещении, то она равна удельной потенциальной энергии деформации U0 (потенциальной энергии, отнесенной к единице объе­ ма до деформации). На основании (1.9) компоненты тензора ПиолыКирхгофа можно выразить через потенциальную энергию деформации:

В качестве примера можно привести выражение для потенциаль­ ной энергии через инварианты деформации е = t 1* + е22 + е33 и Д (что соответствует некоторому изотропному телу) [94]

Если здесь пренебречь членами, представляющими собой произведе­ ние более чем двух компонент тензора-градиента перемещения, получим выражение для потенциальной энергии линейно-упругого тела

Если равновесие тела устойчиво, то при вариации перемещений потенциальная энергия его деформации должна возрастать быстрее (убывать медленнее), чем работа внешних сил. Вследствие этого пол­ ная энергия должна возрастать, ее вторая вариация должна быть неотрицательной [68].

В рассматриваемом случае, когда в качестве внешних приняты силы, действующие на бесконечно малый выделенный элемент тела со стороны остальной его части, положительность второй вариации полной энергии в формуле (1.16) означает, по определению, устойчи­ вость материала.

Выведем еще формулу связи между удельной потенциальной энергией и напряжениями, аналогичную по смыслу формуле (1.10), но для эйлеровых переменных.

Определим изменение энергии ÔА0 в единичном кубе (0 < Х К< 1) при вариации перемещений. Энергия изменится вследствие работы напряжений, действующих извне на поверхность того элемента тела, который после вариации перемещений совпадает с указанным единич­ ным кубом, а также вследствие конвективного потока энергии - энер­ гии, переносимой точками тела, пересекающими границы куба. Таким образом,

где принято обычное правило суммирования по повторяющимся индексам (т, п = 1, 2, 3). В этой формуле А0- удельная энергия (энер­ гия в указанном единичном кубе) до вариации перемещений; onmкомпоненты истинных напряжений (компоненты тензора Коши), Ôишвариации перемещений.

Поскольку мы полагаем, что тело однородно, а энергия зависит лишь от деформации, при выводе искомой формулы можем считать деформированное состояние равномерным (не зависящим от коорди­ нат). При этом не зависят от координат компоненты напряжений и удельная энергия А0. Учитывая это, равенство (1.17) можно перепи­ сать в виде

ОХп

Заметим, что величины Ьитявляются лагранжевыми, а не эйлеро­ выми вариациями (они определяют приращение перемещений некото­ рых фиксированных точек тела, а не приращение перемещений в фик­ сированных точках пространства). Поэтому символы дифференцирова­ ния по эйлеровым координатам и варьирования здесь не перес-тавимы. В связи с этим перейдем к дифференцированию в правой части равен­ ства (1.18) по лагранжевым координатам. Имеем

Символы д/дхк и Ô можно переставить, в результате чего равенство (1.18) принимает вид

Теперь с помощью уравнений (1.19), записанных относительно перемещений ит можно выразить компоненты ди^дхк через эйлеро­

матрицы \\Атп\\.Замечая, что

~àX~m

Напомним, что здесь первый член представляет собой сумму выписан­ ных выражений по к(к = 1, 2, 3).

Основываясь на соотношениях (1.9) и (1.20), можно установить связь между компонентами тензоров Коши отп и Пиолы-Кирхгофа отп. Вначале предположим, что работа деформации потенциальна, напряженное состояние - равномерное. Удельная энергия U0, отнесен­ ная к единице объема до деформации, и удельная энергия А 0, отнесен­ ная к единице объема в деформированном состоянии, выражаются одна через другую очевидным образом [см. формулы (1.5), (1.6)]:

U0 = A0(A+\) = A0A = A0/A;

Используя одно из равенств (1.22) (U0 = A0, А), записанное в лагранжевых переменных, имеем

В формуле для вариации ÔА0 (1.20) выразим элементы атп через лагранжевы переменные. К искомой зависимости приводит следующая цепочка равенств:

àUrrJàx^Q^duJàX^

àum _ Акпди^/дхп

где Атг1Атг) - алгебраические дополнения элементов amrlamr) матри­

àU0=OnmÂПКÔ (дит/дхк) .

Сравнивая это с формулой (1.9), где Ail=U0> получаем искомую зависимость

Последнее равенство можно рассматривать как систему уравнений относительно компонентов опт. Разрешая ее, получаем выражение эйлеровых компонент через лагранжевы

Используя равенство U0 = A0/A (1.22), записанное в эйлеровых пере­ менных, имеем

Выразим вариацию

àA = - A mn&(durrJdX1)

через вариации в лагранжевых переменных. К этому приводит цепоч ка равенств

dUrrJdXnQKrftUm/dxK'9

А к т 6(ди^дХ^ = АарпЦди^дх) ;

^ 0= Y ° ™ aK"ô ( - ^ ) -

Вновь обращаясь к формуле (1.9) (4* = U0), получаем искомую зависи­ мость, выраженную в эйлеровых переменных,

а отсюда - обратную зависимость

Заметим, что соотношения (1.26), (1.27), (1.30), (1.31) между компо­ нентами тензоров Коши и Пиолы-Кирхгофа никак не связаны ни с за­ висимостью напряжений от координат, ни с потенциальностью работы деформации. Поэтому они справедливы независимо от того, выполня­ ются или нет высказанные ранее предположения, которые потребова­ лись лишь для использования формулы (1.20).

В частности, если повороты и сдвиги равны нулю, из указанных соотношений следуют формулы

О J J = {Е2+ 1)(£ 3 + 1)б11> ô 22 = (Е3+ 1)(£j + 1)о22>

®33 —(^1 0 (^2 ^ ^)®33>

где Ет- относительные удлинения, причем в данном случае

В заключение отметим, что если в материале отсутствуют внутрен­ ние положительные источники энергии, то однозначная зависимость напряжений от градиента перемещений (частным случаем которой является однозначная зависимость от деформации) влечет за собой существование потенциальной энергии. Действительно, предположим противное. Тогда в пространстве компонент градиента перемещений существует некоторый замкнутый путь, на котором энергия получает ненулевое приращение. Меняя направление обхода того же пути на обратное, обнаруживаем такое же по модулю приращение энергии, но другого знака, так как в любой точке контура компоненты cfmn сохраняются, а приращения компонент градиента перемещений изме­ няют знаки [см. формулу (1.9)]. Отсюда следует, что существует такой замкнутый путь, при обходе которого по определенному направлению происходит выделение энергии. Такое тело, если бы оно существовало, могло бы служить основным элементом вечного двигателя.

С этой точки зрения известное в литературе выделение идеально упругих (гиперупругих) материалов из общего класса упругих лишено реального физического содержания, по крайней мере для обычных „пассивных” материалов, деформация которых не сопровождается выделением энергии. Такое деление оправдано лишь для абстрактных моделей; одна из них возникает при эйлеровой интерпретации линей­ ной теории упругости.

§ 3.2. Лагранжева и эйлерова интерпретации линейной теории упругости

Как отмечалось в § 2.1, линейная теория упругости основана на предположении о малости деформаций и углов поворота. Сейчас мы отбросим это предположение (оно не выполняется в задачах о трещи­ нах) и посмотрим, чему соответствуют соотношения линейной теории при некоторых интерпретациях величин, которыми она оперирует.

Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точ­ ные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в ка­ честве компонентов напряжений omn> включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. §3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вслед­ ствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в осталь­ ном соответствующая механическая система внутренне непротиворе­ чива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произ­ вольных значениях компонент градиента перемещений форму­ лой (1.12).

Таким образом, если в задачах, рассмотренных в гл. 2 в рамках ли­ нейной теории упругости, внешние напряжения полагать компонента­ ми тензора Пиолы-Кирхгофа, то все уравнения и граничные условия сохраняются неизменными. Следовательно, неизменными сохраняются и решения этих задач, отвечающих теперь геометрически точной моде­ ли сплошной идеально упругой среды с указанной выше связью между