книги / Механика трещин

Видно, что при достаточно большой силе [ c j а > /(0)] после прихода сдвиговой волны к краю трещины последняя начинает расширяться с уменьшающейся скоростью [начальное значение скорости l(tj = с2 - - а/(0)] и ее край удаляется от точки приложения силы на расстояние /(°°) = с2/а.

Перейдем к плоской задаче. С целью упростить окончательные результаты воспользуемся приближенным описанием (1.30). Как было показано выше (см. также [86]), по крайней мере для дорэлеевской скорости трещины, результаты, следующие из приближенного описа­ ния, достаточно близки к точным. Ограничимся определением напря­ жений на продолжении трещины. Для кратности будем писать сх или с2 вместо с х* = (задача I) или с2* = 1/Ь2* (задача И), имея в виду, что значение этого параметра в окончательных результатах можно заме­ нить в соответствии с приведенными выше рекомендациями.

Пусть 0 < l(t) < CR. Напряжения на продолжении трещины о+ = о22 (задача I) или о+ = о 12 (задача II) определяются второй из формул (4.9),

В соответствии со сказанным в § 5.4 и формулами (3.15), (3.16)

л [\ CR dt

Подставляя это в формулу (7.6), получаем

H teiitt0) - x +xо)

(7.7)

X -X 0 - cM t- t0)

где параметр т* удовлетворяет уравнению

Для нагрузки общего вида о_ = o_(f, х) решение получается супер­ позицией. Его можно записать так:

x- c 1t 0

xH[Cl(t - t 0) - x + X0]o .(ï0, X0) dt0dx0 +

Как показал В. А. Сарайкин [85], при достаточно быстром росте силы, действующей на берега трещины, излучение волны отрицатель­ ных напряжений может приводить к торможению трещины.

Приведем еще решение, отвечающее постоянной равномерно распределенной нагрузке берегов трещины: 0_ = - о = const (х ^ /(f)). Решение можно получить суперпозицией, основываясь на зависимости (7.8). Для этого достаточно заменить Q на о и проинтегрировать правую часть указанного выражения по х 0 (по всему носителю). В результате найдем

Видно, что в отличие от антиплоской задачи здесь при ограничен­ ном критическом коэффициенте интенсивности напряжений скорость трещины должна стремиться к скорости волн Рэлея. В действитель­ ности, как показывают эксперименты, в условиях механического нагружения предельная скорость трещины оказывается существенно ниже скорости волн Рэлея [47, 49, 120]. Возможно это объясняется влиянием нагрева материала у берегов распространяющейся трещины, происходящего вследствие поглощения энергии, выделяющейся при разрушении [25, 47, 108].

ГЛАВА 6

ДИНАМИКА ТРЕЩИН

ВСРЕДАХ СО СТРУКТУРОЙ

В80-х гг были опубликованы точные решения задач о динамиче­ ском распространении разрушения в некоторых моделях линейно-упру­ гих сред со структурой. Основные цели исследований в этом направле­ нии - определение зависимости трещиностойкости материала от параметров его структуры и скорости трещины, а также выявление

иописание тех эффектов, которые не обнаруживаются в рамках клас­ сической сплошной упругой среды без структуры.

Начало было положено статьёй [100], где рассматривалась антиплоская задача о распространении трещины в решетке с квадратными ячейками. Антиплоской задаче посвящены, кроме того, статьи [101, 102]. В работе [41] дано решение задачи о динамике трещины при пло­ ской деформации решетки. Более простая задача из этого класса, позволившая провести наиболее полное исследование аналитически­ ми средствами, - одномерная задача о волне разрушения в цепочке [110]. Некоторые заключения, относящиеся к динамике трещин в средах со структурой довольно общего вида, сделаны в статьях [103, 104, 105]. В [39, 40] исследовано влияние анизотропии решетки. С тех же позиций и теми же методами исследовано распространение трещи­ ны в модели армированного (слоистого) материала [58] и в среде блоч­ ной структуры [106]. Роль структуры освещается также в работах [51, 52, 60].

Основное, что позволяет учет структуры, это возможность обна­ ружить волны, уносящие часть энергии от края распространяющейся трещины или от фронта волны разрушения. Параметры этих волн и создаваемый ими поток энергии оказываются существенно завися­ щими от структуры среды и от скорости распространения разрушения. Учет мощности излучения позволил выразить макроскопические критерии разрушения - энергетический критерий Гриффитса и сило­ вой критерий Ирвина - как функции скорости распространения разру­ шения, зависящие также от параметров структуры. Характерным для решеток является минимум трещиностойкости (минимум общей энергии, потребной для распространения трещины), достигаемый в районе половины критического значения скорости - скорости волны сдвига для антиплоской задачи и волны Рэлея для плоской. В работе [39, 40] установлено сильное влияние анизотропии на поток энергии, идущий в край трещины на макроуровне. Для армированного мате­ риала с относительно малой жесткостью связующего при распростра­ нении трещины разрыва волокон с собственно поверхностной энергией можно не считаться, так как ее вклад пренебрежимо мал по сравнению с энергией излучения, обусловленного структурой [58]. Это позволило выразить эффективную поверхностную энергию через прочностные, упругие и геометрические параметры композита.

Из результатов, приведенных в упомянутых работах, следуют принципиальная возможность распространения трещины со* сверхзву­ ковой скоростью, когда энергия, идущая на разрыв связей, отбирается лишь из ближайших слоев решетки [101], и неустойчивость распростра­ нения разрушения с малой скоростью (это относится, конечно, только к хрупкому материалу).

Задачи ставились как однородные стационарные (для наблюдате­ ля, движущегося вместе с фронтом разрушения). Рассматривались полубесконечные трещины (волна разрушения). Это, однако, не пре­ пятствует перенесению результатов и на конечные трещины, распро­ страняющиеся с переменной скоростью, если только масштабы на микроуровне много меньше соответствующих макроскопических. Бесконечные системы дифференциальных уравнений динамики решетки

уравнений равновесия можно выразить и* (v) через yKi, а затем, через те же параметры найти потенциальную энергию деформации связей решетки, приходящуюся на одну ячейку. Разделив эту энергию на объем ячейки, получаем зависимость для удельной потенциальной

энергии и0(уц , vt2,- ••Y33).

Определим эквивалентную сплошную среду без структуры той же зависимостью плотности потенциальной энергии от yKi, полагая послед­ ние компонентами градиента перемещения сплошной среды ик:

из решетки и из эквивалентной ей сплошной среды, и, приложив силы к их границам, подвергнуть их макроскопически равномерной дефор­ мации, получим (при равных силах) достаточно малые отличия в отно­ сительных перемещениях границ [вследствие ограниченности и£ (v)]. Иными словами, определенная так эквивалентная сплошная среда обладает той же упругостью, что и решетка при ее макроскопически равномерной деформации.

Для сплошной среды обобщенным координатам yKj соответствуют

где 0/к - компоненты (несимметричного) тензора напряжений ПиолыКирхгофа (см. § 3.1). Равенство (1.1) устанавливает связь между дефор­ мацией и напряжениями „эквивалентной” сплошной среды. При малых деформациях и поворотах, т. е. при yKi -*• 0 тензор 0/к переходит в сим­ метричный тензор напряжений 0/к. В этом предельном (линейном) случае

0/к ” ЕЫтпУтп

и, следовательно, упругие модули определяются так

à2 Uо

Щктп ” Етп1к Ек1тп Ек1пт

дУтпдУк! ’

Отсюда видно, что в общем случае имеется 21 постоянная; если же среда изотропна (если решетка эквивалентна изотропной среде), их число сокращается до двух (см. по этому поводу [68]).

если только деформация изменяется достаточно медленно в масштабах радиуса взаимодействия и размера ячейки. При распространении введенного выше соответствия на динамику необходимо потребовать, чтобы перемещения медленно изменялись не только по координатам,

но и во времени. Естественным масштабом времени для решетки является наибольший период длинноволновых „оптических” колеба­ ний (когда частицы в ячейке движутся преимущественно относитель­ но центра масс), частота которых не стремится к нулю с увеличением длины волны (см., например, [30]). Если это условие выполнено, то основной вклад в кинетическую энергию дает движение частиц вместе с центром масс ячейки, вследствие чего сохраняется (статическая) зависимость потенциальной энергии от ук/. При этом плотность сплош­ ной среды р0 определяется как средняя плотность масс в решетке. Осредняя тем же способом внешние силы, приходим к уравнениям динамики эеквивалентной сплошной среды - длинноволновому (низкочастотному) приближению для уравнений динамики решетки

где qK- проекции внешних сил, отнесенных к единице массы. Соответствие между дискретной средой и некоторой сплошной

можно установить и в более общем случае [42], когда неравномерность деформации и скорость ее изменения произвольны - не являются малыми. При этом, однако, сплошная среда по необходимости будет обладать другими свойствами, ее деформация не будет подчиняться уравнению (1.2).

О точном соответствии между функциями дискретного и непре­ рывного аргументов можно говорить, конечно, лишь в том случае, когда они совпадают в точках, где определена первая. Интерполяция вне указанных точек, вообще говоря, произвольна. Естественное дополнительное условие, делающее такую интерполяцию единствен­ ной, - минимальность ширины спектра функции непрерывного аргу­ мента, что достигается восстановлением ее по преобразованию Фурье над функцией дискретного аргумента.

Преобразование Фурье функции дискретного аргумента п и форму­ ла обращения имеют вид

где Вп- куб: - п< qK< п (показатель степени 2л перед интегралом равен размерности пространства). Интерполяция /(£), £ = (2^, Ё2> £3) определяется формулой (1.4), в которой пк полагаются непрерывными (заменяются на £к)

Отсюда преобразование Фурье функции непрерывного аргумента

fin

где ô(p) - дельта-функция Дирака в трехмерном пространстве [ô(p) = Ô(p1)ô(p2)ô(p3)], Явп(<?)= l(q € Bn), ЯВп = 0 (q e B n).

Пусть А - множество функций /(л), лк = 0, ± 1,. . . ; В - множество функций /(£), где £ - непрерывная вещественная переменная, таких что f F{q) = 0, если q ^ Вп. Тогда соотношения (1.3), (1.5) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между /(л) и /(£). Такое же соот­ ветствие имеет место и в отношении некоторых операций над ними.

Во-первых, если существует предел f F°(q) при q -►0, то

2 /(п) = ? / « ,

п-оо

Это следует из того, что между „изображениями” сверток (q ^ Вп)

Iftin) *f2(n)fo =ff°(q)fF°(q);

Ш) 4 2{l)f= h F(q)f[(q)

и„оригиналами” - самими свертками - существует взаимно одно­ значное соответствие, а изображения/ f 2(g) =f$2{q) при q ^ Вп.

Заменим в (1.7), (1.8) / 2(л) на / 2(-л ), / 2(£) на / 2( - £). Тогда из срав­ нения указанных равенств следует

В линейных системах энергия - квадратичная функция, и равенство (1.9) позволяет установить точное соответствие между дискретным и непрерывным описанием однородных систем; дискретной и непре­ рывной функциям, совпадающим при целочисленных значениях