книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

10.1.Нижние оценки критических чисел Рейнольдса . . 80

10.2.Плоскопараллельное движение тяжёлого слоя по

11.2.Устойчивость точного решения задачи о диффузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости . . . 87

11.3.Разрыв тангенциального напряжения на границе

Предисловие

Книга, которую Вы держите в руках, посвящена устойчивости. Это избитый и неопределённый термин. Он применяется и в житейском и в научном смысле. Все знакомы с такими понятиями, как «морально устойчив», «неустойчивый характер», «устойчивый банк». Все знают, что стол может быть устойчивым на трёх ножках и никогда не устойчив на двух.

В научном смысле при изучении устойчивости вводится объект исследования (геометрия тела, траектория спутника, течение жидко­ сти, стержневая конструкция). Этот объект снабжается некоторыми параметрами и мерами отклонения по этим параметрам. Кроме того, вводится класс возмущений со своими мерами, по которым можно судить насколько велики эти возмущения.

Каков бы ни был «реальный» объект исследования, при изучении устойчивости рассматривается только его математическая модель, т. е. в большинстве случаев проверяется устойчивость системы дифферен­ циальных уравнений с соответствующими граничными условиями и начальными данными1*.

Тем не менее, каждый объект исследования требует индивиду­ ального подхода и применения специального математического аппара­ та. Например, при рассмотрении динамических систем используются: качественная теория дифференциальных уравнений, эргодическая тео­ рия, теория фракталов и т.д. В последнее время исследуется переход детерминированной системы к хаосу (две произвольные начально­ близкие точки фазового пространства расходятся друг от друга так, что их будущее поведение становится уже непредсказуемым).

Вмеханике сплошной среды подходы к исследованию устой­ чивости в жидкости и в твёрдом деформируемом теле различны. В жидкости, как правило, рассматривается переход от ламинарного тече­ ния к турбулентному. Экспериментальное наблюдение такого перехода доступно каждому, кто будет постепенно открывать водопроводный кран.

Вупругих твёрдых телах интересуются существованием смежных форм равновесия системы, поэтому теория устойчивости упругих си­ стем может быть постамена в связь с теорией бифуркации Пуанкаре.

^Фундаментальные основы обшей теории устойчивости заложил в 1892 голу

Л. М. Ляпунов.

При рассмотрении неконсервативных задач упругости, а также неупру­ гих систем были разработаны другие подходы к исследованию устой­ чивости. Было установлено, что для некоторого класса возмущений система может быть устойчивой, а для другого класса — неустойчи­ вой. Однако в большинстве случаев потеря устойчивости в механике деформируемого твёрдого тела трактуется как скачкообразный пере­ ход в новое состояние. Такой переход называется прощёлкиванием, катастрофой, коллапсом и т.д.

В предлагаемой книге описан подход к исследованию устойчиво­ сти, который для некоторого класса задач объединяет подходы, приня­ тые при изучении, как жидкости, так и деформируемого твёрдого тела. Автор исследует не только течение классической вязкой жидкости, но и процессы деформирования вязкопластических, идеальнопластических сред, тел с достаточно сложными определяющими соотношениями. Это позволяет смоделировать течение металлов и полимеров при различ­ ных технологических режимах, поведение пластов земной коры в поле силы тяжести, течение нефте- и торфопродуктов в трубах и открытых каналах.

Автор затрагивает проблему «турбулизации» твёрдых тел со слож­ ной реологией. Математические основы этой проблемы были заложены А.А.Ильюшиным ещё в 30-е годы, но отложены в связи с начавшейся войной и необходимостью использования теории малых упругопласти­ ческих деформаций для решения срочных задач. В книге уделяется место и для трактовки устойчивости как непрерывной зависимости от «входных данных». Такая трактовка используется, в частности, при анализе разностных схем и вычислительных алгоритмов. Если же во­ прос об устойчивости системы решается численным методом, то важно знать, является наблюдаемая неустойчивость следствием «физической» неустойчивости или связана с неустойчивостью разностной схемы или численного алгоритма.

Обобщение второй методы Ляпунова на бесконечное число сте­ пеней свободы дал в своё время А.А. Мовчан. В книге даётся развитие его идей, касающихся понятия устойчивости по двум мерам. Вводят­ ся более общие понятия и определения. Думаю, что они послужат стимулом для дальнейших исследований в общей теории устойчиво­ сти. Уверен, что читатель не пожалеет, что приобрёл эту книгу. Она поможет ему ознакомиться с новейшими достижениями теории устой­ чивости вязкопластических течений и настроит на оптимистический лад в решении других важных проблем теории устойчивости.

Профессор Б. Е. Победря

Предисловие автора

Трудно даже перечислить все труды и монографии, посвящённые устойчивости движения абсолютно твёрдых тел, а также процессов де­ формирования сплошных сред. Начиная с классических работ Л. Эйле­ ра, Дж. У. Стретта (Рэлея), Г.Л.Ф. Гельмгольца, А. Пуанкаре, А. М. Ля­ пунова, Дж. X. Брайена, В. Ритца, У.Томсона (Кельвина), О. Рейнольд­ са, Н. Е. Жуковского, И. Г. Бубнова, эти вопросы глобально развивиались и в известных исследованиях учёных нашего столетия: С. П.Ти­ мошенко, Т. Кармана, Дж. И. Тейлора, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, Дж. Л. Сайнджа, Г. Б. Сквайра, Л. Д. Ландау, Л. Г. Лойцянского, Э. И. Григолюка, Л. X. Доннелла, С. Чандрасекара, Д. Д. Джозефа, Линь Цзя-Цзяо, И. И. Воровича, П.Дразина, Дж. Стюарта, В. В. Болотина, X. Л. Драйдена, А. С. Вольмира, Н. X. Арутюняна, А. Н.Гузя, Б. Е. Победри, В. Д. Клюшникова, С. А. Шестерикова, В. Г. Зубчанинова, А. Г. Ку­ ликовского, Н. А. Алфутова и других.

Как говорил Александр Михайлович Ляпунов, в устойчивости нет универсальных определений и критериев, нет ничего абсолютного, всё зависит от цели исследования и природы ожидаемой неустойчи­ вости в системе. Основная задача — выделение области изменения внешних параметров («управляющих параметров»), при которых дан­ ный физический процесс можно считать устойчивым в том или ином смысле относительно некоторого класса возмущений. Поэтому имен­ но механика, как феноменологическая часть естествознания, призвана формулировать критерии и классифицировать типы потери устойчиво­ сти процессов в природе.

С точки зрения математики теория устойчивости — часть ма­ тематической физики, изучающая вопрос о том, как решения систем дифференциальных уравнений ведут себя при изменении начальных данных, внешних параметров, материальных функций, а также струк­ туры самих этих систем. Применительно к уравнениям механики, описывающим движение абсолютно твёрдых тел и деформирование сплошных сред, обзор основных критериев и методов исследования устойчивости приведён в главе I этой книги. Большое внимание уде­ лено тому, что в системах с бесконечным числом степеней свободы необходим подходящий выбор а) класса возмущений основного про­ цесса; б) пространств с соответствующими мерами, ограничивающими возмущения различных величин. Понятие «устойчивость процесса по набору мер» — дальнейшее развитие предложенного А. А. Мовчаном и

ставшего за последние сорок лет уже классическим понятия «устой­ чивости по двум мерам». В §§2-5 даны возможные определения, на повестке дня формулировки достаточных и необходимых признаков, т.е. построение математической теории.

Существует два подхода для анализа начально-краевой задачи устойчивости в возмущениях. Первый из них основан на аналитико­ численном исследовании линеаризованной (локальной) либо нелиней­ ной (глобальной) системы уравнений в вариациях. Эффективность современных методов вычислений вместе с преимуществами новых поколений ЭВМ позволяют рассчитывать довольно сложные процессы и судить об их неустойчивости (получать точные критические значения безразмерных параметров). Однако в результате больших затрат мы часто получаем слишком много информации (возмущённое движение в любой момент времени в каждой точке пространства!), хотя затем используем только небольшую её часть. Эти затраты приводят к тому, что к настоящему времени полностью численно исследованы только простейшие одномерные стационарные сдвиги в рамках уравнений Навье—Стокса.

Второй подход, называемый энергетическим, базируется на ва­ риационной постановке глобальной задачи в возмущениях и проблеме минимизации функционалов. На преимуществах и недостатках этого подхода применительно к ньютоновским сдвиговым течениям довольно точно акцентировано внимание во введении к известной монографии Д. Джозефа «Устойчивость движения жидкости». М.: Мир, 1981. Все эти слова можно было бы повторить и здесь. Отметим лишь, что численный и энергетический анализы призваны не взаимоисключать, а дополнять друг друга для создания единой микро- и макрокартииы неустойчивости процесса.

В главе 2 книги выбран класс материалов с достаточно общими векторными и скалярными определяющими соотношениями, описы­ вающими внутреннюю реологию. Причина такой общности состоит в том, что в сложных технологических режимах связь тензоров напряже­ ний и деформаций или скоростей деформаций может непредсказуемо меняться, причём найти её экспериментально практически невозмож­ но. На большую роль правильного выбора определяющих соотношений в задачах устойчивости течений обратил внимание А. А. Ильюшин более полувека назад. Поэтому в подобных задачах необходимо вводить до­ пуск как на пороговый эффект, т.е. учитывать пластические свойства, так и на упрочнение материала.

Достаточные оценки устойчивости, полученные в главе 2 на осно­ ве энергетического анализа линеаризованных задач, довольно общие.

В главе 3 они уточнены для каждого конкретного вязко- и иде­ альнопластического течения (течения Куэтта и Пуазейля в плоском слое, Куэтта—Тейлора, диффузия вихревого слоя в полуплоскости, наследственно вязкопластический сдвиг). Здесь уже фигурируют не критические числа Рейнольдса, а критические кривые на плоскости: число Рейнольдса — безразмерный предел текучести при сдвиге.

В главе 4 исследованы некоторые имеющие самостоятельный практический интерес задачи о нестационарном движении вязко- и идеальнопластических сред в неканонических областях.

**

Автор выражает глубокую признательность профессору Борису Ефимовичу Победре за участие и постоянное многолетнее обсуждение результатов книги как на научно-исследовательских семинарах, так и в личных беседах.

Большую поддержку автору оказал член-корреспондент РАН Алексей Антонович Ильюшин.

Автор благодарен всем сотрудникам кафедры механики компо­ зитов МГУ, а также С. А. Довбышу и А. Н.Якивчику за помощь в оформлении оригинал-макета данного издания в AM«S-T£Xe.

Научная работа поддержана Российским Фондом Фундаменталь­ ных Исследований (проект № 96-01-01233).

Издание книги осуществлено при финансовой поддержке Феде­