книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Значения R { и т выбраны равными 10 и 1; кривым 1-4 соот­ ветствуют давления р^ = 8; 10; 15 и 20. Значения страгивающего и критического давлений в данном случае приближённо равны 7,976 и 16,55 соответственно. Для зависимости т(г) = 1/г, г > R кривые R(t) имеют аналогичный вид (р** « 3,464, р* « 39,63).

16.3. Влияние упрочнения. Пусть теперь т(г) = 0 и физичес­ кая нелинейность среды связана только с наличием F(U). Исследуем численно поведение пузырька для логарифмического и тригонометри­ ческого упрочнений29^ [93]

29)Часть численных расчётов для этих типов упрочнений выполнена В. А. Бого­ явленским.

функцией F в виде (16.15) качественно не отличаются от решений, приведённых на рис. 21. Значение критического давления Parctan в данном случае равно 2,66, что также во много раз ниже критического значения для вязкой жидкости.

Введение физической нелинейности окружающей пузырёк среды, как видно, существенно влияет на безразмерное критическое давление на бесконечности.

§17. Разгон и торможение тяжёлого вязкопластического слоя на наклонной плоскости

Плоскопараллельное движение тяжёлого вязкопластического слоя по наклонной плоскости принадлежит к числу классических и давно исследованных задач (см. обзор [26]). При таком движении область вблизи свободной поверхности слоя занята жёсткой зоной, которая присутствует всегда и может охватывать весь слой, если сдвиговых гравитационных усилий окажется недостаточно. Об устойчивости это­ го течения относительно двумерной картины возмущений идёт речь в §9. Проведены также обобщения данной задачи на случай вяз­ копластической жидкости с нелинейной вязкостью |125|, упругой сжимаемостью [200], а также двухслойное™ и стратифицированности течения [13, 31].

С другой стороны, выполнено много исследований по изуче­ нию движения фазовых границ при нестационарном сдвиге материала. Граничные условия здесь надо ставить на заранее неизвестной грани­ це, движение которой определяется в процессе решения (задачи типа Стефана). Достаточно полный обзор по неустановившемуся деформи­ рованию с учётом движения жёстких зон дан в монографии [155].

В данном параграфе определяются параметры нестационарного одномерного сдвига вязкопластического слоя на наклонной плоскости в поле силы тяжести, т. е. процесса разгона либо торможения. Находит­ ся изменение со временем толщины жёсткой зоны вблизи свободной границы, а также другие характеристики течения. Для сведения задачи с неизвестной границей к задаче с фиксированной во времени грани­ цей используется стационарное решение. Предлагается метод решения подобных задач, который проиллюстрирован на данном примере.

17.1.Постановка начально-краевой задачи и стационарный режим.

Вполе силы тяжести д (\д\ = д) имеется несжимаемый вязкопла­

t > 0 физическая область П, занимаемая материалом слоя, имеет вид П = {-00 < Х\ < оо, 0 < X} < h}. Нижняя граница ж3 = 0 неподвижна, а верхняя ж3 = h свободна от напряжений.

Определяющие соотношения вязкопластического материала с не­ линейной вязкостью записываются в форме (6.2), где М(U) = T(U)/U. В дальнейшем наряду с линейным скалярным соотношением T(U) = T S + fiU чкак и в задаче предыдущего параграфа, рассмотрим модели с логарифмическим (16.14) и тригонометрическим (16.15) упрочнением.

В базис обсзразмеривания естественно включить величины {p,i1,h}4не меняющиеся в процессе деформирования. Тогда два урав­ нения движения

вместе с условием несжимаемости, уравнениями (6.2) и соотношениями Стокса замыкают систему в области. Будем разыскивать решение этой системы в классе плоскопараллельных полей V\ = г;(ж3,£), vy = 0 так, что

Граничные условия при ху = 0, ху = 1 и на границе ху — £(£), отделяющей зону вязкопластического течения П / = { - о о < Х\ < оо .

быть согласованы). В силу неубывания функции VQ(X I) при Жз > S она постоянна.

Исследуем сначала данную задачу для линейного скалярного определяющего соотношения (материал Ильюшина—Бингама) T(U) = rs + /zE7. Задача (17.12) становится линейной:

тем самым создавая однородность граничных условий для u(y,t):

Решение начально-краевой задачи (17.15) в области с постоянны­ ми границами у = 0 и у = 1 можно разыскивать методом разделения переменных

В разложении (17.16) автоматически выполнены граничные условия (17.15).

Подставим ряд (17.16) в уравнение (17.15) в области и приравняем коэффициенты, зависящие от времени, при одинаковых степенях у . Получим

(17.18) следует, что Т^п обратно пропорционально fin. Поэтому в при­

представляет собой первое приближение по /г исходного уравнения (17.17) с соответствующими начальными и предельными условиями30^. Точное решение (17.19) имеет следующий вид

Поведение кривых £(£), определяемых (17.20), приведено на рис. 22. Видно, что если 3 < 1, то предельная толщина жёсткой

прослойки вблизи свободной границы экспоненциально стремится к своему значению в стационарном движении.

Второе приближение по /х означает учёт первого члена ряда T^t) в уравнении (17.17). Будем иметь

?(2-о(1-оа+2е(е-ч+м2,

2 V 0 - O

Разыскивая решение задачи (17.21) при t —>оо в виде £(t) = £°+7(0» где 7,7,7 —►0, получим следующее линейное уравнение с постоянными коэффициентами для т(t)

отрицательны для любого £° £ [0; 1], что опять же говорит об экспо­ ненциальном асимптотическом стремлении £(t) к £°. Таким образом, и в первом и во втором приближениях по /г предельные поведения системы качественно совпадают.

Задача о деформировании тяжёлого вязкопластического слоя с большой вязкостью на наклонной плоскости моделирует поведение геофизических структур, находящихся в гравитационном поле на на­ клонном ложе. Примерами таких структур могут служить снежнопыле­ вые лавины из мягкого снега [220], податливые участки верхних слоёв земной коры [176, 281], соляные породы в предельном состоянии [209], последождевые оползни почвы [183], ледниковые образования [182]. Для последних особенно характерно наличие массивной недеформируемой корки, занимающей до 95% толщины ледника, и тонкой сдвиговой зоны вблизи основания. На вязкопластическую природу льда обращает внимание Б. А. Савельев [181, стр. 166]: «Поскольку у льда не обнаружено предела длительной прочности, введём понятие «практически предельного состояния», при котором лёд настолько не­ значительно деформируется во времени, что дальнейшую деформацию

можно считать отсутствующей. ...можно определить длительное со­ противление т()л (фактически предел текучести при сдвиге — Д. Г.), что имеет большое значение при характеристике несущей способности ледяного тела во времени». Экспериментально найденные значения материальных функций для широкого класса льдов и снежных потоков лавинного типа приведены в [279] (см. обзор [149]).

17.3. Некоторые модели с нелинейным скалярным соотношением.

Рассмотрим деформирование вязкопластического слоя на наклонной плоскости в случае логарифмического скалярного соотношения

Согласно (17.9) стационарный профиль продольной скорости v°(x},t) имеет вид

vо У sin (3 - TS - exp (I - X j ) s i n j 3 —T S - S3,

а расход через поперечное сечение вычисляется по формуле (17.10). Начально-краевая задача (17.12) для функции v(y,t) ставится следую­ щим образом

Однородность граничных условий при у = 0 достигается заменой v(y,t) = u(y,t) + w(y,t), где ад удовлетворяет линейной задаче

в которой зависимость функции ад от t или £(<) имеет форму зависи­ мости от параметра.

Тригонометрическое упрочнение

означает, что максимальное касательное напряжение ограничено снизу и сверху двумя константами — rs и т3+ д, и материал при большой