книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdfВ. В. Козлов
МЕТОДЫ
КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Издание второе, исправленное и дополненное
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
2000
УДК 531
Козлов В. В.
Методы качественного анализа в динамике твердого тела. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000,
256стр.
Вмонографии излагаются современные математические мето ды качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точ кой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитичес ких интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической ме ханике.
Первое издание вышло в 1980 г. и давно стало библиографичес кой редкостью. В новое издание вошла работа В. В. Козлова, посвя щенная исследованию уравнений Дуффинга.
Издание выполнено при финансовой поддержке Удмуртского государственного университета
ISBN 5-93972-011-0
© Н И Ц «Регулярная и хаотическая динамика», 2000
http://www.rcd.ru
Содержание
Некоторые используемые обозначения................... |
8 |
От редакци и .......................................................................... |
9 |
Предисловие.......................................................................... |
11 |
Глава I. Несуществование аналитических интегра лов канонических систем, близких к интегри руемым
§ 1. |
Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии ана |
|
|
литических интегралов............................................. |
14 |
§ 2. |
Пример из динам ики................................................ |
22 |
§ 3. |
Несуществование частных аналитических интегра |
|
|
лов ................................................................................ |
25 |
§ 4. |
Приложение к динамике. Вынужденные колебания |
|
|
математического маятника...................................... |
30 |
Исторический о ч ер к ........................................................ |
35 |
|
Глава II. Задача о вращении тяжелого твердого тела
снеподвижной точкой как возмущение случая Эйлера —Пуансо
§ 1. |
Переменные действие-угол...................................... |
37 |
§ 2. |
Числа вращения и их свойства................................ |
44 |
§ 3. |
Невырожденность задачи Эйлера-Пуансо . . . . |
49 |
§ 4. Разложение возмущающей функции...................... |
51 |
|
Исторический о ч ер к ........................................................ |
53 |
|
Глава III. Неинтегрируемость задачи о вращении
несимметричного тяжелого твердого тела во
круг неподвижной точки |
|
§ 1. Структура векового м нож ества............................. |
55 |
4 |
Содержание |
§ 2. Задача о несуществовании нового аналитического |
|
интеграла |
...................................................................... 61 |
§ 3. Несуществование дополнительного интеграла, ана |
|
литического в специальных канонических перемен |
|
ных ................................................................................ |
63 |
§4. Несуществование дополнительного интеграла, ана литического в переменных Эйлера Пуассона . . 68
Исторический о ч ер к ........................................................ |
72 |
Глава IV. Динамические эффекты, препятствую |
|
щие интегрируемости уравнений движения не |
|
симметричного тела |
|
§ 1. Характеристические показатели. Теорема Пуанка |
|
ре о периодических реш ениях................................ |
74 |
§ 2. Возмущение равномерных движ ений ................... |
80 |
§3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйле
|
ра-Пуансо ................................................................... |
86 |
§ 4. Рождение изолированных периодических решений — |
||
|
препятствие к интегрируемости............................. |
97 |
§ 5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной |
||
|
задачи Эйлера-Пуансо............................................. |
98 |
§ 6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса |
АппельротаЮб |
|
Исторический о ч ер к ........................................................... |
106 |
|
Глава |
V. Несуществование однозначных интегра |
|
лов и ветвление решений в динамике твердого |
||
тела |
|
|
§ 1. Теорема о несуществовании однозначных интегра |
||
|
лов .................................................................................. |
107 |
§ 2. |
Доказательство теоремы 1 ......................................... |
111 |
§ 3. |
Приложение к задаче о вращении тяжелого твердо |
|
|
го тела вокруг неподвижной т о ч к и ......................... |
113 |
§4. |
Доказательство теоремы 2 ......................................... |
116 |
§ 5. |
Приложение к вынужденным колебаниям матема |
|
|
тического маятника...................................................... |
120 |
Исторический о ч ер к ........................................................... |
125 |
|
Содержание |
5 |
Глава VI. Принцип наименьшего действия и пери
одические решения в динамике твердого тела
§ 1. |
Аналог теоремы Хопфа-Ринова............................. |
130 |
§ 2. |
Аналог леммы Г аусса ................................................ |
137 |
S3. Либрации в системах со многими степенями свобо |
||
|
ды ................................................................................... |
140 |
§4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом
поле................................................................................ |
143 |
Исторический о ч ер к ....................................................... |
146 |
Глава VII. Вопросы качественного анализа движе
ния волчка Горячева —Чаплыгина
§ 1. Разделение переменных в случае Горячева-Чаплы
|
гина ................................................................................ |
149 |
§ 2. |
Динамические системы, возникающие на инвари |
|
|
антных торах задачи Горячева-Чаплыгина |
. . . 152 |
§ 3. |
Задача о собственном вращении............................. |
157 |
§4. Задача о движении линии у зл о в ............................. |
161 |
|
§ 5. |
Теорема о временных средних................................ |
167 |
Исторический о ч ер к ....................................................... |
170 |
|
Глава VIII. Финальные свойства интегралов от ква-
зипериодических функций |
|
|
§ 1. |
Уточнение одной теоремы Б о л я ............................. |
173 |
§ 2. |
Теорема о возвращении............................................. |
177 |
§ 3. |
Теорема о нулях......................................................... |
187 |
§4. Динамические системы с интегральным инвариан
том на торе................................................................... |
189 |
§ 5. Приложение к задаче о движении линии узлов |
в |
случае Горячева-Чаплыгина................................... |
195 |
Исторический о ч ер к ....................................................... |
197 |
Глава IX. Вопросы качественного анализа движе
ния волчка Ковалевской
§ 1. Динамические системы, возникающие на инвари
антных торах задачи Ковалевской.......................... |
199 |
6 |
Содержание |
|
§ 2. |
Собственное вращение ............................................. |
206 |
§3. |
Теорема о поведении циклических переменных в |
|
|
интегрируемых системах......................................... |
211 |
§ 4. |
Поведение линии узлов. Качественная картина вра |
|
|
щения волчка Ковалевской...................................... |
215 |
§ 5. Приложение к исследованию обобщенных лиувил- |
||
|
левых систем ................................................................ |
217 |
Исторический о ч ер к ....................................................... |
224 |
|
Л и тер а ту р а ............................................................................. |
226 |
|
Приложение. О периодических решениях уравне
ний Д у ф ф и н га ................................................................ |
234 |
Я дал лишь набросок этого метода, из которого, без сомнения, еще много можно извлечь.
А. Пуанкаре Аналитическое резюме
НЕКОТОРЫЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
R — множество всех действительных чисел. С — множество всех комплексных чисел.
Z — множество всех целых чисел.
N — множество всех натуральных чисел. 3 — «существует».
V — «для всякого».
ае А — элемент а из множества А.
АС В — подмножество А множества В. АП В — пересечение множеств А и В. AU В — объединение множеств А и В. А \ В — разность множеств А и В.
Ах В — прямое произведение множеств А и В
|
|
(множество пар (а, Ь) таких, что а £ В |
|
|
be В). |
R™ = R х ... х R — |
n-мерное вещественное линейное про |
|
R "{® i, ... , xnj — |
странство. |
|
n-мерное пространство с декартовыми |
||
|
|
координатами х\, ... , хп. |
S1, Т 1 — |
окружность, Sn — n-мерная сфера. |
|
Т " = Т 1 х ... х Т 1 — |
n-мерный тор. |
|
,ipn mod 2-л-} — |
n-мерный тор с угловыми координата |
|
|
|
ми ip1 , ... , рп, изменяющимися по мо |
|
|
дулю 2-7Г. |
|
А — |
замыкание множества А (но z — число, |
|
|
сопряженное с z). |
Int А — |
внутренность множества А. |
|
|
дА — |
граница множества А (дА = А \Int А), |
{а £ А : |
— множество элементов из А, удовлетво |
|
{а, Ь, с . . . } — |
ряющих условию £ . |
|
множество, состоящее из элементов |
||
|
|
а, Ь, с, . . . . |
п |
|
п |
i=l |
г=1 |
ОТ РЕДАКЦИИ
Вниманию читателей предлагается второе издание моно графии В. В. Козлова «Методы качественного анализа в дина мике твердого тела». Эта книга вышла 20 лет назад и давно стала библиографической редкостью. По сути дела она являет ся докторской диссертацией В. В. Козлова, защищенной в 1978 году.
Эта монография оказала существенное влияние на разви тие современной аналитической динамики и теории динами ческих систем. Ряд изложенных в ней результатов стали клас сическими, часто цитируются и развиты многими авторами
вразличных направлениях.
Впервых трех главах содержится решение проблемы Пу анкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несиммет ричного волчка, поставленной в знаменитых «Новых методах небесной механики». В четвертой главе рассмотрены динами ческие эффекты, препятствующие интегрируемости несим метричного волчка: рождение бесконечного числа невырож денных долгопериодических решений и расщепление сепарат рис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных яв ления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим
в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институ те машиноведения РАН, в котором демонстрируется превос ходство методов Пуанкаре над стандартными методами тео рии колебаний при изучении периодических колебаний в сис темах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением ре шений уравнений динамики в комплексной плоскости време ни и существованием новых однозначных первых интегра лов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Со временное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова «Симметрии, топология и резонансы в гамильто
10 От редакции
новой механике» (Ижевск, Изд-во Удмуртского университета, 1995).
В шестой главе развиваются вариационные методы из учения траекторий в областях возможных движений с краем. После теоремы Зейферта 1948 г. о либрациях в диске, основ ные результаты в этом направлении получены В. В. Козловым и С. В. Болотиным. Обзор достижений в этой области содер жится в работе В. В. Козлова «Вариационное исчисление в це лом и классическая механика» (Успехи математических наук, 1985, т. 40, вып.2, с. 33-60).
Заключительные главы 7-9 посвящены качественной кар тине вращения тяжелого волчка в наиболее сложных случаях интегрируемости Горячева-Чаплыгина и Ковалевской. Как ни странным кажется сегодня, но до работ В. В. Козлова эти задачи вообще не связывались с теорией условно-периодичес ких функций. Центральной здесь является глава 8 и особенно теорема о равномерной возвращаемости интеграла от двух частичной функции с нулевым средним. В. В. Козлов ставил вопрос о распространении этого результата на многочастот ный случай. Эта задача оказалась довольно трудной, и лишь недавно положительный ответ получен С. В. Конягиным для нечетных функций и Н. Г. Мощевитиным в общем случае. Бо лее того, как показал Н. Г. Мощевитин, свойство равномерной возвращаемости теряется уже для интегралов от трехчастот ных функций.
По прошествии двадцати лет книга является вполне со временной. Она не отягощена общностью и абстрактностью изложения, и ее смело можно рекомендовать молодым иссле дователям как введение в широкую область современных ка чественных методов.
1 января 2000 г. В. В. Козлову исполнилось 50 лет. В этом же году он был избран действительным членом Российской Академии наук. Со стороны НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» издание этой книги — скромный дар крупнейше му ученому и замечательному человеку, благодаря которому в России возникло целое научное направление.
Ижевск, октябрь 2000