книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

§ 5. Приложение к вынужденным колебаниям маятника 121

в этой задаче естественно поставить вопрос о существовании

Пусть Д, I2 — малый интервал R, содержащий точку 1°, а О — связная окрестность контура 7 в С х С, П(а) С О С С П(S), 0 < s < S, такая, что при всех I £ (Г , 12) мероморфная функция / ( / , ip) не имеет полюсов в области О. Здесь мы положили

П(р) = {(ф> t) е С х С : |1шф| < р, |1т£| < р}.

Теорема 3. Канонические уравнения с функцией Гамиль­ тона (5.1) не имеют однозначного интеграла t,p), аналитического в прямом произведении (Г , 12) х О х (—г, е).

Доказательство.

Прежде всего заметим, что функция S (I , <р, t, р) аналитична в области Д х О х (—е, г), где

Д = { / £ С : R e / £ (/{, 1'2), |bn/| < v },

интервал (1[, Г2) содержит 1° и лежит внутри (Д, I2), a v — малое положительное число.

Если (I, ip, t) £ Д х О, то этот ряд сходится при малых значе­ ниях параметра р. Покажем, что So не зависит от перемен­ ных (p u t. Действительно, если (I, t) £ (h , I2) х Т 2, то из невырожденности невозмущенной системы вытекает, что So не содержит <р, t (§ 3,4 гл. I). Если же (<р, £)£П, то это утверж­ дение следует из связности области Q.

Докажем теперь, что dSo/dl = 0 в интервале (I\, I2). Согласно теореме Пуанкаре [1, 3] решения возмущенной

задачи можно разложить в сходящиеся ряды по степеням па­ раметра р вдоль контура Г:

= | [eitn i ° , (j t ) - e ~ itf ( I 0,ut)].

Рассмотрим значение функции Ж на решениях (5.3). Прира­ щение h этой функции после обхода контура Г можно разло­ жить в сходящийся степенной ряд:

h — ho + phi + . . . .

Разложим возмущающую функцию Ж\ в двойной ряд Фу­ рье (см. § 4 гл. I)

Жх = Y s H™ A I)ei{m,p+t) +

С другой стороны,

Жх = \[еаН1, 4>)+e~af{I , ф)\.

Так как 1° £ то и>(1°) = 1/п , п £ Z \ {0}, (§ 4, гл. I) и, сле­ довательно,

(Т\ — iTН —л?1,

Согласно определению векового множества £$ коэффициен­ ты Н -п,1 = Н Пу- 1 отличны от нуля, поэтому комплексно­ сопряженные интегралы <TI и <Т2 тоже не равны нулю. Пред­ положим, что г) = 0. Тогда равенство (5.6) дает

и, следовательно, а = 0. Но это не так.

Воспользуемся определением приращения функции Ж ,

Жо{1° + n il1( т ) + £ ) + • • • ) + fxMi(1° + . . . ,

0j(I°)t + . . . , Ь )-Ж о (1° + f i l 1( r ) + . . . ) -

—+ ... , w(I°)t + . . . , t) = ЦТ] + . . . .

Разлагая левую часть этого тождества в степенной ряд по /и и приравнивая члены при первой степени ц, получим, что

1] = дЖ0( ~ д Г С

Так как JJ ф 0, то £ ф 0. Итак, действительно, функция / 1(^) неоднозначна вдоль Г.

Используя непрерывную зависимость решений от началь­ ных данных, легко получить, что / 1(i) неоднозначна вдоль

ван Ж. Лагранжем и С. Пуассоном. Позднее К. Г. Якоби дока­ зал, что в этих случаях общие решения уравнений движения являются однозначными мероморфными функциями времени, рассматриваемого как комплексное переменное [22, 40].

Опираясь на этот результат, С. В. Ковалевская поста­ вила следующую задачу: найти все случаи, когда общее ре­ шение задачи о тяжелом твердом теле с неподвижной точ­ кой представляет собой функции, мероморфные во всей плос­ кости комплексного времени. В результате исследований С. В. Ковалевской выяснилось, что эти случаи весьма немного­ численны: к классическим случаям Эйлера - Пуансо и Лагран­ жа-Пуассона надо добавить еще один случай, когда А = В = = 2С, z = 0 (случай Ковалевской).

В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет до­ полнительный первый интеграл, что и обеспечило возмож­ ность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных (переменные Эй­ лера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополни­ тельные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее ре­ шение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраичес­ кий интеграл. Этот результат, естественно, поставил об­ щую задачу о связи между существованием алгебраических ин­ тегралов аналитических систем дифференциальных уравне­ ний и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41].

Выяснилось, однако, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие контрпримеры для гамильтоно­ вых систем с двумя степенями свободы.

где f ( z ) — многочлен не ниже пятой степени. Система ка­ нонических уравнений с гамильтонианом (1) имеет два неза­

однозначна и мероморфна во всей комплексной плоскости С. Утверждение доказано.

Предположим теперь, что система с гамильтонианом (2) имеет независимый от функции Ж алгебраический интеграл ■^{'РлРШлЦъ)- Тогда при фиксированном значении h функция

есть алгебраический интеграл системы уравнений (3). Следо­ вательно, уравнение (4) имеет интеграл, являющийся алгеб­ раической функцией по <j2, 92, t, и, что то же самое, уравне­ ние (5) имеет интеграл, алгебраический по х, х, t. Однако, как доказал Пенлеве [41], такого быть не может.

Вернемся к динамике твердого тела. Теорема С. В. Кова­ левской о мероморфных общих решениях была существенно усилена А. М. Ляпуновым [42] и Г. Г. Аппельротом [43], дока­ завшим, что общее решение уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляется од­ нозначными (в частности, мероморфными) функциями време­ ни t&C только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ко­ валевской. В этих случаях дополнительные интегралы, как

иклассические интегралы, являются многочленами, т. е. рас­ сматриваемые как функции многих комплексных переменных, они однозначны в прямом произведении комплексных плоскос­ тей. Эти результаты указывают на целесообразность рас­ ширения задачи Пенлеве: какова связь между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего ре­ шения?

Формально задача Пенлеве об алгебраических интегралах

имероморфных решениях не включается в эту задачу, так как алгебраические функции в общем случае неоднозначны. Однако следует отметить, что при доказательстве отсут­ ствия алгебраических интегралов уравнений задачи о тяже­ лом твердом теле основная трудность состоит в доказатель­ стве несуществования дополнительного интеграла, являюще­ гося отношением двух многочленов (или просто многочленом), который, конечно, однозначен [44]. Кроме того, свойство сис­ темы аналитических дифференциальных уравнений иметь ал-

гебраические интегралы в сильной степени зависит от выбора координат.

Наличие неоднозначных решений накладывает сильные ограничения на однозначный первый интеграл. Действитель­ но, пусть решение z(t), z £ С п неоднозначно вдоль некоторого контура Г С С; т. е. функция z(t) после обхода контура Г по­ лучает приращение £ ф 0. Если f(z ) — однозначный интеграл, то, очевидно,

f(z (r ) + £ ) = f(z(r)), т G Г.

Пример канонической системы с гамильтонианом (1) показы­ вает, что из неоднозначности общего решения еще не выте­ кает несуществование однозначных первых интегралов. Одна­ ко, как утверждает теорема 1 , если на ветвление решений наложить дополнительные условия, которые выполняются в общем случае, то из неоднозначности общего решения вы­ текает отсутствие дополнительных однозначных интегра­ лов гамильтоновых уравнений.

Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательст­ ве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периоди­ ческих решений (§ 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однознач­ ных интегралов (§ 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости урав­ нений динамики твердого тела.

Глава V I

Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела

Натуральная механическая система — тройка (М, ds, У), где М — гладкое n-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы S = (ds/dt)2/2), У — глад­ кая функция на М (потенциал поля сил). Движения натураль­ ной системы — это отображения т : Д —> М (Д — интервал в R ), удовлетворяющие в локальных координатах на М урав­ нениям Лагранжа с лагранжианом Jz? = S + У. Так как форма S положительно определена, то движение m(t) с начальными

условиями т{0) = а£М , J^m(0) = v (v — касательный вектор

к М в точке а) существует и единственно (подробности см. в [4, гл. IV]). Уравнения движения имеют первый интеграл — интеграл энергии: S — У = h. При каждом фиксированном значении h движение происходит в области D = {h + У ^ 0}, которая называется областью возможных движений.

§ 1. Аналог теоремы Хопфа-Ринова

Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби движения натуральной механической системы внутри облас­ ти D являются геодезическими линиями метрики dp2 = (h +

+ y ) d s 2.

Когда h > т а х м (—У), то D совпадает с М и (D , dp) — риманово многообразие. В противном случае граница 3D об­ ласти D не пуста, и метрика Якоби dp имеет на 3D особен­ ность (длина кривых, лежащих на границе, равна нулю).

Пусть q = (qi, ... , qn) — некоторые локальные коорди­ наты на М .