книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Тогда для любых е > 0 и Щ существует N > 7V0 такое, что |5jv(a, ф)\ < г для всех <рG S1.

В качестве примера рассмотрим колебания упругой стру­ ны длины d\ пусть а — скорость распространения возмуще­ ний. Предположим, что в начальный момент времени 7 = 0 струна неподвижна, левый конец постоянно закреплен, а пра­ вый начинает совершать периодические колебания по закону /(7) (/(0) = 0) с периодом Т. Задача определения вынужден­ ных колебаний струны при 7 ^ 0 является смешанной задачей для волнового уравнения

Обозначим решение через и(7, х).

Нетрудно доказать, что если отношение d/(aT) рацио­ нально, то на струне существуют точки х = £ такие, что и(7, £) —»■оо при 7 —»■оо («параметрический резонанс»).

Теорема 3. Предположим, что d/aT иррационально, функция f из класса С2. Тогда для любых е > 0 и тсуществу­ ет 7 > т такое, что |и(7, х)\ < е для всех х G [0, d\.

Доказательство.

Используя основное свойство характеристического парал­

Покажем, что теорема 4 неверна, если функция / толь­ ко непрерывна. Мы воспроизведем здесь с точными оценками пример Пуанкаре [75, 76], о котором говорилось в начале этого параграфа.

Положим

Следовательно, на каждом компактном множестве R ряд (2.8) мажорируется некоторым сходящимся рядом с положитель­ ными членами и, стало быть, равномерно сходится к неко­ торой непрерывной функции. Отсюда, согласно известной те­ ореме о производной функционального ряда, функция g — G принадлежит классу С 1.

Если g(p) имеет производную в точке р = р', то функция G(p) также дифференцируема при р = <р'. Однако G(p) — классический пример функции, не имеющей производной ни

§ 3. Теорема о нулях

Теорема 5. Пусть f непрерывна и имеет две непрерыв­ ные производные по р 2, А = 0, а отношение частот wi/w2 иррационально. Если f(p l, р 2) ф 0, то VT > 0 3ii, t2 > Т : I{t\, р\, р 2) > 0, I{t2, (pi, p f) < 0.

Следствие (теорема о нулях). Пусть выполнены усло­ вия теоремы 5. Если f ( p l , р 2) ф 0, то функция I(t, (pi, ip2) имеет бесконечно много нулей при t —>■оо.

Доказательство теоремы 5.

Расстояние d{ax, а2} между точками ах, а2 £ Т 2 будем определять в метрике

ds2 = dp\ + dp\.

Докажем сначала, что

Рассмотрим на Т 2 окружность S1 = {{р х , р 2) : р \= р \] и на ней функцию

Х / ш г

f{(jj\t + р\, ux2t + х )dt.

о

188 Глава 8

Так как за время t, кратное l/wi, точка (uit + ipi, ei21 + <p2) снова вернется на S'1, то

П—1

/(nwj-1, <^2) = X] F (ka + vh <Pi), a = w2M - k=l

Функция F G C2(S1) и

Jl F(x, <fii)dx = 0.

0

Предположим, что a G K 2. По лемме 5 для фиксированного у® существует непрерывная функция Ф(ж) на S 1 такая, что

/(n w f1, у»?, <£>°) = Ф(па + ч>%) - Ф(¥>2)-

Так как точки на S 1 с угловыми координатами па+(р% (п G Z) всюду плотны, то для случая а £ К2 утверждение (3.1) дока­ зано.

Если a G К\, то по лемме 6 существует бесконечно мно­ го натуральных чисел N, удовлетворяющих при некоторых целых т неравенству |N a —т\ < IV-3/ 2, таких, что

Так как N может быть выбрано сколь угодно большим, то из (3.2) и (3.3) следует (3.1). Утверждение (3.1) доказано пол­ ностью.

Обозначим через Up окрестность точки (у>°, <£>2) радиуса р > 0. Пусть, для определенности, /(у ? , у’г) > 0- Тогда в неко­ торой области Us функция / > 7 > 0, 7 = const. Существуют е > 0 и /3 > 0, зависящие от д, такие, что если в момент времени t = т точка (ш\т + <р°, ш2т+ <р%) £ USo, то {w\t + + <р°, oj2t + <p2) & Us при т— (3 < t < т+ (3. Следовательно, если е < £0, то согласно (3.1) существуют сколь угодно большие т такие, что

|Т(т, <р°, ipl)I < е, i(t , <р°, ср°) = f(u>it + <р°, ui2t + vl) > 7

при т — (3 < t < т + (3. Так как постоянные £0, 7 и (3 не зависят от £, то при малых £ функция I(t, (pi, <£>2) принимает значения

a I(t, 0, 0) —»■ +оо при t —»■ + 00. Более того, нетрудно пока­ зать, что I(t, 0, 0) > 0 при t > 0. Это вытекает из следующего утверждения: если (Л + 1)/2 < А < Л, то

при t > 0. Действительно, если 0 < t ^ 7г/2, то, очевидно,

щ> 0. При доказательстве леммы 7 было установлено, что

§ 4. Динамические системы с интегральным инвариантом на торе

Рассмотрим на двумерном торе Т 2{(рг, <р2 mod 1} систе­ му дифференциальных уравнений

(G — измеримая область на Т 2). Всюду ниже предполагает­ ся, что Fi, F2, U — аналитические функции на Т 2, причем U > 0, F 2 + F l > 0 (т. е. система (4.1) не имеет положений равновесия). Общая теория уравнений (4.1) восходит к Пуан­ каре [75]. Основные результаты более поздних исследований можно найти в книгах [20, 80].

Уравнения (4.1), имеющие интегральный инвариант (4.2), часто встречаются при качественном анализе динамических

Предположим, что эта система имеет интегральный инва­ риант с плотностью А (ж) > 0 и п — 2 аналитических первых интеграла Фх(ж), ... , Фга_ 2(ж). Пусть на инвариантном мно­ жестве

М = {х e R B : Ф1(ж) = ci, ... , Ф71—2(ж) = Сп- 2}

функции Фх, ... , Ф„_2 независимы и на М нет положений равновесия системы уравнений (4.3). Если L — связная ком­ пактная компонента множества М , то

a) L — аналитическое двумерное многообразие, аналити­ чески изоморфное Т 2;

с) система уравнений на L обладает интегральным инва­ риантом с положительной аналитической плотностью.

Действительно, с точностью до аналитического изомор­ физма L совпадает с двумерным тором как всякое связное,