книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

В.И.Шалашилин

Е.Б.Кузнецов

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И НАИЛУЧШАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ

в прикладной математике и механике

Эдиториал УРСС Москва, 1999

7.3.Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач. 181

Введение

С момента выхода в свет первой книги (Э. И. Григолюк, В. И. Шалашилин. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988), в которой были систематически изложены основы метода продолжения решения по параметру, прошло десять лет. За это время существенно расширилось понимание возможностей метода. Если раньше он рассма­ тривался как метод построения множества решений нелинейных задач с параметром, то теперь наступило понимание, что алгоритм продолже­ ния по параметру может быть эффективно использован для построения любых однопараметрических множеств. Это существенно расширило круг задач, к которым метод может быть с успехом применен.

Простейшим из таких множеств является кривая, которая может быть решением самых разных задач, в частности, задачи Коши для обык­ новенных дифференциальных уравнений (ОДУ), задачи интерполяции и аппроксимации кривых и т.п. Исследования в этом направлении привели к очень интересным результатам, главным из которых являет­ ся осознание и доказательство того факта, что наилучшим параметром продолжения решения является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой, которая этим решением является.

Реализация продолжения решения с использованием такого наилуч­ шего параметра названа нами наилучшей параметризацией и рассмотрена для различных классов задач: в главе 1 для нелинейных задач с параме­ тром, в главах 2, 3 для начальных задач для ОДУ, в том числе и жестких, в главах 4, 5 для дифференциально-алгебраических и функционально­ дифференциальных уравнений.

Одним из удивительных для нас самих результатов оказалось то, что в задаче Коши для нормальной формы ОДУ переход к наилучшему параметру осуществляется с помощью аналитического преобразования, названного нами Л-преобразованием.

Другим результатом, рассмотренном в главе б, который хотелось бы отметить, является разработка общего подхода использования наилучше­ го параметра в задачах параметрического приближения.

В главе 7 рассмотрена возможность использования продолжения по параметру при построении более сложных однопараметрических множеств — множеств решений нелинейных краевых задач для ОДУ с параметром.

И, наконец, в главе 8 продолжение по наилучшему параметру ис­ пользовано для продолжения решения в окрестности особых точек.

тельное и благожелательное обсуждение результатов, а также В. А. Треногину и В. В. Дикусару, взявших на себя труд внимательно ознакомиться с рукописью и высказавших ряд очень полезных замечаний. Нельзя также забыть о поддержке на всех этапах работы, которую оказал безвременно ушедший В. В Поспелов.

Основные научные результаты, представленные в монографии, полу­ чены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (шифр проекта №97-01-00091) и Минобразования (шифр проекта №97-0-1.8-90).

Глава 1

Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения с параметром

Множества, непрерывно зависящие от одного параметра и диффе­ ренцируемые по этому параметру, являются решением многих типовых математических задач. Простейший пример такого множества — это непрерывная и гладкая кривая в многомерном пространстве. Она может быть решением системы нелинейных уравнений с параметром, инте­ гральной кривой задачи Коши для системы обыкновенных дифферен­ циальных уравнений (ОДУ), интерполирующей или аппроксимирующей кривой и т. д.

В этой главе мы рассмотрим процесс построения кривой как ре­ шение системы нелинейных уравнений, содержащих параметр. Это позволит нам не только наглядно продемонстрировать идею и метод продолжения решения по параметру, но и сохранить историческую пре­ емственность, поскольку сам этот метод был впервые сформулирован как раз для таких задач. Более сложным примером непрерывного и диф­ ференцируемого однопараметрического множества является множество решений краевой задачи для системы ОДУ с параметром. Он будет рассмотрен в седьмой главе.

I .I . Две формы метода продолжения решения по параметру

Рассмотрим систему из п нелинейных алгебраических или транс­ цендентных уравнений относительно п неизвестных х \,х2, ... ,х„, со­ держащую параметр р. В п-мерном евклидовом пространстве К" эту

Нас будет интересовать поведение решения системы (1.1) при из­ менении параметра р. Пусть для некоторого значения р = ро известно

8 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

решение ®(0) = 0е1(0). *2(0). • • •»*п(0)) уравнения (1.1), т.е.

Введем пространство Rn+1 : {®, р}, дополнив пространство К" коор­ динатной осью, по которой будет отсчитываться параметр р. Рассмотрим

окрестность U точки (®(о), Ро) € RB+I в виде прямоугольного паралле­ лепипеда с центром в точке (я(о)> Ро)- Свойства решений системы (1.1) в этой окрестности устанавливает известная теорема о неявных функ­ циях (см., например, [61]). В ней доказывается, что если выполнены

2)в U существуют непрерывные частные производные от Р) (* = 1, п) по всем аргументам ®< (»' = 1, п) и параметру р;

3)уравнение (1.1) удовлетворяется в точке (®(о),Ро)> т.е. выполняется равенство (1.2);

4)в точке (i(o),Po) отличен от нуля якобиан det(J) вектор-функции F, матрица которого является матрицей Якоби и имеет вид

также непрерывны в этой окрестности.

Таким образом, теорема о неявных функциях устанавливает, что при выполнении условий 1-4 решение системы (1.1) в некоторой окрестности точки (®(о)>Ро) образует единственную гладкую кривую К,

которая имеет параметрическое представление (1.4) и проходит через точку (®(0),Ро)-

к ро значении р\, мы можем продвинуться вдоль кривой К . При этом, конечно, точка (x ^ ,p i) должна находиться внутри некоторой окрест­

ности точки (ж(о), Ро)- Иными словами, мы можем из точки (®(о)>Ро) однозначно продолжить решение в пределах некоторой ее окрестности. Если условия 1-4 выполняются в окрестности точки то ре­ шение снова можно продолжить и т.д. Таким образом, условия 1-4 достаточны для того, чтобы решение системы (1.1) образовывало в про­ странстве Кп+| непрерывную гладкую кривую К. А это позволяет получить решение (х^,р*), двигаясь вдоль этой кривой от известного решения (х(0),Ро)> как это показано на рис. 1.1 для случая трехмерного

пространства К3 : {х[,Х2,р}. Этот процесс как раз и реализует метод продолжения решения по параметру.

Условия 1-3 не слишком ограничительны и выполняются в боль­ шинстве прикладных задач. Точки, в которых выполняются также и усло­ вие 4, т. е. det(J) Ф 0, будем называть регулярными, а точки, в которых det(J) = 0, назовем особыми. Как будет видно в дальнейшем, в осо­ бых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может оказаться неоднозначным, т. е. появляется возможность разветвления кривой К множества решений системы (1.1).

Сама идея продолжения решения известна и используется в ма­ тематике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в основе известного метода возмущений (метода

10 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

малого параметра), первые применения которого восходят к работвм У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).

Эта идея также неоднократно использовалась для доказательства существования решений нелинейных уравнений. Схема такого доказа­ тельства обычно следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится параметр р так, чтобы при начальном значении параметра, например, при р = ро, решение уравнения было известно, а при р — Ръ урав­ нение обращалось в исходное. В этом случае вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерыв­ ной кривой К. Обзор работ математического характера с подобным применением идеи продолжения решения дан в [91]. В теории пла­ стин конечного прогиба такой способ доказательства успешно приме­ нил Н. Ф. Морозов [42, 43, 44, 45, 46]. Он ввел параметр р в виде множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля— Кармана и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при р = 0 и р = 1. Таким образом, параметр р использован для по­ строения непрерывного топологического преобразования от линейных операторов, соответствующих уравнениям Жармен—Лагранжа и плоской задачи теории упругости (р = 0), к нелинейным операторам уравнений Феппля—Кармана (р = 1).

Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [103] (1934 г.). Он ввел в транс­ цендентное уравнение Н(х) = 0 параметр р и, таким образом, свел его к уравнению вида (1.1). Причем параметр был введен так, чтобы

по последовательности значений параметра ро < Pi < Р2 < ••• < Pk> М. Лаэй предложил строить решение для каждого р,- (» = 1, к) методом Ньютона—Рафсона, использую решение для предыдущих значений р,_| в качестве начального приближения.

Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить централь­ ную для метода Ньютона—Рафсона (а равно и для любого итерационного метода) проблему выбора начального приближения, которое должно быть выбрано достаточно близким к искомому решению. Действительно, если на кривой К множества решений уравнения (1.1) нет особых точек, то всегда можно выбрать шаг движения по параметру р таким малым, чтобы искомое на г-м шаге решение x(pfi и его начальное приближе­ ние ®(p,-_i) были достаточно близки друг к другу, и условия сходимости метода Ньютона—Рафсона по выбору начального приближения были обеспечены. Эго следует из непрерывности и гладкости кривой К. Позднее в работе [104] М. Лаэй распространил этот подход на системы уравнений.