книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

—---------- Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

если она удовлетворяет второму граничному условию В у9? 1\ х 2) = Ъ,

которое с учетом принятых обозначений сводится к линейному алгебра­ ическому уравнению

Уравнение (7.29) представляет систему из I линейных алгебраичес­ ких неоднородных уравнений относительно I+1 неизвестных компонент

Здесь д^ ^ — частное решение неоднородного уравнения (7.29),

^i{k) ^ ~ общее решение однородного уравнения

ка не определен, так как решение однородного уравнения может быть получено только с точностью до постоянного множителя.

Как и выше, при рассмотрении процессов интегрирования уравне­ ний продолжения (7.5), воспользуемся теми возможностями, которые дает толкование представления решения (7.23) как отображения функ­ ционально-векторного пространства {у, р} на (1 + 1)-мерное векторное

пространство M'+1 :{ С ,,...,С ,,р} . В силу этого отображения уравне­ нию (7.32) соответствует линейная краевая задача

^+l)(x1) = 0, B Y ^ +l\ x 2) = Q.

Если итерационный процесс сходится, т. е. если при j -* оо имеет место

рР ~*Рк> Y $ - > Y (k), pM -> P k,

то задача (7.33) сходится к следующей

Y (k) = Н У (к)> P k ) Y + Р к М ( у ( к), р к ),

(7.34)

= °» B Y ( k) { x 2) = 0.

Эта краевая задача с точностью до обозначений совпадает с краевой

задачей (7.6). Отсюда следует, что вектор в итерационном про­

цессе сходится к вектору Сдо = С(рк), являющимся ортом касательной

к кривой К , на которую отображается в К,+| решение нелинейной краевой задачи (7.1). Наличие в решении (7.31) произвольного коэффи­

циента ^ позволяет выбрать его значение так, чтобы отображение

итерационного процесса (7.21) в пространстве R,+1 обладало теми же свойствами, что и итерационные процессы дискретного продолжения, рассмотренные в п. 1.5.

Так, условие, эквивалентное условию (1.85), должно требовать орто­

к орту СЬ(*_1) касательной к кривой К € R,+l в предыдущей точке. Это условие записывается в виде

Геометрия такого итерационного процесса в R2 подробно показана на рис. 1.10.

174 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

7.2. Дискретная ортогональная прогонка

В предыдущем разделе показано, что алгоритмы метода продолжения решения по параметру для нелинейных краевых задач требуют решения на каждом шаге линеаризованных краевых задач (7.6), (7.21). Но реа­ лизация решения этих задач методом начальных параметров, особенно для жестких систем ОДУ, наталкивается на известные трудности, свя­ занные с наличием быстрозатухающих и быстровозрастающих решений. Это приводит к плохой обусловленности систем уравнений (7.13), (7.29), которая связана с тем, что матрица J близка к вырожденной. Одним из наиболее эффективных путей преодоления этих трудностей является использование метода дискретной ортогональной прогонки, разработан­ ного С. К. Годуновым [16]. В отличие от традиционного алгоритма этого метода, изложенного, например, в [5, 18, 27], при реализации алгорит­ ма продолжения решения приходится решать линейные краевые задачи

(7.6), (7.21), содержащие подлежащий определению параметр р или р $ в свободных членах. А это требует некоторой модернизации известного алгоритма метода ортогональной прогонки.

Здесь у(х) = (yi(x) , . . . , уп(х))т — искомая n -мерная вектор-функция; L(x) = [L{j(x)] (i,j = l,n) — заданная квадратная матрица-функция

прямоугольная матрица размерности I х n, I = п — тп (rank В = I); а —

(«1, • • •, Оп)т , b = (ft,,. . . . Ьп)т — заданные векторы; р — параметр; XQ, xN — координаты начала и конца интервала, на котором разыскивается решение краевой задачи (7.37).

Прежде чем переходить к алгоритму ортогональной прогонки, обра­ тим внимание на лежащее в его основе свойство общего решения уравнения (7.37), удовлетворяющего условию Ау(хо) = 0. Это решение

C j, . . . , Q — произвольные постоянные; р — параметр.

Введем Вектор С = (С\ , . . . , Q , р, 1)т € R*+2 и матрицу U(x), столб­

Введем теперь невырожденную квадратную матрицу Q порядка I + 2 со следующей структурой

Нетрудно видеть, что матрица U* такая, что

имеет ту же структуру, что и матрица U, так как ее первые I столбцов представляют собой линейно независимые комбинации столбцов матри­ цы U, т.е. являются линейно независимыми решениями однородной задачи (7.39), а последние два столбца являются частными решениями задач (7.40) и (7.41). Поэтому вектор-функция

176 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

где С* = (С|, . . . , С*,р, 1)г , также является общим решением уравне­ ний (7.37), удовлетворяющим условию Ау(хо) = а при произвольных значениях C j, . . . , С?. Т.е. 17* также является матрицей общего/ре­ шения. Если у(х) = у*(х), то векторы С и С* связаны ввиду (7.4S) соотношением

Рассмотрим теперь алгоритм ортогональной прогонки. Для этого разобьем интервал интегрирования ®о ^ < ®лг на N участков. Коор­ динаты границ участков обозначим через хо, х\, • • ■, &N >а сами участки пронумеруем слева направо от 1 до N . На первом участке ®о ^ х ^ х\ по­ строим общее решение (7.38) уравнений (7.37) при условии Ау(хо) = а. Сначала получим решения однородной задачи (7.39), которые обозна­

чим 3/(f)0* = Ь 0- Здесь и далее нижний индекс в скобках (*) будет означать принадлежность к *-му участку. Для этого возьмем I ортонор-

мированных решений ^ 6 Rn(j = Tjl) уравнения А£ = 0 и, принимая

их в качестве начальных, построим каким-либо численным методом (Рунге—Кутга, Адамса и т. п.) I решений начальной задачи у* = L(x)y,

т.е. получим (j = 1,1) как решения начальных задач

мы здесь не задерживаемся, чтобы не загромождать изложение деталями, а рассмотрим его позже.

Теперь общее решение уравнений (7.37), удовлетворяющее условию Ау(хо) = а, на первом участке можно представить в виде

180 (лава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

Здесь

J = BD,

Матрица В имеет размер I х п, матрица D — п х (1+ 1). Поэтому размер матрицы J = BD равен 1 х (1 + 1).

Уравнение (7.71) играет ту же роль, что и уравнение (7.29) при ре­ шении задачи (7.37) методом начальных параметров. Поэтому его ре­ шение может быть построено так же, как и в разделе 7.1, в виде С(лг) = аСфг) + 0(дг)> где коэффициент а определяется из дополнитель­ ного условия, например, из условия вида (1.8S).

После того, как тем или иным способом найден вектор С(лг)> совер­ шается обратный ход прогонки, на котором определяются векторы как решения уравнений (7.66)

при условии, что главный (левый) минор матрицы А отличен от нуля. В других случаях видоизменения решения очевидны.

allfl + • • • + —alm+lfm+l + • • • + aln£n>

............................................................................. (7-75) amlf1+ • • • + amm£m = amm+lfm+l + • • • + <hnn£n-

Теперь, задав 1 линейно независимых комбинаций величин ^ (* = т + 1, п), входящих в правые части этих уравнений, например, в ви­ де (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) , . . . , (0, 0, . . . , 1), и решив систему уравне­

ний (7.75), получим 1 линейно независимых векторов = 177). Проортогонализировав эти векторы с помощью процесса Грама—Шмидта,

построим 1 ортонормированных векторов < ^(i — 1, 1), являющихся ре­

шениями уравнения А( = 0.