книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

22 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Решение этой системы по правилу Крамера можно записать в виде

Здесь А,- — определитель, получающейся из расширенной матри­ цы Якоби J вычеркиванием г-го столбца. Он в тоже время является, с точностью до знака, алгебраическим дополнением элемента од в ма­

Покажем, что справедливо следующее утверждение [68, 31, 32]:

Лемма 1. Мера обусловленности \Р\ матрицы системыуравнений (1.39) достигает наибольшего значения в том случае, когда вектор а касателен к кривой К множества решений системы уравнений (1.28) в рассматриваемой точке.

Доказательство. Исследуем на экстремум величину D как функцию от од, t = 1,п+1 (1.38), которая для матрицы системы (1.28) представляется в виде

Здесь нет суммирования по индексу /?.

Заметим, что так как а — единичный вектор, то d\ = 1 и величина d, таким образом, не зависит от од, i = 1, тг + 1.

Для нахождения экстремума функции D при условии аа = 1

Если эти выражения для а* подставить в равенство (1.41), то полу­ чаем, что определитель системы (1.39) должен удовлетворять равенству

Анализ второго дифференциала функции Лагранжа как квадра­

функции Лагранжа

d2L = -2 7 (da,da,-)

определяется множителем Лагранжа 7 , который согласно формуле (1.48) положителен, если D > 0 и, следовательно, функция D принимает наибольшее значение. Знак множителя 7 отрицателен, если D < 0 и, следовательно, функция D принимает наименьшее значение. Лемма доказана. ■

Таким образом, доказано, что вектор а, определяющий, соглас­ но выражению (1.36), параметр продолжения ц, доставляет наибольшее значение абсолютной величине функции D в том случае, когда он совпа­ дает с самим вектором решения (x\ilt, х ^ , ■.., хп+1ф)Т линеаризованной системы (1.37), т.е. когда вектор а направлен по касательной к кривой множества решений нелинейной системы уравнений (1.28).

Теперь рассмотрим влияние возмущений элементов матрицы систе­ мы (1.39) на ее обусловленность. Покажем, что имеет место утверждение

24 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Лемма 2. Квадратичная погрешность решения системы уравнений (1.39), возникающая при возмущении элементов матрицы системы, достигает наименьшего значения в том случае, когда вектор а нап­ равлен по касательной к кривой множества решений системы (1.28) в рассматриваемой точке.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда с погрешностью за­ дана первая строка матрицы системы (1.39). Пусть вектор а имеет

вид (<*1, <*2>• • • « j-i. «j + s, ctj+i,. . . , an+i)T- Определитель Дг такой системы будет выражаться через определитель А исходной системы по формуле

Д£ = А + Н У + 'е Д ; = Д ( l + ( - l) i+l^ ) •

Так как рассматриваются малые возмущения е, то компоненты возмущенного решения у<)/4 можно переписать в виде

Тогда компоненты £< вектора погрешности 6 = (£i,£2. • • • 1^>+l)T решения возмущенной системы будут вычисляться по формулам

Дш

Заметим, что в выражениях (1.50)-(1.52) нет суммирования по ин­ дексу к.

Множитель Лагранжа 7 найдем, подставив (1.53) в условие аа — 1,

Теперь рассмотрим ситуацию, когда с погрешностью задана строка матрицы системы (1.39), отличная от первой. Доказательство проведем для случая п — 1, тогда исследуемая невозмущенная система будет иметь вид

Пусть с погрешностью задана вторая строка матрицы (P\tl F\2 + е), тогда определитель Дс возмущенной системы будет выражаться через определитель исходной системы (1.55) по формуле

Д£ —

26 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

При этом возмущенная система будет иметь решение

где Д] = Д2 = Fi,i, и компоненты вектора погрешности 6, учитывая малость е, примут вид

Для исследования на экстремум квадратичной погрешности 62 =

е2Д^

при условии а 2 = 1 составим функцию Лагранжа

Если при исследовании этой функции на экстремум применить ранее использованный алгоритм, то получим, что компоненты вектора должны удовлетворять равенствам (1.47), и лемма для n = 1 доказана.

Наконец, рассмотрим общий случай, когда с возмущением задан некоторый столбец матрицы системы (1.39).

Для этого возмутим элементы матрицы системы, прибавив к у-му столбцу вектор e(ctj, F{j,.. -,F„j)T, где е — некоторое малое число. Тогда легко видеть, что определители возмущенной (Ас, Д<£) и невозму­ щенной (Д, Д,) систем будут связаны соотношениями Д£ = Д(1 4- е),

Д<е = Д,(1 + е), i = l , n + 1, * Ф 3, Ajt = Aj.

Решение возмущенной системы примет вид

Д(1 +е)

-s, и при исследовании ее на экстремум в предположении, (Д(1 + е ))2

что вектор а является единичным, функцию Лагранжа можно принять в виде

Если теперь при исследовании функции Лагранжа на экстремум применить алгоритм, используемый выше, то получаем доказательство леммы 2.

Изучим влияние возмущений правых частей системы (1.39) на ее обусловленность.

Покажем справедливость утверждения

Лемма 3. Квадратичная погрешность решения системы уравнений (1.39), возникающая при возмущении правых частей системы, дости­ гает наименьшего значения в том случае, когда вектор а направлен по касательной к кривой множества решений системыуравнений (1.28) в рассматриваемой точке.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда вектор возмущенной правой части системы (1.39) имеет вид (1 + е, 0, . . . , 0) , тогда вектор

погрешности будет 6 = e(x\tll, х^ , . . . , ®п+1,/»)Т и квадратичная погреш­ ность имеет вид

Функцию Лагранжа можно взять в виде

£ = е2^ 1 + 7 (а<а<_ 1)| j = l > n + l

и исследовать ее на экстремум при помощи вышеописанного приема, тогда получим, что в точке экстремума компоненты вектора должны удовлетворять равенствам (1.47), и для этого случая лемма доказана.

Доказательство для другого случая проведем на примере системы уравнений (1.55). Пусть вектор возмущенной правой части этой системы имеет вид (1, е)Т, тогда решение возмущенного уравнения будет

и вектор погрешности примет вид

28 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Учитывая, что квадратичная погрешность с учетом условия а2 = 1 может быть записана как S2 = е2/Д 2, берем функцию Лагранжа в виде

L = е2/Д 2 + T(«|Q!j - 1), г = 1,2. Исследуя эту функцию на экстре­ мум, получаем, что в точке минимума компоненты вектора а должны вычисляться по формулам (1.47).

Таким образом, лемма доказана для п = 1. Для доказательства общего случая возмутим столбец правой части системы (1.39), прибавив

к нему вектор с(1+ а ь * и , • • • .-F»,l)T-

Учитывая свойства определителей, легко показать, что в данном слу­ чае определители возмущенной и невозмущенной систем будут связаны соотношениями

Де = Д, Д и = Д 1+ с ( Д 1+Д),' Д* = Д,(1+£г), j = 2 , n + 1.

Решение возмущенной системы и компоненты вектора ошибки можно представить в виде

Следовательно, квадратичная погрешность будет равна

*2=е2( 1+2Т +^ ) ’ •>=^г+т-

При исследовании ее на экстремум, учитывая единичность векто­ ра а, функцию Лагранжа возьмем в виде L = 624- - 1). Минимум этой функции достигается при

Если соотношения (1.56) подставить в выражение (1.41), то с учетом (1.57) получаем

Д= ±(Д*Д*)1/2,

азначит, верно равенство ш = 1/Д, и формулы (1.56) примут вид

«* = ( - 1)*+1^ , * = U + T .

Сравнивая эти соотношения для а* с выражениями (1.40), получаем равенства

<*к — хьф,

которые означают, что минимальную квадратичную погрешность обеспе­ чивает параметр продолжения, отсчитываемый вдоль касательной к кри­ вой множества решений системы (1.28). Это доказывает лемму 3 для об­ щего случая. ■

Отметим, что при обобщении лемм 2, 3 в каждом уравнении системы (1.39) можно было принять свое значение погрешности е = е*, i = 1, п + 1. Для того, чтобы прийти к рассматриваемому случаю, доста­ точно положить е = шах |е<|, причем некоторые £,• могли быть равными нулю.

Теперь, наконец, можно доказать основной результат данной главы.

Теорема 1. Для того, чтобы система линеаризованныхуравнений (1.39) была наилучшим образом обусловленной, необходимо и достаточно в ка­ честве параметра продолжения решения системы нелинейных урав­ нений (1.28) принять длину дуги кривой множества решений этой системы уравнений.

Доказательство.

Н еобходимость. Согласно смыслу, который мы вкладываем в поня­ тие обусловленности, доказанные леммы можно объединить следующей формулировкой.

Система линейных уравнений (1.39) будет наилучшим образом обу­ словленной в том случае, когда вектор а направлен по касательной к кривой множества решений нелинейной системы уравнений (1.28) в каждой ее точке, т.е. когда будут иметь место равенства (1.47). С уче­

том этого факта выражение or2 = 1 можно записать в виде

откуда следует, что dp = (dxidx{)l/2 является дифференциалом длинны дуги кривой множества решений системы (1.28). Если положить, что начальной точке этой кривой соответствует значение р = 0, то параметр