книги / Сборник задач по общей физике

10.Уравнение плоской бегущей незатухающей волны

xA0 sin 0t 2λπl .

11.Вектор Умова

p wv,

где w – объемная плотность энергии; v – скорость распространения волны. Его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Примеры решения задач

№ 1. Материальная точка массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом Т = 2 с и начальной фазой 0, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 мДж.

Требуется: найти амплитуду А колебаний; написать закон данных колебаний x = f(t); найти наибольшее значение силы Fmax, действующей на точку.

Ре ш е н и е.

1.Записываем закон гармонических колебаний

x = Asin t.

Поскольку закон не дает возможности определить амплитуду А, следует обратиться к условию задачи и воспользоваться полной энергией Е. Полная энергия колеблющейся точки Е равна, например, ее максимальной кинетической энергии Wк, max.

mv2

W Wк, max 2max .

Скорость v колеблющейся точки определяем, взяв первую производную смещения х по времени:

v ddxt Aωcosωt .

41

Учтем, что vmax = A (cos t = 1), и подставим это выражение в уравнение энергии

Wк, max mA2 2 .

2

Найдем амплитуду колебаний

Выразим амплитуду через период Т, учитывая что 2Tπ :

Произведем вычисления:

2.Записываем уравнение гармонических колебаний для данной точки:

х= 0,045sin t.

3.Второй закон Ньютона

|Fmax| = ma.

Найдем ускорение колеблющейся точки, взяв первую производную скорости по времени:

a ddvt A 2sin t.

Максимальное ускорение (при sin t = 1)

|amах| = A 2.

Запишем выражение силы

|Fmах| = mA 2.

42

Произведем вычисления:

Fmах = 0,01 0,045 3,142 Н = 4,44 · 10–3 Н.

№ 2. Складываются два колебания одинакового направления, заданные уравнениями

x1 = cos (t + 1/6), x2 = 2cos (t +1/2)

(длина – в сантиметрах, время – в секундах). Определить амплитуды, периоды и начальные фазы складывающихся колебаний; написать уравнение результирующего колебания.

Р е ш е н и е.

1. Запишем уравнение гармонического колебания в общем

виде

2. Приводим заданные уравнения в соответствие с общим уравнением:

3. Сравним уравнения (2) и (3) с уранением (1). Из сравнения:

А1 = 1 см; А2 = 2 см.

2Tπt = t, 2Tπt = t T1 = 2 c, T2 = 2 c,

01 = /6 рад = 30°, 02 = /2 рад = 90°.

Для написания уравнения результирующего колебания необходимо определить параметры результирующего колебания

T, А, 0.

1. Поскольку периоды колебаний одинаковы, период результирующего колебания будет тот же: T = 2 c.

43

2. Для определения амплитуды результирующего колебания А удобно воспользоваться векторной диаграммой. В системе координат х0y откладываем под углами, соответствующими начальным

фазам, векторы амплитуд А1 и А2 . На них, как на сторонах, стро-

им параллелограмм, диагональ которого и будет амплитудой результирующего колебания. Ее величину определим, используя теорему косинусов:

А = A12 A22 2A1 A2cos .

Подставим числовые значения:

A 12 22 2 1 2cos(90 30 )7 2,6 см.

Начальную фазу результирующего колебания определяем по тангенсу угла 0:

tg 0 A1sin 1 A2sin 2 , A1cos 1 A2 cos 2

откуда начальная фаза

0 arctg A1 sin 1 A2 . A1 cos 1

Подставляем данные:

0 = arctg1sin30 2 71 0,4π рад. 2cos30

Таким образом, параметры результирующего колебания найдены:

А = 2,6 см, Т = 2 с, = 0,4 рад.

Запишем закон колебания:

x2,6cos 2πt 0,4π ,

2

44

или

x= 2,6 cos (t + 0,4).

№3. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых имеют вид

(амплитуда – в сантиметрах, время – в секундах). Определить траекторию точки.

Р е ш е н и е.

Для определения траектории необходимо получить зависимость координат y = f (x). Для этого из уравнений (1) и (2) следует исключить время. Применив формулу косинуса половинного угла

или

y2 = 2 + 2x.

№ 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l = 1 м и массой 3m1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром D = l/2 и массой m1. Горизонтальная ось маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Определить период T колебаний этого маятника.

45

Р е ш е н и е.

1. Период колебаний физического маятника

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; d – расстояние от центра масс маятника (точка С) до оси колебаний (точка О).

2. Определим момент инерции системы. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня I1 и обруча I2:

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определим по

формуле I1 121 ml2 . В данном случае m = 3m1 и

I1 14 m1l2 .

Момент инерции обруча находим по теореме Штейнера:

I2 = I0 + ma2,

где I2 – момент инерции обруча относительно произвольной оси; I0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс обруча параллельно заданной оси; а – расстояние между указанными осями.

46

3. Найдем расстояние d от оси колебаний до центра масс маятника

v = 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l1 = 12 м и l2 = 15 м от источника волн, колеблются по закону синуса с одинаковыми амплитудами А = 0,1 м и с разностью фаз = 0,75 рад. Найти длину волны ; написать уравнение волны; найти смещение указанных точек в момент времени t = 1,2 с.

Р е ш е н и е.

1. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны , колеблются с разностью фаз, равной 2 рад; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии l, колеблются с разностью фаз

λl 2π.

Решим это уравнение относительно :

λ l 2πφ ,

где l – расстояние между точками, равное 3 м.

47

Подставим значения величин:

λ3 0,752ππ = 8 м.

2.Запишем уравнение плоской волны:

s = Asin( t – kx),

где k – волновое число 2 / , или

решая систему относительно , получаем

2πv 2π 20 5π рад/с.

λ 8

Уравнение волны

3. Найдем смещение s, подставляя в это уравнение значения t

и l:

48

Глава 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ИТЕРМОДИНАМИКА

2.1.Основы молекулярно-кинетической теории

Любое вещество состоит из огромного числа мельчайших частиц, сохраняющих все химические свойства данного вещества. Эти мельчайшие частицы называются молекулами. Сами молекулы состоят из более простых частиц – атомов. Например, молекула воды Н2О состоит из трех атомов: одного атома кислорода и двух атомов водорода. Если различного вида молекул известно огромное число (миллионы), то различных атомов совсем немного. В настоящее время известно 118 различных видов атомов, причем в природе их встречается 88, остальные получены искусственным путем. Это атомы так называемых химических элементов. Размеры молекул и составляющих их атомов чрезвычайно малы: если представить их в виде шариков, то их радиус имеет численное значение порядка 10–10 м. Зато число частиц в веществе очень велико. В одном грамме воды, например, содержится 3,3·1022 молекул. Массы атомов и молекул тоже малы, поэтому их удобнее измерять не в килограммах, а в специальных единицах. Эта единица называется

атомной единицей массы [а.е.м.]. Согласно современным измере-

ниям 1 а.е.м. = 1,66·10–27 кг.

В молекулярной физике удобно использовать понятие количества вещества. Единица количества вещества называется молем. По определению, моль любого вещества – это такое количество вещества, которое содержит столько же молекул (или атомов, если вещество состоит из одноатомных молекул), сколько их содержится в 0,012 кг углерода 6C12. Из определения моля следует, что моль любого вещества состоит из одинакового числа молекул. Это число называется числом Авогадро NA. Масса одного моля вещества называется его молярной массой μ (кг/моль). Ясно, что μ = m0NA. Число молекул в m (кг) вещества

N νNA mμ NA .

49

2.2. Законы идеального газа

Идеальным газом называется такой газ, в котором силами взаимодействия молекул и размерами молекул можно пренебречь. Время от времени молекулы сталкиваются между собой, но столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы газа движутся равномерно и прямолинейно. Чем более разряжен реальный газ, тем ближе его свойства к свойствам идеального. Для такого газа оказывается возможным получить зависимость между его макроскопическими параметрами p, V и Т, рассматривая движение одной молекулы, а затем усредняя это движение по огромному числу составляющих этот газ молекул.

Задачи на расчет параметров состояния газов можно разделить на две основные группы. К первой следует отнести задачи, в которых рассматриваются два или несколько состояний газа постоянной массы и к которым, следовательно, применимо уравнение объединенного газового закона (уравнение Клапейрона)

p1V1 p2V2 .

T1 T2

Вторую группу составляют задачи, в условии которых дана масса газа или рассматриваются процессы, в которых масса газа изменяется.

I. Если по условию задачи даны два состояния газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для решения задачи можно рекомендовать следующую последовательность:

1.Составить схему, отметив каждое состояние газа, указать параметры р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из условия, какой из этих трех параметров не меняется. В общем случае могут изменяться все три параметра.

2.Записать для данных двух состояний уравнение объединенного газового закона. Если какой-либо параметр считается неизменным, уравнение автоматически переходит в одно из трех

50