книги / Функции комплексного переменного и их приложения

УДК 517.3 (075.8) Ф32

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук Э.М,-Нуруллаев; канд. техн. наук В.П. Голованов

Федосеев, А.М.

Ф32 Функции комплексного переменного и их приложения: учеб, пособие. Ч. II / А.М. Федосеев, В.Н. Кетиков. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. - 145 с.

ISBN 978-5-88151-739-7

Подробно рассматриваются прикладные задачи функций ком­ плексного переменного. Приведены методы решения задач (построение комплексного потенциала векторной функции, использование кон­ формных отображений, преобразование функций и т.д.). Помимо ста­ тических задач гидромеханики, теплопередачи и электричества рас­ смотрены задачи кинетики сложных химических реакций. Приведены численные методы решения отдельных задач. Представлены многочис­ ленные иллюстрации и примеры.

Содержание пособия соответствует учебным программам дисцип­ лин естественно-научного направления технического университета, а также курсам лекций, читаемым в ПГТУ

Предназначено для студентов очной, заочной и очно-заочной (ве­ черней) форм обучения технического университета и может быть по­ лезно преподавателям, аспирантам и инженерам.

Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образо­ вание» по программе Пермского государственного технического уни­ верситета «Создание инновационной системы формирования профес­ сиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»

Предлагаемое учебное пособие является второй (составной) частью учебного пособия «Функции комплексного переменного и их приложения». В первой части подробно рассматривается теория функций комплексного переменного, приведено большое количество определений, теорем и высказываний, связанных с фундаментальным построением теории функций комплексного переменного, большая часть приведённых теорем строго дока­ зывается. Основные понятия излагаемой теории иллюстрируют­ ся многочисленными примерами и рисунками. Вторая часть по­ собия посвящена приложениям излагаемой теории первой части и содержит наиболее известные в литературе прикладные зада­ чи. Во второй части мы стремились сохранить стиль изложения материала, принятый нами ранее.

Часть II пособия состоит из трёх разделов. В первом разде­ ле (мы его классифицировали как некоторые классические зада­ чи) рассмотрены задачи об обтекании кругового цилиндра иде­ альной жидкостью, задача по определению подъёмной силы крыла самолёта и задача по определению характеристик элек­ трического тока длинной линии электропередачи (без потерь). Все задачи решены аналитически с использованием методов, применяемых в теории функций комплексного переменного (построение комплексного потенциала векторного поля, приме­ нение конформных отображений, использование преобразо­

и требований, предъявляемых к конкретной задаче. С этим об­ стоятельством мы столкнулись на примере задачи об обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью. Поэтому она рас­ смотрена нами и в первом разделе, и во втором.

Второй раздел мы посвятили задачам, связанным с поняти­ ем комплексного потенциала. Эти задачи мы классифицировали как задачи гидромеханики, теплопроводности, электричества и магнетизма. В целях наибольшей полноты и доступности из­ ложения материала в этот раздел включены теоретические во­ просы теории функций комплексного переменного, а именно:

вопросы, связанные с построением комплексного потенциала (п. 2.2); конформные отображения (п. Д. 2.4) и эллиптические интегралы и функции (п. Д. 2.5). Причём из эллиптических функций наиболее полно рассмотрены функции Вейерштрасса, так как они используются в разделе 3 при решении задач кине­ тики химических реакций.

Третий раздел посвящён вопросам математического моде­ лирования кинетики сложных химических реакций. Эти модели подробно исследованы нами в работе [17]. Основной упор в раз­ деле 3 сделан на проблему разрешимости (математической и физической) нелинейных систем обыкновенных дифференци­ альных уравнений.

Для иллюстрации в разделе 3 приведены решения задач по определению концентраций реагирующих веществ в сложных химических реакциях при заданных скоростях реакций, при по­ стоянной температуре [17]. В целях упрощения расчётов скоро­ сти реакций принимались равными единице (п. 3.3).

Проведённые нами исследования [18] показывают, что ана­ литические решения задач можно получить лишь для узкого класса задач химической кинетики. В основном их приходится (при выбранных математических моделях) решать численными методами. Этим вопросам посвящён п. 3.4 настоящего пособия.

Учитывая широкий круг предлагаемых задач (гидродина­ мика, теплотехника, электричество и магнетизм, химическая ки­ нетика) можно рекомендовать учебное пособие студентам всех специальностей технического университета.

Мы выражаем благодарность и признательность доктору физико-математических наук М.А. Севодину за ряд ценных за­ мечаний, сделанных в ходе написания и оформления данного пособия.

ГЛАВА 1 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1.Вводные замечания

Кклассическим задачам относят, как правило, идеализиро­ ванные задачи математической физики. Из всего многообразия классических задач в рамках учебного пособия мы остановимся лишь на некоторых из них, связанных с функциями комплексно­

го переменного. Во всех задачах будем полагать, что среда, в которой происходят изучаемые физические процессы, одно­ родна. Это условие в реальной обстановке выполняется далеко не всегда. Учёт неоднородности среды приводит, как правило, к дифференциальным уравнениям (или их системам) с перемен­ ными коэффициентами. В настоящее время задачи математиче­ ской физики, связанные с неоднородностью среды, решаются различными методами.

Прежде всего назовем метод конечных разностей, или ме­ тод сеток, сущность которого заключается в замене дифферен­ циальных уравнений задачи разностными уравнениями. Этот метод подробно рассматривается, например, в работе [20].

Широкое распространение в настоящее время получил ме­ тод интегральных уравнений, который подробно описан в ра­ боте [20].

Очень часто используется также метод Ритца-Галеркина. Сущность метода состоит в замене искомой функции линейной комбинацией некоторых известных функций, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Проблема поиска решения сво­ дится тогда к нахождению коэффициентов выбранной линейной комбинации.

Особую важность перечисленные методы имеют ещё пото­ му, что одна и та же математическая задача является моделью различных физических процессов. Такое моделирование назы­ вается математическим моделированием. Его мы проиллюст­ рируем на задачах кинетики сложных химических реакций (см. гл. 3). В главе 1 остановимся на трёх классических задачах:

-обтекание кругового цилиндра в идеальной жидкости;

-определение подъёмной силы крыла самолёта (задача Жуковского-Чаплыгина);

-расчёт тока и напряжения в длинной линии электропере­ дачи без потерь.

Первая из перечисленных классических задач связана с по­

строением отображения посредством аналитических функций

ииспользованием комплексного потенциала (см. п. 2.2, Д. 2.4 настоящего пособия) и детализируется в п. 2.3.1.

Вторая задача связана с понятием конформных отображе­ ний комплексного потенциала (см. п. Д. 2.4).

Третья задача, связанная непосредственно с уравнениями математической физики в частных производных с начальными

икраевыми условиями, решается с помощью преобразования Лапласа [20].

1.2.Обтекание кругового цилиндра в идеальной жидкости

1.2.1.Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции)

Вэтом пункте будем придерживаться обозначений, приня­ тых в работе [7].

Найдём движение жидкости, обтекающей круговой ци­

линдр и имеющей в бесконечности скорость U + iV = Aeta Используем метод конформного отображения (п. Д. 2.4).

Пусть |z| = R - сечение цилиндра плоскостью XOY (или проек-

единичного круга в плоскости (Zt) , причём вектор Ае,а преоб­