книги / Функции комплексного переменного и их приложения

^

= М

х>У\>Уг>Уз)>

• <^

= /г { х’У\’Уг’Уъ)>

(3-6)

dУз

/

\

= / з \ х>У\>Уг>УзЬ

где у х, у 2, Уз - концентрации реагирующих веществ, завися­

щие от скоростей реакций; х - время протекания реакции; функ­

ции / х(х,уи у 2,у г), / 2{х>У\,Уг>Уз)>

/ з ( х>У\>Уг>Уз) назовем

правыми частями соответствующих дифференциальных уравне­

ний и будем считать непрерывными

в некотором замкнутом

объеме W.

Таблица 3.1

Тип

Вид функций правых частей системы (3.6)

реакций

системы

М х>У\>У2>Уз)

/ 2(х’У\>У2’Уз)

/ з { х>У\>Уг>Уз)

(3.6)

I

-У 2 + Уз

У\~У2

у! - У з

и

Ъ - с

УгУ3

с - а

а-Ъ

У1У2

а

и З'Л

с

о

ш

У\ {У2 ~ Уг)

У2 (У3 - У 1 )

Уз (У1 - У 2 )

IV

У\ (у ! - У з)

У2 (у з ~У?)

Уз (у! ~ у1)

V

У\ (у2 ~ у\ )

- у 2 ( y i +Уз)

Уз (у?+у!)

VI

У\У\ + у х+У2

У1 У2 - У 1 - У 2

У2 - У f

VII

№

/(* )

/(* )

(У\-У2)(Уу~Уз)

(.У2~У\){У2~Уз)

{Уз~У\){Уз~У2 )

Теорема. Пусть функции

( х 9у ]9...9у п) в области W

удовлетворяют соотношениям

f t

(Х’УГ -,у”)-/,(х,уГ - > У т )

М

(3.7)

Г п

*Л

/ = 1,2,..., л,

X yv

- у V ,

V—1

7

где ср(м) - непрерывная функция, которая:

1) принимает

положительные

значения

при

положи­

тельных и ;

~ ч

(с dи

0+

>+°°

(С >0).

2)

—

6 ф(и)

Е^°

Тогда существует не больше одной интегральной линии

системы

~£; =М х>У1>Уг>->УИ)> / = 1,2,..., я,

(3.8)

f i ( x ,y "

fi(x,y\,...,y'n) < k f \ y l ' - y ' v

(3.9)

V = 1

Условие

(3.9) называется условием Липшица по

у {,...,уп

для функции

. Если считать функции /, непрерывными по

мы включает:

• ограничения

на параметры, входящие в систему

(х = /> 0, 0 < с,, с2 )

С 3 (.у,, у 2, у з));

h .

*2

в; *C;

A\----*B:

A .— ¥B\

A ———>D;

B —k% >D-

C - --- >D,

dr

(3.10)

dCc (Q = —(k^ + k6 + kg}Cc + k^CA+ k$CB,

dr

dCg(Q = knCA+ k%Cg + kgCc ,

dr

Сс (0 = Уз(х)>с о(0 =У4(*)>

t = *•

Для упрощения выкладок введём в рассмотрение следую­

щие константы скоростей:

k l = k 2‘ =\\ &з=0,5; к'г =0,5;

Агб = 0,5;

ах

= У]- З у 2+0,5у3,

(3.11)

ах

^ ■ = 0,5Л +у2 - 2 у 3.

Решение системы (4.2) ищем в виде

* =*.■*", Уг=»-еа , y3 = v e " ,

(3.12)

где в равенствах (3.12) X, р, v, и г - константы.

Подставляя (3.12) в (3.11) и сокращая на еп ^ 0 ,

получим

систему уравнений для определения X, р, и v:

(-2,5 - г)Х +р + v = 0,

< X+(-3 - г)р + 0,5v = 0,

(3.13)

0,5Х + р + (-2 - r)v = 0.

(-2,5 + г)

1

1

Д=

1

-(3 + г)

0,5

= 0. (3.14)

0,5

1

~(2 + г)

г3 + 7,5г2 +16,5/*-9 = 0.

(3.15)

новкой r - z - —

При этом коэффициенты обоих уравнений

За

связаны соотношениями

3Р =

3а с - Ь 2'

2Ь

За2 ’

21а

где а = 1; Ъ - 7,5;

с - 16,5;

d =9.

Формулы корней уравнения z 3 +3pz + 2q = 0.

Таблица 3.2

р < 0

q 2 + р 3 <0

q 2 + р 3 >0

p > 0

q

chcp = 4 -

shcp = 4 -

C O S ф ——~

г

Г

r

ф

z, = -2rchcos—

z,

- -2rsh —

z . = -2rcos —

1

3

1

3

1

3

о

Гя ф!

ф . /Г

. ф

rch —

z9 =rcos—+/VJ

rsh — z, = rsh —+ /ч/з

j

3

2

3

3

г3 = 2rcos[j + - |j

z,з

=rch —-/%/з3

rsh —3

z3=rsh —-z'Vs

rch —

3

3

3

Найдем сначала величины 3р и 2q:

з

_ Зя^- ^ 2 _ 3 -1 -16,5 —(7,5)2 _

200,119

Р

За2

~

3-Г

~

3

2

2b2

be

d ^ 2-1,5г

7,5-16,5

9

27a3

За2

а

27-13

3-12

1

Тогда приведенное уравнение имеет вид

z3 -2 ,2 5 z -l = 0.

(3.16)

Отсюда находим р и д:

Зр--2,25;

р = - 0,75;

2* = -1;

Я= -0,5.

Составим величину

? 2 + р ъ= (-0,5)2 + (-0,75)3 = 0,25 -0,42 <0.

Так как

q 2 + р 3 <0,

то согласно табл. 3.2 решение ищем

в виде

_

Ф

~

( п

Ф

; z3=2rcos| J

- J |,

Zi = —2г cos —;

= 2r c o s -------

1

3

2

U

3 j

где coscp = -=r; r = ±J\p\

r

Подсчитаем сначала г.

г =±^|-0,75| =-0,8662

(знак г сов­

падает со знаком q).

Отсюда

coscp =

-0,5

—— — = 0,7698.

(-0,8662)3

0,6495

Найдем ср = 39°18'; ^

= 13°6'

r,=z, - — = 1,6868- —

= -0,8132,

За

3

г,

= z2- — = 1 ,1 8 3 5 - ^ = -3,6835,

За

3

r3=z, - — = -0,5035 -

= -3,0035.

3

3

За

3

Так как получили все корни действительные и различные,

то, последовательно

подставляя значения rh г2 и г3 в систему

(3.13), получим значения А.,.,

р,,, v~ и 0,

(/ = 1,

2, 3) для на­

хождения решений системы (3.11).

При г, =-0,8132

получаем

—1,6868А+ р + v = 0,

<А,-2 ,1 868р + 0,5v = 0,

(3.17)

0,5А, + р -1,1868v = 0.

Решение

однородной системы (3.17)

при

v = l

дает

вектор

значений

у, ={0,9962; 0,6842; 1; }.

При г2 =-3,6835

получаем

1,1835Л, + ц + v = 0,

<А.+ 0,6835ц+ 0,5v = 0,

(3.18)

[о, 5Л. + ц + l,6835v = 0.

Решение

однородной

системы

(3.18)

дает

при

v = l

вектор

значений

у2 ={1,0156;

-2,2175;

1;}

При r3 =-3,0035

получаем

0,5035Л. + p + v = 0,

<A.-0.0035p + 0,5v = 0,

(3.19)

0,5A. + p +1,0035v = 0.

Решение

однородной

системы

(3.19) при

v = l

дает

вектор

значений

73 ={-0,5026; -0,7469; 1;}

Запишем теперь частные решения системы (3.11):

' У

= 0,9962-е-0,8132*,

'у{2) =-1,0156-е'3-6835*,

«у ^ = 0,6842-е”0’8132",

• у ^ =-2,2П 5-е~змз5х,

у 0)=J.^-0,8.32^

y (2) = h e -

^ }

yj3) =-0,5026-е-3,0035*,

- у 23){ = -0,7469 • е-3,0035*,

у(3>=1.<Г3-0035*

По найденным частным решениям составим общее реше­

ние системы:

’у, (JC) = С, • 0,9962 • е -°8|32х + С2 • 1,0156 • е '3'6835х - С3 • 0,5026 • е '3-0035х,

• у 2(х) = С, • 0,6842• е -°-,тх - С2 2,2175• е '3>6835х - С у

0,7469• е-3 00351,

-2°)

у } (х) = С, - в-0'8132' + С2 • е-3'68351 + С3 • е-3 0035^

Для нахождения

С,, С2, С3 воспользуемся

начальными

условиями:

С, • 0,9962 + С2 • 1,0156 - С3 • 0,5026 = 0,1,

<С ,-0,6842-С 2-2,2175-С3-0,7469 = 0,2,

(3.21)

С,-1 + С2-1 + С3-1 = 0,3.