книги / Функции комплексного переменного и их приложения

Функцию W(z) = <b(x:,у) + №(х,у), составленную из по­ тенциальной функции Ф(х,у) и функции тока плоского лапласова векторного поля /(z ), называют комплексным по­

плоское лапласово векторное поле описывается функцией ком­ плексного переменного /(z ), комплексно сопряженной с ана­ литической функцией W\z).

Верно и обратное, т.е. если функция /(z ) аналитична, то плоское векторное поле, заданное функцией / ( z ) , является ла-

Линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) представляют собой линии уровня потенциальной функции Ф(х,>'), а линии уровня функции тока ^(*,>0, известны как

линии тока (силовые линии). Линии равного потенциала и ли­ нии тока в области D описываются соответственно уравнениями

W'(z) = /(z ) * 0 . В этом случае линия равного потенциала и ли­ ния тока, проходящего через эту точку, взаимно перпендику­ лярны. Если функция /( z ) задает лапласово поле в однознач­

носвязной области, комплексный интеграл от этой функции по замкнутому контуру у с D равен нулю. Но действительная часть этого интеграла есть циркуляция векторного поля по контуру у, а мнимая часть есть поток векторного поля через кри­ вую у. Таким образом, утверждение теоремы Коши означает,

что циркуляция лапласова поля по замкнутому контуру и поток лапласова поля через замкнутую кривую равны нулю. Первое утверждение верно для всех потенциальных полей, а второе - для всех соленоидальных полей [8].

Пример 2.1. Выяснить, какое векторное поле описывает комплексный потенциал

W(z) = z2 = х2 - у2 + 2ixy.

Эта функция является аналитической во всей комплексной плоскости и потому определяет в этой плоскости лапласово по­

ле, которое описывается функцией f(z) = W'(z) = 2z. Потенци­ альная функция и функция тока этого поля имеют вид

На рис. 2.2 сплошными линиями изображены линии равного потенциала, а штрихо­ выми - линии тока. Оба семейства содержат равнобоч­ ные гиперболы, но, кроме того, линиями равного потенциала являются биссектрисы коорди­ натных углов, а линиями тока - координатные оси. В точке

в этой точке нарушено условие взаимной перпендикулярности линий равного потенциала и ли­ ний тока. Рассматриваемое векторное поле описывает, напри­ мер, течение жидкости в пространстве, разделенном двумя пер­ пендикулярными стенками.

Пример 2.2. Пусть в точках z - - h и z = О помещены ис­ точники интенсивностью Q и -Q соответственно. Найти ком­ плексный потенциал этого поля. Возникающее плоское вектор­ ное поле будет суммой векторных полей этих источников, а его комплексный потенциал в силу аддитивности интеграла можно представить в виде

где символ Ln - комплексный логарифм z.

Таким образом, из аддитивности интеграла следует свойст­ во аддитивности комплексного потенциала. Потенциал (2.15) определен при условиях z + h * 0, и z^O , или при

Arg(z + К) - Arg z = const.

После упрощения эти уравнения принимают вид

Линиями тока рассматриваемого векторного поля являются дуги окружностей, соединяющие точки - И и 0. Линиями равно­ го потенциала также будут окружности, которые разделяют точ­ ки z + h и 0 и перпендикулярны линиям тока.

Действительно, полагая z - x + iy и принимая для опреде­ ленности h > 0, из (2.16) находим соответственно

^{x + h f + y 1 = кт>0, arctg— ---- arctg— = е R (2.17)

кулярной действительной оси и равноудаленной от точек z + h

и О (рис. 2.3). Эти окружности взаимно перпендикулярны, а плоское векторное поле симметрично относительно действи­ тельной оси, на которой расположены линии тока, соответст­ вующие дугам окружности бесконечно большого радиуса при

h

кЦ1-> 0 . Прямая Rez = - — будет одной из линий равного по­

тенциала (окружностью бесконечно большого радиуса при &ф-> 1). Линии равного потенциала левее этой прямой соответ­

мер, электростатическим полем двух разноименно заряженных тонких прямолинейных провод­

ников, параллельных друг другу и расположенных друг от друга на расстоянии И. Интенсивность Q> О будет соответствовать

положительному заряду, приходящемуся на единицу длины проводника.

Пример 2.3. Для плоского векторного поля задан комплекс­ ный потенциал W(z) = z + lnz . Найти потенциальную функцию

Ф(х,у), функцию тока линии тока и линии равного

потенциала, а также критические точки поля (точки, в которых векторное поле обращается в нуль). Потенциальная функция и функция тока являются действительной и мнимой частями комплексного потенциала. Отсюда

Ф(х, у) = Re W(z) = Re z + Re(ln z) =

= X + InJX2 4-у2 = X+ i In[x2 + y 2) ,

W(x,y) = Im W(z) = Im z + Im In z = у + arg z = cp(x, y) + y,

где cp(x,y) - функция argz, записанная в переменных x и у,

и равная полярному углу точки с координатами (х;у).

Линии равного потенциала задаются уравнением Ф(х, у) =

Рис. 2.5

Эти кривые будут линиями тока, так что мнимая часть комплексного потенциала W(z) течения в канале должна быть постоянной на каждом из этих кривых, т.е.

Будем считать, что в области D отсутствуют источники

ивихри. Тогда поток Q векторного поля через любую кривую

ус произвольной начальной z, е у, и конечной z2 е у2 точками будет постоянным, причем Q = '¥ 2 - 'F , . При выборе *Р, = 0 по­ лучим 'Т2=<3 Отметим, что для жидкости, вытекающей из об­ ласти, для которой кривая у является участком границы, поток имеет положительное значение: Q> 0 (см. рис. 2.5). Условие постоянства *Р(г) на кривых у, и у2, а также известное значе­ ние потока жидкости Q не является достаточным для одно­

значного определения комплексного потенциала течения жид­ кости в канале. Поясним это. Рассмотрим в качестве канала по­ лосу 0 < Im z < Н , в которой течение имеет заданное значение потока Q >0 (рис. 2.6). Функция [7]

зависящая от параметров X е R и п е Z , имеет мнимую часть

ЯЯ

которая при любых значениях А, и я принимает на границах

зависит от выбора значений X и и .

Покажем, что единственность комплексного потенциала для заданной полосы можно обеспечить, дополнительно потре­ бовав, чтобы скорость в бесконечно удаленной точке была огра­ ниченной. Пусть аналитически функции IV,(z) и W2(z) в полосе О< Im z < 0, представляющей канал, удовлетворяют всем усло­ виям: их мнимые части постоянны на кривых Im z = О и Im z = Н, ограничивающих канал, а соответствующие вектор­

в D , имеет нулевое значение потока, а мнимая часть T^z) =

= Im W(z) этой функции обращается в нуль на прямых Imz = О и Imz = Н.

Дополнительное условие означает, что функция W\z) ог­ раничена в рассматриваемой полосе. Так как ImW(z) = const на

прямых Imz^O и Imz = # , то 1тЖ'(^) = const на этих пря­ мых. Тогда гармоническая функция ImH^'(z) ограничена в рас­

сматриваемой полосе, а на ее границе обращается в нуль. По­ этому ImfV’(z) = 0 всюду в полосе, а функция W \ z ), имеющая

нулевую мнимую часть, постоянна в полосе

W'(z) = ae R, 0 < I m z < #

По производной восстанавливаем комплексный потенциал (опуская несущественную в данном случае постоянную интег­

н

образом, комплексный потенциал течения в данной полосе имеет вид W(z) = Qj-z и определен однозначно.

Замечание. В общем случае области D в плоскости (£>) 5

ограниченной кривыми у1 и у2, комплексный потенциал можно

построить так: задать комфортное отображение z = g(£,) облас­

ти D на полосу 0 < l m z < # Тогда комплексный потенциал те­ чения жидкости в канале D имеет вид

Задача 2. Найти комплексный потенциал истечения жидко­ сти из канала в водоем (или при вытекании жидкости из водоема в канал), используя схему рис. 2.7.

Область в комплексной плоскости (£;) будем рассматри­

вать как водоем достаточно больших размеров с подведенным к нему каналом шириной 2h . Глубину водоема и канала примем равными единице. Пусть по каналу в водоем поступает жид­ кость с объемным расходом 2Q >0, т.е. в единицу времени че­ рез канал проходит объем жидкости, равный 2Q.

В силу симметрии области D относительно действитель­ ной оси 1т^ = 0 течение в канале и водоеме достаточно рас­ сматривать лишь в области D , расположенной в верхней полу­ плоскости 1т£,>0 и представляющей собой внутренность не­

ограниченного треугольника АхА!2А!ъ (см. рис. 2.7). При этом

через канал, образованный прямыми А[А2 и А[А2, в водоем бу­ дет поступать жидкость с расходом Q > 0, а действительная ось

Im ^ = 0 как граница области D станет одной из линий тока. Если считать эту линию нулевой, т.е. принять на ней для

функции тока значение i|/[ = 0, то на линии тока, соответст­ вующей границе А[А2Аг области D , будем иметь ц/2 = -Q при

истечении жидкости из канала в водоем (при вытекании жидко­ сти из водоема на этой линии тока \\J2 =Q>0, поскольку жид­ кость вытекает из области, для которой любая кривая с началь­ ной точкой на действительной оси Im£, = 0 и конечной на пря­ мой А[А2 будет частью границы, обходимой в положительном направлении). Чтобы построить функцию, которая конформно

Ветвь этой многозначной функции конформно отображает верхнюю полуплоскость Im £, > 0 на внутренность неограничен­

ного треугольника АХА2АЪ в плоскости Q. Этот треугольник па­

раллельным переносом на расстояние h вдоль положительного направления мнимой оси можно совместить с неограниченным