книги / Физика для бакалавра. Ч. 2

ми» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еп, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Энергетическийинтервалмеждудвумясоседнимиуровнями

энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры

ямы соизмеримы с атомными ( l ≈ 10−10 м), то для электрона En ≈ 10−17 n Дж ≈ 102 n эВ, т.е. получаются явно дискретные

значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме»

сбесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантовомеханическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица в «потенциальной яме»

сбесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию,

меньшую, чем минимальная энергия, равная π2 2 . Наличие

2ml2

отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты x частицы в «яме» шириной l x = l. Тогда, согласно

291

соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность им-

уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (29.22) и (29.23) следует, что при больших кван-

положены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов – дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в современной физике, заключается в следую-

щем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем

вопределенных предельных случаях новая теория переходит

встарую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v << c в формулы ме-

ханики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т.е. применять классическую механику Ньютона.

Взаключение главы приведем основные величины и формулы квантовой механики:

292

Вопросы для самоконтроля

1.В чем суть корпускулярно-волнового дуализма?

2.Сформулируйте гипотезу де Бройля.

3.В чем суть опыта Дэвиссона и Джермера?

4.Чем отличается дифракция микрочастиц от дифракции

света?

5.Что такое фотон?

6.Напишите формулы массы, импульса и энергии фотона.

7.Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

ной траектории?

9.В чем суть принципа неопределенности?

10.Запишите выражение для неопределенностей: импульса

икоординаты, энергии и времени.

11.Как исходя из соотношения неопределенностей, объяснить наличие естественной ширины спектральных линий?

12.Что определяет квадрат модуля волновой функции?

13.Почему квантовая механика является статистической теорией?

14.В чем отличие понимания причинности в классической

иквантовой механике?

15.Может ли частица находиться на дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это формой «ямы»?

16.Запишите уравнение Шредингера для частицы в «потенциальной яме».

17.Запишите выражение потенциальной энергии частицы вне и внутри одномерной «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками».

18.Каково выражение энергии частицы в «потенциальной

яме»?

294

Проверочные тесты

Вариант 1

1. Какой из нижеприведенных формул следует воспользоваться для нахождения длины волны де Бройля, связанной с электроном? В формулах Е0 = m0·c2 – энергия покоящегося электрона; v – его скорость; Т – кинетическая энергия.

2. Каков смысл параметра U в уравнении Шредингepa

-2m Δψ+U ψ=i ¶¶ψt ?

1)полная энергия частицы;

2)безразмерная константа;

3)кинетическая энергия частицы;

4)потенциальная энергия;

5)правильного ответа нет.

3.Какая из нижеприведенных формулировок служит определением длины волны де Бройля?

1)это минимальная длина волны в сплошном спектре рентгеновского излучения;

2)это наибольшая длина волны в ультрафиолетовой серии спектра излучения водорода;

3)это наименьшая длина волны в видимой серии спектра излучения водорода;

4)это длина волны, связанная с движущейся частицей;

5)это максимальная длина волны светового излучения, при котором еще возможен фотоэффект.

4.Если допустить, что неопределенность координат движущейся частицы равна длине волны де Бройля, то какова будет

относительная неопределенность р/р импульса этой частицы? 1) 1,6 %; 2) 6,28 %; 3) 16 %; 4) 62,8 %; 5) 100 %.

295

5. Каков физический смысл волновой функции?

1)физического смысла волновая функция не имеет;

2)ψ (x, y, z) – плотность вероятности обнаружить микрочастицу в точке (x, y, z);

3)|ψ (x, y, z)|2 – плотность вероятности обнаружить микрочастицу в точке (x, y, z);

4)|ψ (x, y, z)|2 – кинетическая энергия частицы;

5)ψ (x, y, z) – потенциальная энергия частицы.

Вариант 2

1. Какое из нижеприведенных выражений представляет длину волныдеБройля? (v – скоростьчастицы; Т– периодколебаний).

2.Какое из нижеприведенных утверждений отражает суть соотношения неопределенностей?

1)микрочастица не может находиться в определенной точке пространства;

2)микрообъектыимеютдискретныезначениямассыизаряда;

3)микрообъекты не могут иметь одновременно определенными координату и импульс;

4)можно определить вероятность того, что микрочастица будет обнаружена в данной точке пространства.

3.Определите длину волны де Бройля, характеризующую

волновые свойства протона, движущегося со скоростью

v= 1 Мм/с.

1)0,397 пм; 2) 0,252 пм; 3) 0,252 нм; 4) 0,110 нм; 5) 0,397 нм.

4. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

1) 38,8 пм; 2) 44,4 пм; 3) 6,63 пм; 4) 5,93 пм.

296

30. КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АТОМОВ

Рассматриваемые вопросы. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Правила отбора для квантовых переходов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана.

30.1. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = l),

где r – расстояние между электроном и ядром. Функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 30.1, неограниченно убывающей (возрастающей по модулю) при уменьшении r, т.е. при приближении электрона к ядру.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (29.15), учитывающему значение (30.1):

где m – масса электрона; Е – полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является цен- трально-симметричным, то для решения уравнения (30.2) обыч-

297

но используют сферическую систему координат: r,θ,ϕ. Не вда-

ваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

Рис. 30.1

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (30.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции ψ, только при собственных значениях энергии

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бес-

конечно высокими «стенками» и гармонического осциллятора, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2, Е3, ... показаны на рис. 30.1 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, – основной, все остальные (Еп > Е1, п = 2, 3, ...) – возбужденные. При Е < 0 движение электрона является связанным – он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». На рис. 30.1 видно, что по мере роста глав-

298

ного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п= ∞ E∞ = 0. При Е > 0 движение электрона являет-

ся свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 30.1) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода

Выражение (30.3) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекаютнепосредственноизрешенияуравненияШредингера.

30.2.Волновые функции и квантовые числа

Вквантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (30.2) удовлетворяют собственные функции ψnlml ( r,θ,ϕ ), оп-

ределяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным ml.

Главное квантовое число п, согласно (30.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любыецелочисленныезначенияначинаясединицы: n = 1, 2, 3, ...

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l – орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значения l = 0, 1, ..., (п – 1), т.е. всего п значений,

и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Le момента импульса электрона может иметь лишь такие

299

ориентации в пространстве, при которых его проекция Lez на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные

где ml – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения ml = 0, ±1, ±2, ...., ±l, т.е. всего 2l + 1

значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml опре-

деляет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l + 1 ориентации.

30.3. Эффект Зеемана

Наличие квантового числа ml должно привести в магнит-

ном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом п на 2l + 1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 году голландским физиком П. Зееманом и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка.

Хотя энергия электрона (30.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению Еп (кроме Е1) соответствует несколько собственных функций ψnlml ,

отличающихся значениями l и ml . Следовательно, атом водоро-

да может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до п – 1, а каждому значению l соответствует 2l+1 различных значений ml

(см. подразд. 30.2), то число различных состояний, соответствующих данному п,

300