книги / Физика для бакалавра. Ч. 2

29. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Рассматриваемые вопросы. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц. Особые свойства микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Уравнение Шредингера. Квантовая частица

водномерной потенциальной яме.

29.1.Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля

Внутренние противоречия, содержащиеся в теории Бора, привели к необходимости пересмотра основ квантовой теории

ипредставлений о природе микрочастиц (электронов, протонов

ит.п.). Возник вопрос о том, насколько полным является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемойопределеннымикоординатамииопределенной скоростью.

Врезультате углубления представлений о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм. Наряду с такими свойствами света, которые свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свойства, обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, явление Комптона).

В1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм

не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон обладает энергией E = ω и импульсом

p = 2π .

λ

271

По идее де Бройля, движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого

29.2.Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 году отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе. Узкий пучок моноэнергетических электронов направлялся на поверхность монокристалла, отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединенным к гальванометру. Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Варьировались скорость электронов и угол φ. Рассеяние оказалось особенно интенсивным при определенном значении угла φ. Этот угол соответствовал отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми d было известно из рентгенографических исследований. При данном φ сила тока оказалась особенно значительной при ускоряющем напряжении, равном 54 В. Вычисленная длина волны, отвечающая этому напряжению, равна 1,67 Å. Брэгговская длина волны, отвечающая условию

равнялась 1,65 Å. Такое совпадение является прямым подтверждением идеи де Бройля.

Г.П. Томсон (1927) и независимо от него П.С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу.

272

Штерн и его сотрудники обнаружили дифракционные явления у атомных и молекулярных пучков. Во всех перечисленных случаях дифракционная картина соответствует длине волны, определяемой выражением (29.3).

В опытах Дэвиссона и Джермера, а также в опытах Томсона интенсивность электронных пучков была столь велика, что через кристалл проходило одновременно большое число электронов. Поэтому можно было предположить, что наблюдаемая дифракционная картина обусловлена одновременным участием в процессе большого числа электронов, а отдельный электрон, проходя через кристалл, дифракции не обнаруживает. Чтобы выяснить этот вопрос, советские физики Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант осуществили в 1949 году опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор заведомо поодиночке. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электронов через кристалл примерно в 30 000 раз превосходил время, затрачиваемое электроном на прохождение всего прибора. При достаточной экспозиции была получена дифракционная картина, ничем не отличающаяся от той, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.

29.3. Особые свойства микрочастиц

Микрочастицами называют элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие простые частицы), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т.п.).

Термин «микрочастица» отражает только одну сторону объекта, к которому он применяется. Всякий микрообъект (молекула, атом, электрон, фотон и т.д.) представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы,

273

и волны. Может быть, правильнее было бы называть его части- цей-волной.

Микрообъект не способен воздействовать непосредственно на наши органы чувств – ни видеть, ни осязать его нельзя. Ничего подобного микрообъектам в воспринимаемом нами мире не существует. Микротела не похожи ни на одно из тел, которых нам приходилось видеть когда-нибудь. Поэтому довольно трудно привыкнуть к законам микромира, тем более, что весь непосредственный опыт человека, вся его интуиция – все прилагается к крупным телам. Мы знаем, что будет с большим предметом; но именно так микрочастицы себя не ведут. Поэтому, изучая их, приходится прибегать к различного рода абстракциям. Сочетая в себе свойства частицы и волны, микротела не ведут себя ни как волны, ни как частицы. Отличие микрочастицы от волны заключается в том, что она всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда не наблюдал, например, пол-электро- на. В то же время волну можно разделить на части (например, направив световую волну на полупрозрачное зеркало) и воспринимать затем каждую часть в отдельности. Отличие микрочастицы от привычной нам макрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координаты и импульса, вследствие чего понятие траектории применительно к микрочастице утрачивает смысл.

Особые свойства микрочастиц отчетливее всего обнаруживается в следующем мысленном эксперименте (рис. 29.1). Направим на преграду с двумя узкими щелями параллельный пучок моноэнергетических (т.е. обладающих одинаковой кинетической энергией) электронов. За преградой поставим фотопластинку Фп. Вначале закроем вторую щель и произведем экспонирование в течение времени t. Почернение на обработанной фотопластинке будет характеризоваться кривой 1 на рис. 29.1, б. Вторую фотопластинку подвергнем экспозиции в течение того же времени t, закрыв первую щель. Характер почернения передается в этом случае кривой 2 на рис. 29.1, б. Наконец, откроем обе щели и подвергнем экспонированию в течение времени t

274

третью пластинку. Картина почернения, получающаяся в последнем случае, изображена на рис. 29.1, в. Эта картина совсем не эквивалентна наложению первых двух картин. Она оказывается аналогичной картине, получающейся при интерференции двух когерентных световых волн. Характер картины свидетельствует о том, что на движение каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод несовместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие – первое или второе. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия – и первое, и второе.

Не следует, однако, представлять дело так, что какая-то часть электрона проходит через первое отверстие, а другая часть – через второе. Мы уже отмечали, что электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами. Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой частицы со своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьше-

275

нием размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнаруживающиеся у макрочастиц.

В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, движение электронов в электронно-лучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятие траектории оказывается применимым к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности. Положение оказывается точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий). При определенных условиях понятие траектории оказывается приближенно применимым к движению микрочастиц, подобно тому, как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света.

Рассмотрим еще одно необычное свойство микрочастиц (волн де Бройля). Пусть свободно двигается частица массой т со скоростью v. Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Фазовая скорость

в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн).

Групповая скорость

следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

276

Групповая скорость фотона u = pcE2 = c , т.е. равна скорости

самого фотона.

Волны де Бройля испытывают дисперсию. Действительно,

дим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятельство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой механики. После установления корпуску- лярно-волнового дуализма делались попытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты, «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло, как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный момент времени в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы являлось и то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако подобное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Бройля) оказалось несостоятельным изза сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10–26 с) волнового пакета или даже разделению его на несколько пакетов.

29.4.Принцип неопределенности Гейзенберга

Вклассической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характе-

277

ристики макротел, т.е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса рх. Неопределенности значений х и рх удовлетворяют соотношению

где – постоянная Планка. Из (29.6) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных (х или рх), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна бесконечности).

Соотношение, аналогичное (29.6), имеет место для у и ру, для z и рz, а также для ряда других пар величин (в классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В, можно написать

Соотношение (29.7) называется соотношением неопределенности для величин А и В. Это соотношение открыл В. Гейзенберг в 1927 году. Утверждение о том, что произведение неопределенностей двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется

принципом неопределенности Гейзенберга. Энергия и время яв-

278

ляются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью E должно занять по меньшей мере интервал времени t ≈ hE .

Соотношение неопределенности было установлено из рассмотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной x, расположенную пер-

пендикулярно к направлению движения частицы (рис. 29.2).

Рис. 29.2

До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса рх имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что px = 0, зато координата

х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо

279

полной неопределенности координаты х появляется неопределенность x, но это достигается ценой утраты определенности

значения рх. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ, где φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность: px = psin ϕ.

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной x, соответству-

ет угол φ, для которого sin ϕ = λx . Следовательно, ∆px ~ pλ/∆x.

Отсюда с учетом (29.1) получается соотношение x px ≈ pλ = 2π ,

согласующееся с (29.6).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: в действительности у микрочастицы имеются точные значения координат и импульсов, однако ощутимое для такой частицы воздействие измерительного прибора не позволяет точно определить эти значения. Такое толкование является совершенно неправильным. Оно противоречит наблюдаемым на опыте явлениям дифракции микрочастиц.

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (29.6) вместо рх произведение mvх, получим соотношение

x vx ≥ 2m .

280