книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

Пособие по курсу теории упругости, предназначенное для сту­ дентов специальности "Динамика и прочность нашив» приборов и аппаратов", является переработанным курсом лекции, прочитанным авторами в Пермском политехническом институте. Пособие нонет быть полезно отудентам других специальностей, инженерно-техни­ ческим работникам, занимавшимся прикладными вопросами математичеокой теории упругости.

Курс лекций соотоит из двух частей. В I часть вопли основ­ ные уравнения механики сплошной среды и вариационные методы ре­ шения задач. Во П части излагаются задача Сеы-Венана и плоская задача теории упругости.

Авторы приносят искреннюю благодарность доценту кафедры ДЛИ ППИ,' канд. физ.-метем. наук А.А.Лежневой за просмотр рукопи­ си пособия и ряд замечаний.

- 4 -

Такие же задачи изучаются в сопротивлении материалов« иднако теория упругости отличается от сопромата прежде всего исход­ ными предпосылками, допущениями и методами решения задач. С точ­ ки зрения сопромата назначение теории упругости двоякое:

а) дать оценку точности решения задач, которые приближен­ но решены методами сопромата;

б) найти решения задач, которые не могут быть решены ме­ тодами сопромата.

Например, при изучении изгиба в сопромате вводится гипоте­ за Бернулли о том, что поперечные сеченин, бывшие плоскими до деформации, остаются плоскими после деформации. Нормальные на­ пряжения считаются изменяющимися по линейному закону. Эта >ч$ротеаа не нужна в теории упругости. Наоборот, методами теории упругости можно проверить правильность гипотезы Бернулли. Ока­ зывается, гипотеза приемлема только в тех случаях, когда размеры сечения балки налы по сравнению с пролетом. В балках-стенках напряжения при изгибе не меняются до линейному закону, решение такой задачи под силу только теории упругости.

Выводы теории упругости широко используются в различных областях .техники. В сейсмологии по результатам изучения рас­ пространения упругих волн в земной.коре вычисляются координаты очага землетрясения. Инженеры-строители используют методы теории упругости для расчета напряженно-деформированного состоя­ ния (НДС) строительных конструкций. Инженеры-механики занимают­ ся этими же вопросами в машиностроении. Физики широко использо­ вал! теорию упругости при разработке волновой теории свата. Наконец, решение многих задач газодииамики, гидро- в аэродина­ мики, не имеющих прямого отношения к расчетам на прочность, сво­ дится к ра.«смотрению уравнений, близких к уравнениям теории упругости-иди общих сними.

Теория упругости делится на линейную и нелинейную, £ линейвой теории упругости диаграммы растяжения - сжатия в координатах

- 5 -

to такое тело будет‘’нелинейно-упругий. Теория, устанавливающая законы обраеования деформаций в такой теле, называется нелиней­ ной теорией упругости.

3. Теория пластичности. Для многих материалов снятию нагрузки соответствует "прямая разгрузка", в результате чего те­ ло не приходит в исходное положение: имеют место остаточные пластические деформации.

Наука, устанавливающая общие законы образования пластичес­ ких деформаций и возникновения напряжений на всех стадиях плас­ тического деформирования, называется теорией пластичности. Она тесно связана с нелинейной теорией упругости.

4,. Теория ползучести. В теории упругости принимается, что если не изменяются нагрузка и температура, то не изменяется и НДС тала. При деформировании большинства полимерных конструкций и мегвдляческих деталей в условиях высоких температур может происхо­ дить изменение го времени-НДС тела. Одна сторона этого явления — изменение деформаций при постоянной нагрузке, называется ползу­ честью, другая - изменение напряжений при постоянной деформации — релаксацией. Ветвь механики деформируемого тела, изучающая обе стороны, объединяемые обычно термином "ползучесть", называется теорией ползучести. В последнее время интерес к теории ползучести заметно возрос из-за внедрения в промышленность бодьпого числа деталей из полимеров.

§ 0.2. Основные гипотезы теории упругости

непрерывное до деформации, остается непрерывным после деформа­ ции; деформации и перемещения точек тела очитаются непрерывными функциями координат. Молекулярным строением тела при решении практических задач можно пренебречь.

2. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела. Начальные напряжения в теле, существуете до приложения поверх­ ностных нагрузок, счжтаются равными нулю. Характер и величина этих напряжений зависят от истории возникновения тела.

- 7 -

труда было затрачено поколениями учёных, чтобы дойти до совре- - менных удобных и надежных методов расчета деталей и сооружений на прочность, сколько на этом пути пришлось преодолеть ошибок и заблуждений. Однако инженеру-исоледователю полезно знать об истории многолетних исканий, плодом которых явилась, знакомая

расчетная формула. Это знакомство не только полезно, но и необ­ ходимо для сознательного применения методов теории упругости. Без знания истории развития науки о прочности нельзя оценить современное состояние теории упругости. Это знание, обязатель­ но, если мы хотим избежать повторения-старых ошибок, которые в былое время тормозили научный прогресс. Так, например, амери­ канские инженеры, заинтересовавшись преимуществами в расчете

статически-определимых ферм, встали во второй половине XIX ве­ ка на своеобразный и глубоко неверный путь приближения конст­ рукции ферм к их расчетной схеме и заменили жесткие узлы (свар­ ка, клепка) болтовыми соединениями. Разумеется, такие фермы обладали пониженной жесткостью и работали неудовлетворительно, поскольку их узлы постоянно расстраивались и требовали непре­ рывного наблюдения и ухода, но тем не менее они применялись в США очень упорно. В.истории науки о прочности ато один на наи­ более ярких, но немногих примеров неправильного понимания взаим­ ной связи между конструкцией и расчетной охемой.

При изучении истории-известный интерес могут представлять методы, в свое время отброшенные, так как в них обнаруживаются интересные подходы, приемы, которые 'можно с успехом применять в наше время, на изменившемся уровне развития науки. Так профес­ сор Бернштейн С.А. более 20 дет назад, приступив к изучению исследований по строительной механике, выполненных учеными ХУП-ХУШ веков, с удивлением обнаружил, что их методы расчета,

забракованные в XIX веке, имеют неожиданное сходство с некоторы­ ми новейшими современными методами, основанными на учете плас­ тических деформаций. Это было теы более неожиданно, что в ту далекую эпоху ученые не только не имелн понятия о пластических деформациях, но и свойство упругости еще не умели использовать при расчетах на прочность. И несмотря на это, те методы, кото­ рые наука выдвинула за последнее десятилетие как принципиальное новшеохво, оказалноь в известном смысле воокреоними давно за­ бытыми методами ХУШ века.

,В настоящем методическом руководстве из-за ограниченности объема не рассматриваются этапы развития учения о прочности, не освещается роль различных ученых, внесших вклады в науку о проч­ ности. Подробно ознакомиться с этими вопросами можно прочитав написанные для широкого круга читателей книги С.А.Бернштейыа

[Ъ] и С.П.Тимошенко (M-J .

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1.1» Скаляр, вектор, тензор

Аппарат тензорного анализа является естественный в механике сплошной среды и, в частности, в теории упругости. В большин­ стве случаев задачи теории упругости решается в ортогональных декартовых координатах; при рассмотрении некоторых аадач ока­ зываются более удобными криволинейные координаты. Однако поч­ ти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах - цилиндрической или сферической для пространственных задач, криволинейной ортогональной сетке, порождаемой конформ*

ыыы отображением, для плоских задач.

Факт однородности и изотропности пространства приводит к требование независимости физических величин от частного выбора системы координат. Эта независимость может быть обеспечена определенным-законом преобразования чисел или функций, описы­ вающих физическую величину. Зак<№ каждый раз должен отражать свойства данной физической величины. Различие в законах преоб­ разования компонент величин приводят к понятие тензоров различ­ ных рангов.

Простейшим объектом является скаляр - физическая величи­ на, задаваемая ее численным значением, однмм ■ тем же во всех системах отсчета. К скалярным величинам относятся плотность, температура, кинетическая энергия.

Следующий по сложности объект - вектор. Это физическая величина, которой помимо ее численного значения приписывается некоторое направление. Таковы скорость, ускорение, сила. Для обозначения вектора используется или жирный шрифт и обычно отрбчные буквы латинского алфавита, или простой нрифт и строч­ ные буквы со стрелкой (чертой) над ники.

Рассмотрим правило преобразования проекций вектора при преобразовании (повороте) ортогональной декартовой системы