книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- 4 1 -
Здесь Р - радиус-вектор точки; V - орт нормали к площадке. Зависимость девтора напряжения от ориентации площадки обычно
отмечается нижним индекоом, указывающим направление нормали к рассматриваемой площадке»
Вектор напряжения J5 принципиально не годится для характе ристики напряженного соотоянмя среды в точке, поскольку прм этом необходимо рассматривать бесконечную совокупностьр на всевоз можных площадках, проходящих через точку (рис. 2.1).'Оказалось
возможным определить такую величину, которая является однознач ной функцией точки, т.е. не зависит от ориентации площадки и
вто же время позволяет вычислить напряжение на любой площадке
снормалью £ .
Пусть нас интересует напряжение в точке M(xL) . Через эту точку проведем три плоскости, параллельные координатным и, пере
секая их одной наклонной плокостью, |
достаточно близкой к точке |
|||||
М , . вырежем элемент в виде тетраэдра |
(рис. 2.2). |
|||||
Действующие но граням полные напряжения, представляющие взаи |
||||||
модействие |
этого тетраэдра с остальным телом, обозначатся Pi.PaiPs, |
|||||
полное напряжение на наклонной площадке - |
• Составляющие этих |
|||||
векторов напряжений действуют по трем вэаимно перпендикулярным' |
||||||
направлениям, |
параллельным координатным осям: |
|||||
от |
р , |
- |
составляющие |
Рп> Ргг* |
|
|
ОТ |
|
- |
-"- |
Р,л,Pjfj, P s z |
' |
|
ОТ |
р3 - |
-и- |
Р,згР*3>Рм |
• |
||
- kZ -
Составляющие oi( *представляют собой нормальные напряжения
к обычно обозначаются через © , Р^ (}*</) ~ касательные с • Нор мальные напряжения <з^. считаются положительными, если они вы
зывают растяжение. За положительное направление касательных на пр яжений^. '^ принимаются положительные направления осей коор динат, если направление растягивающего нормального напряжения на той же площадке совпадает с положительным направлением оси, параллельно которой оно действует. На рис. 2.3 все действующие
Рис. 2.2.
напряжения имеют положительный знак; одноименные напряжения на противоположных гранях одинаковы. Однако, когда возникает зада ча установления закона распределения напряжений в определенной области тела, то бесконечно малые разности приходится учитывать.
Расположим все напряжения, определяющие напряженное состоя^- ние в рассматриваемой точке, в виде матриц:
|
% |
<з>, |
&ХХ |
/о? /= |
<£/ |
% |
* |
|
|
||
|
|
/ |
|
% / |
1 |
**' % |
- |
43 - |
Эти симметричные квадратные |
матрицы называют тензором на |
пряжений. Данные девять величин, |
очевидно, никак не связаны с |
ориентацией площадки, на которой определяется напряжение Д , а
связаны лишь с данной точкой среды. В то же время знание '5“у,- позволяет вычислить напряжение Д на любой площадке, если из вестна ее ориентация 7 •
-Таким образом, в каждой точке среды однозначно определена
одна физическая величина, характеризуемая девятью числами ? которая и служит исчерпывающей характеристикой напряжоншдок со стояния среды в точке. Закон преобразования девяти величин при изменении системы координат записывается следующим обрааом:
V |
* |
(2.5) |
Еоли ввести координатные оси х, у , |
и значения направляю |
|
щих косинусов |
|
|
cos fax) = Д, |
= С, ) |
|
cos fay) =•£„ |
у |
(2.6) |
cosfajr)=<fSi/ - п >
- brk -
то значения компонентов тензора напряжений на новой площадке с нормалью v' определятся так:
oj = |
&уутг * * я гп * |
*~sy-f '77'п' |
п’“v |
||
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
' |
|
( п , ез * 6f ns ) * |
6 Ц (т , sij * >7, ^ |
). |
Здесь npi переходе |
от системы л ^ г |
к системе xtiy,,£t направ- |
|||
дення осей втррой системы по отношению к осям первой задаются |
|||||
матрицей косинусов |
|
|
|
|
|
|
X |
У |
г |
|
|
X, |
е , |
т , |
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||
|
£ |
тг |
|
|
|
У/ |
|
<*« в п 7 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*3 |
|
|
§ 2.3. Напряжения .вблизи наружной поверхности тела
Между внешней нагрузкой* действующей на какую-либо точку наруж ной поверхности тела, и компонентами напряжений, действующими внутри тела в окрестности той же точки, должна существовал связь. Для установления атой связи возле какой-либо точки поверхности тела плоскостями, параллельншн координатным, вырежем бесконечно малый элемент (ряс. 2.3). В общем олучае, когда тало не призма
тической формы, |
элементарным объемом окажется, очевидно,» элемен |
||||
тарный |
тетраэдр |
(см. рис. 2.2), |
три ребра |
которого |
направле |
ны по |
осям х± декартовой системы, координат. |
Обозначим |
площади |
||
граней, перпендикулярных к осям хг ,хл,хл системы Л , соответст венно черев d&f/ а наклонной грани с нормал!ю 7. через d s r
- *5 -
Действие среды на эти грани тетраэдра выражается соответственно
внапряжениях Д. .Aj,As,A.f , приложенных к граням. Здесь минус
виндексах означает, что рассматриваются напряжения на наружна; сторонах граней тетраэдра, внешние нормали которых направлены
"противополокно осям xf ,хг,х3 и нормали ^ . Вследствие равенства
действия и противодействия силы, на |
внутренних сторонах граней |
|
тетраэдрар,Ые,,рг d e ^ d s ^ , |
равны по величине и проти |
|
воположны |
по направлению силам на. наружных сторонах граней (тре |
|
тий 8акон |
Ньютона),т.е. |
|
Если IV - ускорение центра инерции тетраэдра, / - вектор мас совых сил, отнеоенных к единице массы, то по закону движения цен тра инерции тетраэдра (второй закон Ньютона), массу которого обозначим d m , получим
W dm ~fdm |
tp^dG, Д , <2% * Д d& = |
- 46 -
=fctm |
de„ -p,olet -p3d ^ |
afcj • |
(2.9) |
Вследствие того, что члены с элементом массы, пропорцио нальной объему, являются малыми более высокого порядка малости по сравнению с членами, содержащими элемент площади,, при стяги вании тетраэдра к точке М в пределе получим
Д /ofey =Pr d e , +P2 d e 3 'P j d G j |
d<&£-. |
(2.10) |
|
Поскольку |
|
|
|
d&£ =d G fco s ft ,^ ) = n £d e ^ |
T O |
. |
( 2 . I I ) |
Проекции вектора напряжения f y на площадку с нормалью |
У на |
||
оси системы к равны: |
|
|
|
^ |
* |
|
(2 Л 2 ) |
Этими условиями на контуре тела приходится часто пользоваться, поэтому внпинем их по компонентам:
(2.15)
Условия ,на контуре тела (условия Койн иди статические граничные условия) служат "перекидным моотиком" от вцутренних сил возле границы твердого тела (& cj) * внешним силам />у , действую щим на наружной поверхности тела.
§2.4. Главные напряжения я главные оси тензора напряжений
Рассмотрим проиэводьный тензор 2-го ранга £ik . Если этот тен>- зор умнопть на вектор а и произвести свертывание по индексу _ вектора и одному индексу тензора, то подучим некоторый вектор 3 с компонентами
- 47 -
Уокно говорить, что тензор tcA. , будучи умножен скадярно на некоторый вектор а , преобразует его в новый вектор 6 (в том смысле, что из компонент вектора а определенным действием . получаются компоненты другого вектора 6 ) . Вектор 6 вообще от-, ■личсн от а по величине и направлению. Таким образом, тензор при умноаении на вектор изменяет длину этого вектора и поворачивает его.
Отыщем для заданного тензора такие векторы а , кото рые бы не поворачивались этим тензором, а только изменяли йднну. Тогда
|
|
|
|
~Л <2; , |
(2.15) |
где Д |
- скаляр. |
|
|
|
|
Физический смысл этой задачи рассмотрим на примере. На пло |
|||||
щадке с |
нормалью ]/ |
напряжение |
|
||
|
|
|
A v |
" А ' Л • |
|
Причем вообще |
вектор |
р и |
не параллелен орту 7 |
, т.е. на каждой |
|
площадка |
есть |
и нормальные, и касательные напряжения. Интерес |
|||
представляют площадки, на которых есть только нормальные напря жения, а касательные равны нулю. Для этих площадок
/О,//7 или '
Тогда ориентация этих площадок (орты ? ) определится И8.системы уравнений
_ |
<2 Л 6 > |
Если для тензора tiA существуют векторы а |
, удовлетворяю |
щие уравненины |
|
|
(2.17) |
то направления, определяемые векторами, называются главными (соб ственными) направлениями тензора tik .. Оои этих направлений именуются главными осями тензора.
Значения компонент тензора в координатной системе главных
- 48 -
осей называется главными значениями. Все три главные оси тензо ра взаимно перпендикулярны.
Компоненты тензора напряжений, действующие по главны” на правлениям, называются главными напряжениями. Тензор напряжений в системе главных осей имеет матрицу
|
G, |
О |
О |
|
О |
<в2 |
Q |
|
О |
О |
G 3 |
Таким образом, наклонная площадка является главной, если |
|||
для нее г = |
и потому р 9 = |
, т.е. полное напряжение и. нор |
|
мальное напряжение для главной площадки совпадают по величине и направлению.
§ 2.5. Инварианты тензора напряжений
Согласно (2.17) компоненты векторов <2 , определяющих главные оси тензора , удовлетворяют системе трех однородных урав нений
£<*а * |
‘ У |
(2.18) |
|
или
(2.19)
Заметим, что уравнения (2.19) можно также получить из (2.13) подстановкой в них p Ly> - <з£; и соответствующими преобразованиями.
Однородная система уравнений (2.19) может служить для опре деления направляющих косинусов . При атом ищется отличное от нуля иди, как говорят, нетривиальное решение'этой системы.
- цэ -
Известно, что однородная система имеет нетривиальное реше ние в тон случае,.если определитель ее равен нулю:
Gn - & |
« в |
Ъз |
|
|
|
||
&*г |
&л* ’ * |
*33 |
* О. |
(2 .2 0 ) |
Раскрывая этот определитель, например по правилу Саррюса, поду чим характеристическое уравнение тензора второго ранга (ве ковое уравнение):
* в „ '< ? „ ) * |
|
■■SSJS„ ' аа - ° а ~ |
|
, |
- |
|
(2.21) |
-* /,) - |
- 3„ |
- 9а Ь Г % г ^ а ) ш° - |
- |
Поскольку определитель симметричен относительно главно! диагона
ли У , то решение уравнения (2,21) даст три корня &т * -3
и все они будут действительными. Расположим значения трех глав
ных напрялений в таком порядке: <3,> < з± *< з± . Из уравнений (2.19) с учетом условия
К |
|
(2 .22) |
можно найти направляющие косинусы для |
т.е. £. |
л - |
( с =1,2,3). Исследование этих направляющих косинусов показывает, что главные площадки, соответствующие значениям <s>, оказы ваются взаимно перпендикулярными.
Итак, в. случае тела, нагруженного силами, через каждую его точку всегда можно провостя три взаимно перпендикулярных площад
ки, на которых отсутствуютt . Действующие на них |
будут иметь |
|
стационарное значенме |
- максимум, минимум и мннимакс. |
|
Уравнение (2.21) |
можно переписать в виде |
|
в-”'-er2J(e-)f-f- Gj(&)e |
О. (2.23) |
- 50 -
Величины <?, S'f<s3 не зависят от выбора системы координат и, сле довательно, являются скалярами. Поэтому величины и 2? этого уравнения также не должны меняться при изменении системы коорди
нат. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
величины |
|
|
|
|
|
|
3 ( e ) , - |
|
" -v.5= в |
* * |
^ |
'- ‘ |
(2 «И-'0 |
|
|
|
||||||
= |
^32 |
+ |
е гг |
+ |
?» |
Ъ , I |
|
^гз &зз |
<Sn |
&2J |
|
<*>, |
|
(2.25) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
= |
* е £ е 3 |
* < * ,& ,)• с 'i v ; |
|
||||
|
&п |
• |
<S)< |
|
|
|
|
* П - |
гг ■ |
^гз |
= (<5, сг, e-s )=■i n v (2.26) |
||||
|
631 |
632 |
^зз |
|
|
|
|
являются инвариантами тензора напряжений второго ранга. Исполь зуя эти инварианты ( э, - линейный, J2 - квадратичный, Jj - 3-го порядка), можно составить бесчисленное множество других инвариан тов, представляющих всевозможные комбинации Например,
1 Л‘ (Ъ еУ
И Т.Д..
Очевидно, что в теории напряжений инварианты следует рас сматривать как основные характеристики напряженного и деформи рованного состояний в точке. Компоненты же напряжений и деформа ций, как связанные с осями координат, являются вспомогательными.
§2.6. Понятие о шаровом тензоре и девйаторе напряжений
Прочность материала зависит не только от величины компонентов напряжений, во и от характера напряженного состояния. Так, боль** пинство твердых тел противостоят беэ разрушения действию одина-