книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

- 91 -

Теперь обращаясь к интегралу в левой части, заметил, следующее;

v

тенциад есть однородная функция второй степени относительно V '

ний упругости при заданных граничных ■ начальных условиях есть единственно возможное реионие. Только в случае упругого равнело- & ш длинных тонких прутьев, тонких пластинок и ободочек возможно несколько решений, вследствие .чего равновесие может* быть неустой­ чивыми

§ 5.5. Тоалеотзо Бетти.

Теорема о минимуме потенциальной э'.ергии

- 92 -

Тождество Бетти пожавнвает, что для одного и того же линейноупругого тела работа силы первого напряженного состояния па де­

формация второго напряженного состояния равна работе силы вто­ рого напряженного состояния на деформации первого.

Пусть истинный вектор перемещения есть г/ , а соответст­ вующий ему тензор напряжений - <згт/( • Этот тенвор напряжений удовлетворяет, условиям на поверхности и уравнениям равновесия.

93 -

£- положительно-определенная величина;

А- работа деформаций, соответствуюцая истинным первые-. щениям (далее работа объемных и поверхностных сил на

энергия действительного состояния имеет экстремальное значение.

формации, всегда положительна ■ вычисляется как половина прона­

Следовательно, энергия изгиба на единицу длины стержня (dfr=/ ) будет следующей:

г Т С 5 3 Р 7 ? ( 5 ^ 7 )

£ J

Рис, 5,1

У ж е л л н ординату изогнутой оси балкг в Л раэ гав, чтобы ь>м =ксо

fK - k f . Тогда потенциальная энергия системы эаиивотся в

виде

Хг * I оущеотвует действительное состояние потенциальной энер­ г о , при котором балке находжтои в равновесии. В этом соотоннш

- 9 5 -

ломицмшшпак энергия имеет отрицательное ымнниадьное вначенщ?, при котором

ПСы) - m i n . на рио. 5.2

(1,05 -0,5) цркрацение (ва­ риация) потенциальной энер­ гии равно нулю, т.е. ЛУ7=0

плп /

d O (cj) _ л d 2fl(co)

ГЛАВА 6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

§ бг1. Варряпшонныя п р и н ц и п ы Лагранаа и Кастильяно

Пусть упругое тело под действием внешней нагрузки, состоящей па

(состояние I). В этом состоянии удовлетворяются'уравнения на по­ верхности, равновесия и условия Сен-Венана..

В частности, можно, например, приложить только или вариации по­ верхностных сил,или вариации объемных сил,'иди считать те и дру­ гие равными нулю, оставляя-лишь вариации напряжений, рассматри­

Здесь последний член обозначает вариацию работы внутренних сил»

- 97 -

знаки вариаций можно вынести за знаки всех интегралов. Перепи­ шем, уравнение (6*2):

•* И У Выражение в квадратной скобке есть полная ,потенциальная энергия

ция энергии явилась следствием вариации перемещений. Нохно убе­

щения, действительно имеющие место, сообщают потенциальной энер-г гни минимальное значение. В этом н заключается принцип Лагранжа или пр ке щш минимума перемещений. Он вытекает непосредственно из начала возиозных перемещений.

Отметан, что принцип Лагранжа есть наиболее общий принцип статная. Из него, как следствие, можно получить уравнения равно­ весия, гранпчные условия, геометрические уравнения ж условии сплошности Сен-Венана. Если задача теории упругости реиается методом перемещений, то принцип Лагранжа о л у ш прожравши кри­ терием для нандучиего приближения искомой функции.

Применим начало.возможных (виртуальных) перемещений ко вто­ рому фиктивному состоянию тела, вэяв за возможные перемещения действительного I состояния. Подучим

Иг удельная потенциальная энергия внутренних сил, выравенная черев напряжения и вызван­ ная вариацией напряжений.

Вынесем знаки вариации за знаки интеграла, сменим все знаки на обратные и, положив варяацжв объемных о н равной нулю, поду­ ч и

-98

ЩР к /Hv-ffpu UidsJ.Sn,-о. (6.6)

Здесь П 1 - неполная потенциальная энергия сиитиыы (бее объемных сил).# Равенство (б.6) означает, что потенциальная энергия внутрен­ ни х и поверхностных сил в действительном состоянии имеет экстре­ мальное значение, т.е. П/в/погг.

Из всех систем статически возможных напряжений, т«е„ сис­ тем, которые находятся в равновесии с заданными массовыми сила­ ми, а на поверхности - с поверхностными, только та система су­ ществует в действительности, для которой энергия внутренних п поверхностных сил минимальна. В этом и заключается принцип Кастильяно.

Оба принципа утверждают, что энергия системы в действитель­ ном состоянии имеет минимум. Однако в Лагранжевом принципе варьи­ руются перемещения, а в принципе Кастильяно напряжения.

§ 6.2. Метод Редея - Рктпа

Реиение задач теории уцругостй часто связано со значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к прибли­ женным методам, основанным на принципах минимума потенциальной энергии. Вариационные методы в строительной механике начал при­ менять Релей. Дальиейиее развитие их принадлежит Рнтцу.' Он рассматривает задачу об изгибе заделанной по контуру, прямоуголь­ ной пластинки, о колебании плаотинки, о приближенной решении дщфференциальнмх уравнений с переменными коэффициентами, задачу Дирихле и др. ж указывает, что для приближенного ранения этих индии, о в о д а ц о я к разысканию зкотремалж некоторого определен­ ного интеграла, нет необходимости искать н решать уравнение 81жера - Хагранжа. Можно применить нрямой путь определения иско­ мой функции. Поэтому также методы получили название прямых.

Методом Рятда реиаетоязадача об экстремуме фувкцвоввда. Пусть задан определенный интеграл

- 99 -

Требуется подобрать функцию w = usfx) , удовлетворявшую заданным гранпчнш ус д о в е я м так, чтобы функционал J принимал экстремаль­ ное эпачопцйо До этому методу искомой функцией, которая бы интег­ ралу (6*7) сообщала экстремальное значение, ведаются:

Эта функция должна удовлетворять заданным граничным условиям при любых значениях произвольных параметров и по возможности близ ко подходить к истинной функции U'fxj f пока нам не известной, но' угадываемой из физической сущности поставленной задачи. Подстава

приближения определяется при этом чиохои подбираемых параметра

п • 1 можно пожучить ранение высокой отепенж точноотж. В част­ ности, воин бы функцию и г угадали ааравве, то бнхо бы подучено в точности экстремальное значение функционала.

Рассмотрим пример применения метода Р и д а к решению задачи еоиромита. Пусть дана жонсольная балка, 'нагруженная .равомерно распределенной нагрузкой интенсивности ^ (рис. 6.1). Для этой бадяж полная потенциальная анергия выразится формулой

- гао

мальное значение. Эта задача об определении экстремума функциона­ ла обычно ренается при помощи дифференциального уравнения Эйлера-

Но будем решатьзадачу приближенно. Зададимся в первом приближе­

При любом значенш единственного параметра а эта функция удов­ летворяет геометрическим граничным условиям: