книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

3

ВВЕДЕНИЕ

Любые объекты окружающей действительности обладают разнородными свойствами как числовой (количественно-измеримые параметры), так и нечисловой (качественно-описываемые параметры) природы. Для сравнения состояний одного или нескольких объектов целесообразно их комплексное оценивание – приведение к обобщённой, интегральной или, как её ещё называют, комплексной оценке, используя которую возможно ранжирование состояний одного объекта, определение степени преимущества (недостатка) одного состояния над другими или ранжирование группы объектов (альтернатив).

Комплексное оценивание сложных 1 объектов имеет широкий спектр практических приложений в тех областях, где востребовано агрегирование информации до одного или нескольких укрупнённых показателей. Традиционно механизмы комплексного оценивания используются для осуществления контроля – одной из функций управления, однако эти же подходы могут использоваться для планирования деятельности и поддержки принятия управленческих решений. Методы, изучаемые в курсе «Методы и алгоритмы поддержки принятия решений в задачах многокритериального выбора», разрабатывались без привязки к какой-либо конкретной предметной области, поэтому они носят универсальный характер и могут использоваться в деятельности любых предприятий и организаций.

Исторически можно выделить два подхода к комплексному оцениванию: ординалистический (совокупность методов, построенных на допущении, что в отношении объектов и их свойств возможно установление порядка следования по степени их предпочтительности) и кардиналистический (совокупность методов, построенных на допущении о существовании шкал предпочтительности и возможности нахождения оператора, устанавливающего связь между фазовым пространством, образованным шкалами измерения свойств объекта, и пространством, образованным шкалами предпочтительности). Современные механизмы комплексного оценивания, представляющие отдельное направление в теории активных систем [1–4] и теории управления организационными системами [5, 6], сочетают положения обоих подходов, поскольку объекты, информация о состоянии которых требует

1 Под сложными объектами понимаются объект, группа объектов или система, описываемые вектором гетерогенных свойств. В некоторых источниках такие объекты называются многомерными, многопараметрическими, многоатрибутными, многофакторными, многокритериальными.

4

агрегации, обладают, как правило, разнородными свойствами числовой (ко- личественно-измеримые параметры) и нечисловой (качественно-описывае- мые параметры) природы.

ВXX в. при решении множества прикладных задач, начиная от узкоспециализированных, например оценки результатов деятельности научных сотрудников [7–11], оценки безопасности [11–15], управления проектами [16]

ипрограммами [17], до достаточно широких (оценки муниципальных и государственных программ [18–20]), хорошо зарекомендовали себя матричные механизмы комплексного оценивания (ММКО), представляющие последовательную попарную свёртку критериев. Эти методы основаны на идеях академика А.Н. Колмогорова [21, 22] и В.И. Арнольда2 [23, 24] о представлении функции многих переменных как суперпозиции функций меньшего числа переменных.

Внастоящем учебном пособии рассматриваются именно матричные механизмы комплексного оценивания. Эти методы разрабатывались несколькими группами учёных в Институте проблем управления 3 , в частности А.М. Черкашиным [7, 8], В.А. Глотовым [25–28], В.В. Павельевым [25–32] и В.Б. Гусевым [31–33] из лаборатории «Управления в саморазвивающихся си-

стемах» 4 № 43, В.Н. Бурковым [3, 4, 7, 8, 12–14, 16, 18, 25, 34 и др.],

В.В. Цыгановым [8], А.В. Щепкиным [12–14, 34], Д.А. Новиковым [16, 34– 36] из лаборатории «Активных систем» № 57, группой учёных из Воронежа во ВГАСУ5, в частности С.А. Баркаловым [19, 37], Т.М. Леднёвой [38], П.Н. Курочкой [39, 44], Е.А. Казаковой (Власовой) [37, 40–45], группой учёных из Перми в ПНИПУ (ПГТУ 6) [46–76], преимущественно В.А. Харитоновым

2Академик АН СССР, РАН с 1990 г.

3С 1939 до 1969 г. Институт автоматики и телемеханики (ИАТ) АН СССР, с 1969 по 1991 г. Институт проблем управления (автоматики и телемеханики) Минприбора СССР и АН СССР, в настоящее время Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова (ИПУ) РАН.

4С 2016 г. лаборатория №43 присоединена к лаборатории «Интеллектуальных систем управления и моделирования» № 40.

5Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, в 2016 г. реорганизован в форме присоединения к Воронежскому государственному техническому университету в рамках формирования в Воронежской области регионального опорного университета.

6Пермский государственный технический университет, в 2011 г. получил статус

национального исследовательского университета, в связи с чем был переименован в Пермский национальный исследовательский политехнический университет.

5

[46–48, 50, 51, 55–59], А.О. Алексеевым [60–76], и в ПГАТУ (ПГСХА 7 )

А.А. Белых [51–60], Р.Ф. Шайдулиным [52, 58–61] и др.

Несмотря на широкую область применения ММКО, использование дискретных шкал при комплексном оценивании приводило к потере чувствительности комплексного показателя к малым изменениям частных критериев. Данная проблема была решена в начале XXI в. отчасти независимо и параллельно несколькими группами учёных, которые активно занимались разработкой механизмов комплексного оценивания.

В 2003 г. А.М. Анохиным, В.Б. Гусевым и В.В. Павельевым [32] из ИПУ РАН были предложены модели комплексного оценивания, основанные на интерполяции матриц свёртки8, что позволило работать с непрерывными аргументами. Следовательно, и комплексный показатель принадлежал непрерывной шкале, т.е. проблема отсутствия чувствительности к малым изменениям сворачиваемых показателей была решена. Получившиеся функции свёртки обладали свойствами непрерывности, монотонности и кусочной гладкости, что позволило формулировать и решать задачи управления многомерными объектами и задачи оптимизации.

На год ранее, в 2002 г., Н.Г. Андронниковой, С.В. Леонтьевым и Д.А. Новиковым [35] из ИПУ РАН была предложена процедура нечёткого комплексного оценивания 9, позволяющая экспертам оценивать качественные параметры и при этом высказывать модальные суждения. Нечёткие сетевые системы комплексного оценивания были предложены чуть позже Д.А. Новиковым и А.Л. Сухановым [36].

Нечёткое комплексное оценивание получило активное развитие в исследованиях пермских учёных В.А. Харитонова, А.А. Белых и их коллег, начиная с 2004 г. [46–60 и др.]. Существенным толчком для развития этого направления стала гипотеза профессора В.А. Харитонова о способности настоящего Эксперта высказывать модальные суждения на множестве двух ближайших по смыслу категорий так, чтобы сумма значений характеристической функции нечёткой переменной была равна единице. Принятие данного допущения позволяло установить однозначное соответствие между нечёткими переменными и непрерывной шкалой действительных значений10.

7 Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова, в настоящее время Пермский государственный аграрно-технологи- ческий университет имени академика Д.Н. Прянишникова.

8См. § 1, выражение (1.18).

9См. § 1, выражения (1.3), (1.5) и (1.7).

10См. § 2, выражение (2.1).

6

Это позволило работать как с непрерывными значениями сворачиваемых критериев, так и с нечёткими переменными.

Профессору В.А. Харитонову и его коллегам [51, 55, 56, 58] удалось получить трёхмерные поверхности функций свёртки 11 и их проекции на область определения 12, что способствовало активному распространению этих методов в связи с большей наглядностью результатов комплексного оценивания. Отдельный интерес представляло транзитивное замыкание механизмов комплексного оценивания [47]. Впервые возможность работы с элементами матрицы в нечётком виде была показана профессором В.А. Харитоновым в работе [56].

Необходимо отметить, что в работах Д.А. Новикова, В.А. Харитонова и их коллег в процедуре нечёткого комплексного оценивания использовался максиминный подход к теоретико-множественным операциям над нечёткими множествами. Исследование альтернативных подходов началось в 2010 г. [63–69, 72–76] начиная с вероятностного подхода [63]. В 2014 г. были предложены аддитивно-мультипликативный подход к операциям над нечёткими множествами 13 [64–66] применительно к процедуре нечёткого комплексного оценивания и эквивалентная ей функция интерполяции матрицы свёртки 14 [66]. Эти методы обладают свойствами непрерывности, монотонности и кусочной гладкости, а также позволяют работать с элементами матрицы, заданными в непрерывном или нечётком виде [67]. В исследовании [68] показано, что альтернативные подходы не обеспечивают монотонности функции свёртки.

В период с 2014 по 2016 г. удалось показать, что известные матричные механизмы комплексного оценивания, применимые в различных условиях неопределённости [69], могут быть разделены на два класса методов 15, и в этих классах методы эквивалентны друг другу при определённых условиях [69, 70]. Это позволило обобщить известные механизмы и осуществлять комплексное оценивание сложных объектов, обладающих различной неопределённостью.

Для редких случаев, когда вместо экспертов к комплексному оцениванию привлекаются рядовые носители предметно-профессиональной области,

11См. § 1, рис. 1.4, рис. 1.6.

12См. § 1, рис. 1.5, рис. 1.7.

13См. § 1, выражения (1.4), (1.6), (1.7) и (1.8).

14См. § 1, выражение (1.19).

15См. § 2, табл. 2.1.

7

высказывающие весьма размытые суждения, или в случае существенной неопределённости информации о состоянии частных критериев была предложена Ф-нечёткая процедура комплексного оценивания 16 [71].

Групповая экспертиза сложных объектов, описываемых вектором свойств, является актуальной задачей во многих предметных областях, что делает востребованным синтез механизмов комплексного оценивания и активной экспертизы. Механизмы активной экспертизы разрабатывались с целью минимизации стремления активных агентов искажать информацию о состоянии оцениваемого объекта. Известно [77, 78], что неманипулируемыми механизмами активной экспертизы являются медианные схемы голосования. Так, в работе [72] был предложен матричный анонимный обобщённый медианный механизм (МАОММ) 17 с целью согласования группой экспертов единого механизма комплексного оценивания. Там же [72] было доказано, что матрица свёртки, полученная в результате применения МАОММ, непротиворечива, т.е. не убывает.

Для случаев, когда к экспертизе привлекаются узкопрофильные специалисты, способные оценить лишь часть свойств исследуемого объекта (класса объектов), были предложены два подхода к делегированию 18 сообщений (передача права оценки непрофильных свойств компетентным в этом вопросе коллегам). В [73, 74] доказано, что при сообщении результата активной экспертизы при n экспертах данное сообщение является результатом активной экспертизы при (n+1) экспертах. Это позволяет организовать процедуру делегирования следующим образом: если эксперт считает необходимым делегировать право оценки некоего критерия, то вместо его оценки можно сообщить результат активной экспертизы, который получился бы без участия данного эксперта. Помимо этого демонстрируется другой способ делегирования, основанный на заполнении матрицы свёртки по принципу полного доминирования над критерием, сообщение о котором планируется делегировать.

В ходе исследования устойчивости механизмов принятия решений к стратегическому поведению агентов, выполнявшегося в рамках гранта Президента Российской Федерации в 2014–2015 гг. (МД-6075.2015.9) и гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-07-01550) в 2016–2019 гг., было показано, что синтез механизмов комплексного оценивания и механизмов активной экспертизы [75, 76] обеспечивает неманипулируемость комплексного оценивания только в частных случаях 19.

16Идея о Ф-нечётком комплексном оценивании была предложена профессором Гитманом М.Б. на семинаре Пермского НОЦ проблем управления 24.02.2014 года.

17См. § 4.

18См. § 5.

19Подробнее см. с. 49–50.

8

Важно, что до 2019 г. синтез механизмов комплексного оценивания всегда осуществлялся на основе экспертных суждений, высказываемых в виде составных правил вывода: «Если первый критерий имеет оценку (плохо, удо-

влетворительно, хорошо, …) и второй критерий имеет оценку (плохо, удовле-

творительно, хорошо, …), то агрегированный показатель интерпретируется как (плохо, удовлетворительно, хорошо, …)». Предлагались и альтернатив-

ные подходы. Например, в работе [62] предлагался подход к определению элементов матрицы свёртки, основанный на попарном сравнении состояний критериев, однако данный подход оказался более трудоёмким, нежели традиционный в виде составных правил «если, то». При этом считалось, что нет множества объектов, в отношении которых уже установлено отношение предпочтительности (обучающее множество).

Впервые задача синтеза механизмов комплексного оценивания на основе обучающего множества рассмотрена на XIII Всероссийском совещании по проблемам управления в 2019 г. В.Н. Бурковым, Н.А. Коргиным и О.Л. Мариным [79], результаты исследования были представлены Н.А. Коргиным на Международной научно-практической конференции «Теория активных систем – 50 лет» 20. В настоящее время это направление исследований является одним из наиболее перспективных в области матричных механизмов комплексного оценивания.

20 Конференция ТАС-50 проводилась с 18 по 19 ноября 2019 г. в ИПУ РАН.

9

§1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОМПЛЕКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

Согласно методологии управления [80] процесс оценивания (рис. 1.1) заключается в переходе из пространства состояний системы, в данном случае сложного объекта, – фазового пространства – в критериальное. Наличие параметров нечисловой природы делает задачу дополнительно сложной.

Рис. 1.1. Процесс оценивания 21

Частный критерий характеризует состояние сложного объекта по отдельному свойству / характеристике / параметру (группе параметров) объекта. Комплексная оценка характеризует состояние объекта в целом (рис. 1.2) с учётом важности отдельных свойств для лица, принимающего решения (ЛПР).

Рис. 1.2. Схема комплексного оценивания

21 На рисунке использованы следующие обозначения: xj – фактическое значение j-го

показателя, j 1, m ; X i – значение i-го критерия, i 1,n . Критерий, описывающий состоя-

ние объекта управления, с частной точки зрения, может зависеть от нескольких показателей системы одновременно, например, критерий может определяться как отношение результата к затратам, поэтому в общем случае m n.

10