книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

3.1.Агрегирование двух критериев с точечными значениями

сиспользованием непрерывных ММКО

Произведём агрегирование двух критериев со значениями Xr = 1,3 и Xc 2,6. В этом случае мы можем использовать непрерывные ММКО. Тогда

Пусть матрица свёртки имеет элементы, которые показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Матрица свёртки, используемая для примеров (подразд. 3.1–3.8)

Согласно выражению (1.18), эквивалентному нечёткому ММКО с максиминным подходом, мы получим следующую комплексную оценку:

v X r , X c 1 0,3 2 2 0,6 2 1 1,6.

Согласно выражению (1.19), эквивалентному нечёткому ММКО с адди- тивно-мультипликативным подходом, мы получим следующую комплексную оценку:

v X r , X c 1 0,3 2 1 0,6 2 1 0,3 0,6 2 1 2 2 1,72.

3.2. Агрегирование двух критериев с интервалами значений

Произведём агрегирование двух критериев с интервалами значений X r 1,3;1,6 и X c 2,6;3,1 . В этом случае комплексная оценка будет также

представлена интервалом значений.

Пусть матрица свёртки имеет те же элементы, что показаны на рис. 3.2. Мы также можем использовать непрерывные ММКО, и нам необходимо определить только две комплексные оценки v Xr min Xr , Xc min Xc

и v Xr max Xr , Xc max Xc , потому что обе функции интерполяции (1.18) и (1.19) являются непрерывными и монотонными.

31

Нам известно, что v X r 1,3; X c 2,6 1,6 в случае использования максиминного подхода и v X r 1,3; X c 2,6 1,72 в случае использования ад- дитивно-мультипликативного подхода. Поэтому нам необходимо узнать

v X r , X c 2 0,6 2 2 0,1 3 2 2,1.

Согласно выражению (1.19) (в случае использования аддитивно-муль- типликативного подхода) мы получим ту же самую комплексную оценку:

v X r , X c 2 0,3 2 2 0,1 3 2 0,3 0,6 3 2 3 2 2,1.

Тогда комплексная оценка представляет собой интервал: в случае использования максиминного подхода v X r , X c 1,6;2,1 ; в случае использо-

вания аддитивно-мультипликативного подхода v X r , X c 1,72;2,1 .

3.3. Агрегирование двух критериев с точечными значениями с использованием нечётких ММКО

Рассмотрим тот же пример, как и в первом случае: Xr 1,3 и Xc 2,6 . Для

применения нечётких ММКО в данном случае каждое значение Xr и Xc необходимо представить в виде нечёткого числа, используя правило (2.1).

32

Для определения единственного значения функции принадлежности при максиминном подходе необходимо использовать теоретико-множе- ственную операцию пересечения (1.3) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Результат пересечения при использовании максиминного подхода

В этом случае (см. рис. 3.4) имеем три элемента матрицы с ненулевым значением функции принадлежности и одинаковым значением элемента матрицы: m13 = m22 = m23 = 2. Для элементов m22 и m23 значение функции принадлежности составляет 0,3, а для элемента m13 – 0,6. Тогда

v Xr , Xc 1/ 0,4; 2 / 0,3;0,6 ;3 / 0; 4 / 0 .

Для элемента с двумя значениями функции принадлежности 2 / {0,3 ;0,6} необходимо использовать теоретико-множественную операцию объединения (1.5) – максимум. Результат будет следующим:

v X r , Xc 10,4; 20,6; 30; 40 .

Согласно уравнению центра масс (1.8) комплексная оценка будет следующей:

В случае аддитивно-мультипликативного подхода матрица после выполнения операции пересечения (1.4) будет иметь вид (рис. 3.5):

v X r , Xc 1 0,28; 2 0,42;0,12;0,18 ; 30; 40 .

операцию суммирования (1.6). В этом случае результат комплексного оценивания будет следующим: v X r , Xc 10,28; 20,72; 30; 40 .

33

Рис. 3.5. Результат пересечения при использовании аддитивно-мультипликативного подхода

Действительно-значная комплексная оценка будет следующей:

v X r , X c 1 0, 28 2 0,72 3 0 4 0 1,72. 0, 28 0,72 0 0

3.4. Погрешность комплексной оценки

вслучае максиминного подхода к операциям (1.3) и (1.5) над нечёткими множествами

Пусть матрица свёртки имеет такие же элементы, как в примерах выше, а критерии имеют другой вид:

Xr 1 / 0,4;2 / 0,6;3 / 0;4 / 0 и Xc 1 / 0;2 / 0,3;3 / 0,7;4 / 0 . Каждому элементу матрицы в этом случае также соответствует два значения функций принадлежности (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Матрица свёртки в нечётком виде при агрегировании критериев Xr 1,6; Xc 2,7

Используем функцию пересечения (1.3) (рис. 3.7).

В данном случае (см. рис. 3.7) имеем три элемента матрицы с ненулевым значением функции принадлежности и одинаковым значением элемента матрицы: m13 = m22 = m23 = 2. Для элемента m22 значение функции принадлежности равно 0,3, для элемента m23 – 0,6, а для элемента m13 – 0,4. Для элемента с тремя значениями функции принадлежности 2 / {0,3; 0,4; 0,6} используем теоретико-множественную операцию объединения (1.5). В этом случае ре-

зультат будет следующим: v X r , Xc 1 / 0,3;2 / 0,6;3 / 0;4 / 0 .

34

Рис. 3.7. Результат пересечения (1.3)

Согласно уравнению центра масс (1.8) комплексная оценка будет следующей:

Элементы матрицы с ненулевыми значениями функции принадлежности имеют следующие значения: m12 = 1, m22 = 2, m13 = 2, m23 = 2, что соответствует стандартной функции F4 (см. §1, табл. 1.1). Если использовать (1.13), получим:

v Xr , Xc 1/ 1 0,7 ;2 / 0,7 .

Согласно выражению (2.1) такое нечёткое число после дефазификации будет числом, принадлежащим действительному множеству:

v X r , X c 1,7.

Используя непрерывную функцию (1.18), мы получим: v X r , X c 1 0,6 2 2 0,7 2 1 1,7.

3.5. Агрегирование двух критериев с Ф-нечёткими числами при аддитивно-мультипликативном подходе

Пусть матрица свёртки имеет такие же элементы, как в примерах выше, а критерии определяются как Ф-нечёткие числа (рис. 3.8):

Xr 1/ 0,3 0,4 ;2/ 0,4 0,5 ;3/ 0,1 0,2 ;4/ 0,1 0,2 ,

Xc 1/ 0,1 0,2 ;2/ 0,2 0,4 ;3/ 0,4 0,5 ;4/ 0,1 0,3 .

35

Рис. 3.8. Матрица свёртки в Ф-нечётком виде

Такой случай может соответствовать ситуации, когда в качестве лиц, привлечённых к процедуре оценки частных критериев, выступают не эксперты, а, например, рядовые носители предметно-профессиональной области, или в отношении частных критериев имеется существенная неопределённость, которая не позволяет эксперту высказаться категорически, и даже его модальные суждения носят весьма размытый характер.

В случае Ф-нечёткого комплексного оценивания используется алгоритм 38, приведённый в §1.

Рассмотрим, например, элемент (2;2) – m22.

Векторы значений функции принадлежности будут следующими:

–первый: 22 0,5; 0,4; 0,9; 0,7; 0,6; 0,9 ;

–второй: 22 0,4; 0,2; 0,8; 0,6; 0,5; 0,8 .

Если использовать умножение в качестве операции пересечения (1.4),

0,015. Тогда m22 2/ 0,015;0,068 .

Аналогично применим предложенный подход ко всем элементам матрицы (рис. 3.9).

Выполнив операцию объединения путём суммирования минимальных и максимальных значений при одинаковых элементах матрицы свёртки, получим следующую Ф-нечёткую комплексную оценку:

38 См. выражения (1.15) – (1.17).

36

c

Рис. 3.9. Матрица свёртки в Ф-нечётком виде, где элементы матрицы получены с помощью аддитивно-мультипликативного подхода

Такую Ф-нечёткую комплексную оценку условно можно представить в виде двух нечётких множеств, построенных по предложенному ранее алгоритму 39, и после их пересечения получим:

Это нечёткое множество путём дефазификации (1.8) можно представить в виде числа на множестве действительных значений:

Отметим, что при Ф-нечётком комплексном оценивании сумма значений функций принадлежности может не принимать значение единицы. Поэтому требовать выполнения этого условия от выражения (3.2), полученного из Ф-нечёткого числа (3.1), непрактично.

3.6. Агрегирование двух критериев с Ф-нечёткими числами при максиминном подходе

Пусть матрица свёртки имеет такие же элементы, как в примерах выше, а критерии определяются как Ф-нечёткие числа (см. рис. 3.8). Используя операцию пересечения (1.3) и применяя выражения (1.15)–(1.17), получим, что элемент (2;2) будет следующим: m22 2 / 0,2;0,4 . Аналогично определя-

ются все элементы с использованием операции пересечения (1.3) – минимум

(рис. 3.10).

39 См. §1, выражения (1.15), (1.16).

37

Рис. 3.10. Матрица свёртки в Ф-нечётком виде, где элементы матрицы получены с помощью максиминного подхода

В случае максиминного подхода Ф-нечёткая комплексная оценка будет следующей:

Нечёткое число получим аналогично:

v 1 / 0,4; 2 / 0,5; 3 / 0,2; 4 / 0,2 .

Наконец, аналогично комплексную оценку представим как действительное число:

3.7. Комплексное оценивание с распределением вероятностей значений частных критериев

Пусть матрица свёртки имеет такие же элементы, как в примерах выше, а для частных критериев Xr = {1, 2, 3, 4} и Xс = {1, 2, 3, 4} имеются следующие распределения вероятностей состояний:

P(Xr) = {0,1; 0,2; 0,4; 0,3}, P(Xc) = {0,2; 0,3; 0,3; 0,2}.

Тогда матрицу свёртки можно представить так, как показано на рис. 3.11. Вероятность того, что комплексной оценкой будет элемент, находящийся на пересечении строки r и столбца c, будет определяться произведе-

нием вероятностей P(Xr = r) и P(Xc = c):

P(Х= mrc(Xr, Xc))=P(Xr)·P(Xc).

38

Рис. 3.11. Матрица свёртки при наличии распределения вероятностей значений частных критериев

Далее для упрощения записи обозначим P(Х = mrc(Xr, Xc)) как Prc. Поскольку элементы матрицы образуют полную группу событий того,

какая оценка будет комплексной, и они не являются связными, то вероятность того, что комплексной оценкой будет значение 1, 2, 3 или 4, будет определяться суммой вероятностей соответствующих элементов:

P(Х = 1) = P11 + P12 + P21 + P31 = 0,02 + 0,03 + 0,04 + 0,08 = 0,17;

P(Х = 2) = P13 + P22 + P23 + P32 + P41 = 0,03 + 0,06 + 0,06 + 0,12 + 0,06 = 0,33;

P(Х = 3) = P14 + P24 + P33 + P34 + P42 +P43 =

= 0,02 + 0,04 + 0,12 + 0,08 + 0,09 + 0,09 = 0,44; P(Х = 4) = P44 = 0,06.

Таким образом, P(X(P(Xr), P(Xc))) = {0,17; 0,33; 0,44;0,06}.

3.8. Сравнение комплексного оценивания с распределением вероятностей значений частных критериев и непрерывного и нечёткого аддитивно-мультипликативного оценивания

Поскольку ранее утверждалось, что подход к комплексному оцениванию с распределением вероятностей значений частных критериев является эквивалентным аддитивно-мультипликативной процедуре нечёткого комплексного оценивания, то целесообразно сравнить эти подходы, а также целесообразно сравнение с непрерывным подходом, эквивалентным адди- тивно-мультипликативной процедуре нечёткого комплексного оценивания, с целью разъяснения разницы в их применении.

Пусть сворачиваемые критерии и результат комплексного оценивания имеют распределения вероятностей, как в примере 3.7.

39

Для получения комплексной оценки на множестве действительных значений в виде скаляра можно условно воспользоваться «взвешиванием» 40, где весовой коэффициент соответствует вероятности того, что комплексной оценкой будет значение {1, 2, 3, 4}, что соответствует математическому ожиданию E(P(X)).

Тогда E(P(X(P(Xr), P(Xc)))) = 2,39.

Если взять математическое ожидание по критериям Xr и Xc:

E(P(Xr)) = 2,9, E(P(Xc)) = 2,5;

и свернуть с помощью непрерывной функции интерполяции (1.19), то полу-

чится результат: X(E(P(Xr)), E(P(Xc))) = 2,45.

Если результаты математического ожидания представить в виде нечётких чисел согласно выражению (2.1):

X r (E(P(Xr))) = {1 / 0; 1 / 0,1; 3 / 0,9; 4 / 0}; X c (E(P(Xс))) = {1 / 0; 1 / 0,5; 3 / 0,5; 4 / 0};

и свернуть с помощью процедуры нечёткого комплексного оценивания, эквивалентной на треугольных нечётких множествах 41 непрерывной функции интерполяции, то получится также отличающийся результат:

X ( X r (E(P(Xr))); X c (E(P(Xс)))) = {1 / 0; 2 / 0,55; 3 / 0,45; 4 / 0}.

Приведя этот результат к множеству действительных значений с помощью центра масс 42, получим оценку:

X ( X r (E(P(Xr))); X c (E(P(Xс)))) → X R1= 2,45,

аналогичную полученной при непрерывном подходе.

Как видно из обоих примеров, приведённых выше, результат математического ожидания комплексной оценки с распределением вероятностей не совпадает с результатами комплексного оценивания, полученными по математическому ожиданию распределений вероятностей сворачиваемых критериев.

Дело в том, что сворачивать результаты математического ожидания распределений вероятностей в общем случае не правильно. Только в частном случае, если бы распределения вероятностей состояний частных критериев были аналогичны функциям принадлежностей:

P(Xr) = {0; 0,9; 0,1; 0}, P(Xc) = {0; 0,5; 0,5; 0},

результаты бы совпали.

40См. работу [34, с. 57].

41См. §2, рис. 2.1.

42См. §1, выражение (1.8).

40