книги / Математические и инструментальные методы комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределённости

Рис. 1.11. Проекции функций свёртки на область определения: а – F1; б – F2; в – F4, г – F5, при использовании аддитивно-мультипликативного подхода к операциям пересечения (1.4) и объединения (1.6) над нечёткими множествами

В случае Ф-нечёткого комплексного оценивания предлагается использовать следующий алгоритмический приём.

Для каждого элемента матрицы определяется два вектора значений функций принадлежности: первый определяется как набор значений с максимальным значением функции принадлежности этого элемента, второй – с минимальным.

Первый вектор определяется следующим образом: выбираются максимальные значения функций принадлежностей из доверительных интервалов, соответствующих агрегируемым строке r и столбцу c, а также минимальные значения в соседних элементах, образованных строками r + 1, r – 1 и столб-

цами c + 1, c – 1:

21

Второй вектор определяется наоборот: выбираются минимальные значения функций принадлежностей из доверительных интервалов, соответствующих агрегируемым строке r и столбцу c, а также минимальные значения в соседних элементах, образованных строками r + 1, r – 1 и столбцами c + 1, c – 1, вычтенные из единицы:

После выполнения для каждого вектора значений функций принадлежности операции пересечения останется одно значение доверия этому элементу, соответствующее максимальной степени доверия и минимальной.

Обозначим результат пересечения первого вектора (1.15) как rc , второго вектора (1.16) как rc . Так удастся получить две нечётких переменных, соответствующих элементу mrc : mrc mrc / rc , mrc mrc / rc . Поскольку их носителем является сам элемент mrc , то для него мы получим пару значений функций принадлежности, что можно представить как Ф-нечёткую переменную:

j3 – элемент матрицы свёртки, номер строки которого определён целой частью значения критерия Xr, а номер столбца – целой частью значения критерия Xс,

22

j3 mr X r c X c ;

j4 – элемент матрицы свёртки, номер строки которого определён целой частью значения критерия 26 Xr + 1, а номер столбца – целой частью значения критерия Xс;

j4 mr min Xr 1; r c Xc ;

j5 – элемент матрицы свёртки, номер строки которого определён целой частью значения критерия Xr, а номер столбца – целой частью значения критерия Xс + 1,

j5 mr X r c min Xc 1; c ;

j6 – элемент матрицы свёртки, номер строки которого определён целой частью значения критерия Xr + 1, а номер столбца – целой частью значения критерия Xс + 1,

j6 mr = min X r 1; r c min Xc 1; c .

Выражение (1.18) эквивалентно нечёткому ММКО, использующему максиминный подход (1.9)–(1.14) G, M ,Q, PMM . Выражение (1.18) даёт те

же поверхности, которые показаны на рис. 1.8.

Вторая функция интерполяции FIАМ была определена в аналогичной записи, но таким образом, чтобы получить случай, эквивалентный нечёткому ММКО с аддитивно-мультипликативным подходом [66]:

Выражение (1.19) даёт те же поверхности, которые показаны на рис. 1.10, и соответствующие проекции (см. рис. 1.11).

Обе функции (1.18) и (1.19) непрерывны и монотонны. Это значит, что для сколь угодно малой 0 справедливо следующее:

v X r , X c v X r , X c и v X r , X c v X r , X c .

26 Здесь и в выражениях, определяющих j5 и j6 , используется операция минимума между целой частью критерия Xr 1 или X c 1 и максимальным значением использу-

емого критерия на области определения r или c соответственно, так как размерность матрицы r c.

23

§2. ОБОБЩЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ КОМПЛЕКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

В 2014 г. удалось показать, что на классе треугольных нечётких множеств (рис. 2.1), функция принадлежности которых представляет собой ку- сочно-линейную функцию, с равными по модулю единице тангенсами угла наклона прямых (данное условие эквивалентно используемому В.А. Харитоновым и А.А. Белых допущению) процедура нечёткого комплексного оценивания при использовании максиминного подхода 27 к теоретико-множествен- ным операциям над нечёткими множествами эквивалентна непрерывной модели комплексного оценивания, предложенной А.М. Анохиным, В.Б. Гусевым и В.В. Павельевым28.

Рис. 2.1. Эквивалентная модель представления аргумента свёртки или самой свёртки в виде нечёткого множества, функция принадлежности которого представлена

двумя ненулевыми значениями и удовлетворяет требованиям равенства их суммы единице

Действительное значение можно представить в виде нечёткого числа, используя следующее правило:

где функция принадлежности j принимает следующие значения:

27См. §1, выражения (1.9) – (1.14).

28См. §1, выражение (1.18).

24

В то же время нечёткое число (2.1) после дефазификации согласно (1.8) представимо в виде X X , X . Поэтому операции (1.8) и (2.1) обеспе-

чивают однозначное соответствие между нечёткими и действительными значениями.

На XII Всероссийском совещании по проблемам управления был представлен аддитивно-мультипликативный подход к операциям над нечёткими множествами применительно к процедуре нечёткого комплексного оценивания 29 [64]. Представление результатов нечёткого комплексного оценивания в виде действительных значений дало непрерывную, монотонную и кусочногладкую функцию свёртки 30. Аддитивно-мультипликативный подход эквивалентен методу комплексного оценивания при наличии распределения вероятностей частных критериев, предложенному В.Н. Бурковым и Д.А. Новиковым [16].

В том же 2014 г. предложена функция интерполяции матрицы 31 свёртки [66], которая непрерывную модель комплексного оценивания делает эквивалентной процедуре нечёткого комплексного оценивания с использованием аддитивно-мультипликативного подхода к теоретико-множественным операциям над нечёткими множествами 32 на классе треугольных нечётких множеств, функция принадлежности которых представляет собой кусочно-ли- нейную функцию, с равными по модулю единице тангенсами угла наклона прямых.

Классификация матричных механизмов комплексного оценивания (с указанием авторов и времени опубликования) приведена в табл. 2.1.

Представленных в табл. 2.1 способов формализации информации, обладающей той или иной степенью неопределённости, о состоянии частного параметра (свойства) достаточно для описания всевозможных ситуаций, например, интервальные оценки как способ формализации может соответствовать не только приборам с погрешностью, но и субъективной оценке человека.

Аббревиатуры, использованные в табл. 2.1, имеют следующие значе-

ния:

ММНКО – матричный механизм нечёткого комплексного оценивания; НММКО – непрерывный матричный механизм комплексного оценива-

ния.

29См. §1, выражения (1.4), (1.6), (1.8).

30См. §1, рис. 1.10.

31См. §1, выражение (1.19).

32См. §1, выражения (1.4), (1.6), (1.8).

25

Аббревиатура ММ образована от словосочетания максиминный подход и обозначает соответствующий класс матричных механизмов комплексного оценивания, аббревиатура АМ образована от словосочетания аддитивно- мультипликативный подход.

Альтернативные подходы к теоретико-множественным операциям исследовались в работе [68], где было показано, что они не обеспечивают нужных свойств МКО (непрерывность, монотонность и гладкость функции свёртки на кусочно-заданных интервалах). Поэтому в предложенной классификации рассмотрено только два класса механизмов, удовлетворяющих данным свойствам.

Несмотря на то, что в работе [32] говорится о многомерных объектах, которые в данной работе определяются как точно заданные, т.е. авторы не рассматривали задачу комплексного оценивания при интервальных оценках частных параметров, предложенный ими метод всё же может применяться при интервальной неопределённости и занимает два места в системе классификации.

Метод G, M ,Q, PP был предложен ещё в 1997 г., однако эквивалент-

ность матричным механизмам нечёткого комплексного оценивания и непрерывным механизмам комплексного оценивания была показана лишь в 2014 г. на семинаре по теории управления организационными системами в ИПУ РАН.

Применимость метода G, M ,Q, PАМ в случае Ф-нечётких или мягких

множеств обсуждалась на семинарах по теории управления организационными системами ИПУ РАН и Пермского научно-образовательного центра проблем управления на базе ПНИПУ в 2014 г.

Субъективные оценки экспертов могут высказываться с разной степенью модальности. Под разной степенью модальности подразумевается, что лица, привлечённые к оцениванию свойств, в зависимости от их квалификации могут высказать различные суждения (табл. 2.2).

Т а б л и ц а 2 . 2

Соответствие исходных данных уровню неопределённости и предлагаемому способу описания сложного объекта

О к о н ч а н и е т а б л . 2 . 2

Примечание: разделение степени неопределённости субъективных оценок по уровню квалификации на категории «молодой специалист», «специалист» и «эксперт» условно.

Рассмотрим, как описываются свойства сложного объекта при различных исходных данных:

СВ1 – свойства сложного объекта описываются с помощью Ф-нечётких переменных:

о tq , xn , xn X (xn ) / X ( xn ) ; X ( xn ) , tq Tq / Tq ; Tq ,

где q 1, q , q – число качественно-описываемых свойств объекта; n 1, n , n – число количественно-измеримых свойств объекта.

СВ2 – свойства сложного объекта описываются с помощью нечётких переменных:

о tq , xn , xn X (xn ) / X ( xn ) , tq Tq / Tq .

СВ3 – свойства сложного объекта описываются с помощью нечётких переменных, имеющих ограничения на функцию принадлежности: равенство единице суммы значений функций принадлежности и равенство нулю значений функций принадлежности неиспользуемых категорий (термов):

о tq , xn , xn X (xn ) / X ( xn ) , X X ( xn ) 1, tq Tq / Tq , T Tq 1;

X ( xn ) 0; X (xn ) ( X N ) \ X ; X 1 ;

Tq 0; Tq (T ) \ t; t 1 .

28

СВ4 – свойства сложного объекта оцениваются группой экспертов 33 с помощью процедур активной экспертизы, в том числе нечёткой и интервальной.

ОВ1 – свойства сложного объекта описываются с помощью интерваль-

ных оценок:

o xi , xi ,

где i 1, , i , i – число количественно-измеримых факторов, описываемых

интервально.

ОВ2 – свойства сложного объекта описываются с помощью распределения вероятностей:

o P xp ,

где p 1, ..., p , p – число количественно-измеримых факторов, носящих

случайный характер.

ОВ3 – свойства сложного объекта описываются с помощью точных или приближённых оценок:

o xn .

Стоит отметить, что и количественные показатели также могут быть оценены экспертами, например в случаях, когда средства объективного контроля недоступны, т.е. способы ввода класса СВ применимы не только к качественным показателям, но и количественным. При этом объективно оценить качественные свойства не представляется возможным (табл. 2.3).

33 В этом случае степень неопределённости результата активной экспертизы будет определяться по участнику, обладающему наихудшей неопределённостью.

29

§3. ПРИМЕРЫ КОМПЛЕКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Рассмотрим несколько примеров комплексного оценивания, принимая следующие условия:

–будем рассматривать свёртку двух критериев 34;

–первый по счёту критерий соответствует вертикальной оси координат, следующий – горизонтальной (рис. 3.1);

Рис. 3.1. Матрица свёртки размерностью 4×4

–будем рассматривать квадратные 35 матрицы свёртки;

–будем рассматривать матрицы свёртки размерностью 36 4×4;

–начало координат расположено в нижнем правом углу 37 матрицы.

34Примеры 3.1–3.8.

35Как правило, для комплексного оценивания используются матрицы свёртки, числа строк и столбцов которых равны (|r| = |с|), но это не является обязательным условием, в общем случае матрица может быть любой размерности, т.е. матрица может быть размерностью r×с; |r| – число градаций одного критерия, |с| – другого.

36Ранее уже отмечалось, что размерность матриц свёртки определяется конкретными условиями прикладной задачи. Рассмотрим размерность 4×4, так как она является одной из самых часто используемых. Этому есть логическое объяснение, поскольку дискретные значения шкалы удобно интерпретировать: 1 – «плохо», 2 – «удовлетворительно», 3 – «хорошо» и 4 – «отлично», а в непрерывном случае образуется три интервала: [1,2) – область малых, [2,3) – средних и [3,4] – больших значений критериев и комплексного показателя.

37Такая ориентация используется для единообразного отображения системы координат при построении трёхмерной поверхности свёртки путём интерполяции матрицы (см. рис. 1.4 – 1.10), хотя надо признать, что исторически ориентация матриц начиналась

сверхнего левого угла, и с точки зрения программирования ориентация с верхнего левого угла была бы удобнее.

30