книги / Физика колебаний
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
А.Н. Паршаков
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Допущено Научно-методическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям
Издательство Пермского государственного технического университета
2010
УДК 534(075.8)
ББК 22.213+22.336]я73 П18
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. Г.Ф. Путин (Пермский государственный университет);
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Л. Райхер (Институт механики сплошных сред УрО РАН)
Паршаков, А.Н.
П18 Физика колебаний: учеб. пособие / А.Н. Паршаков. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 302 с.
ISBN 978-5-398-00500-4
Рассмотрены общие свойства колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, механических и других системах, а также различные методы их изучения. Большое внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных систем. Изучение данных колебательных систем проведено известными методами теории колебаний без подробного изложения
иобоснования самих методов. По наиболее важным темам приведены задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов электротехнических направлений
испециальностей технических вузов.
УДК 534(075.8)
ББК 22.213+22.336]я73
ISBN 978-5-398-00500-4 |
© ГОУ ВПО |
|
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2010 |
2 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение............................................................................................... |
5 |
Глава 1. Собственные колебания в консервативных системах........ |
8 |
1.1. Общий подход к рассмотрению колебаний. Фазовый |
|
портрет колебательной системы............................................. |
8 |
1.2. Колебания маятника. Метод последовательных |
|
приближений............................................................................. |
19 |
1.3. Колебания в электрическом контуре с нелинейными |
|
элементами................................................................................. |
30 |
1.4. Сложение гармонических колебаний............................... |
38 |
Глава 2. Собственные колебания в диссипативных системах ......... |
52 |
2.1. Особенности колебаний в диссипативных системах |
|
и методы их рассмотрения ....................................................... |
52 |
2.2. Гармонический осциллятор с затуханием........................ |
56 |
2.3. Метод поэтапного рассмотрения...................................... |
66 |
2.4. Линейные случаи реализации сил сухого трения............ |
73 |
2.5. Метод медленно меняющихся амплитуд......................... |
79 |
Глава 3. Вынужденные колебания...................................................... |
91 |
3.1. Вынужденные колебания в линейной системе |
|
при гармоническом воздействии............................................. |
92 |
3.2. Электрические колебания. Импеданс............................... |
102 |
3.3. Амортизация колебаний. Антирезонанс.......................... |
109 |
3.4. Гармонический осциллятор под действием |
|
непериодической силы ............................................................. |
115 |
3.5. Резонанс в нелинейных системах..................................... |
116 |
Глава 4. Параметрические колебания ................................................ |
125 |
4.1. Параметрическое возбуждение......................................... |
125 |
4.2. Параметрический резонанс в консервативной линейной |
|
системе. Уравнение Матье....................................................... |
132 |
4.3. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник |
|
Капицы....................................................................................... |
139 |
4.4. Параметрический резонанс в нелинейных системах |
|
(параметрический генератор)................................................... |
145 |
|
3 |
Глава 5. Автоколебания....................................................................... |
159 |
5.1. Основные определения и классификация |
|
автоколебательных систем....................................................... |
159 |
5.2. Уравнение Ван-дер-Поля. Зависимость формы |
|
автоколебаний от параметров системы................................... |
169 |
5.3. Автоколебательные системы томсоновского типа.......... |
179 |
5.4. Релаксационные колебания............................................... |
196 |
5.5.Устойчивость колебаний в линеаризованных системах
5.6.Поведение автоколебательных систем при внешнем
воздействии ............................................................................... |
200 |
Глава 6. Связанные колебания............................................................ |
203 |
6.1. Парциальные системы. Нормальные моды колебаний... |
204 |
6.2. Обмен энергией между парциальными системами......... |
210 |
6.3. Вынужденные колебания в связанных системах ............ |
213 |
6.4. Колебания в системе с произвольным числом степеней |
|
свободы...................................................................................... |
217 |
Глава 7. Колебательные процессы в распределенных системах ..... |
223 |
7.1. Фазовая и групповая скорость волн................................. |
223 |
7.2. Волны в одномерной цепочке атомов.............................. |
226 |
7.3. Уравнение Клейна–Гордона. Природа дисперсии.......... |
237 |
7.4. Волны в линиях передачи.................................................. |
246 |
7.5. Волноводы. Граничная частота и скорость волн |
|
в волноводе................................................................................ |
255 |
Задачи для самостоятельного решения.............................................. |
262 |
Ответы к задачам................................................................................. |
271 |
Список литературы.............................................................................. |
286 |
Приложение 1. Математические модели активных |
|
двухполюсников и четырехполюсников............................................ |
287 |
Приложение 2. Методы составления уравнений |
|
для электрических цепей..................................................................... |
292 |
Приложение 3. Электронные генераторы.......................................... |
295 |
Приложение 4. Некоторые тригонометрические соотношения |
|
и интегралы.......................................................................................... |
298 |
4 |
|
ВВЕДЕНИЕ
Под колебаниями понимают процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Такое определение объединяет широкий круг явлений, встречающихся в природе и находящих многочисленные применения в технике.
Динамические системы, в которых могут существовать колебания, принято называть колебательными системами. В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают собственные (затухающие и незатухающие) колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания и самоподдерживающиеся (автоколебания). Однако последовательная классификация различных колебательных систем возможна только при условии замены конкретных реальных систем моделями, в которых отражается только ограниченное число особенностей, существенных для изучаемых колебательных процессов.
Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы является так называемый гармонический (линейный) осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением
x +ω2 x = 0.
В данной системе реализуются гармонические колебания вида x(t) = a cos(ωt +α) ,
где a – амплитуда колебания; ω – круговая частота колебания (мы будем называть ее просто частотой), ω= 2π/T , T – период; α – начальная фаза. Гармонические колебания представляют особый интерес не только в силу простоты их аналитического представления. Эта форма движений наиболее обычна для колебательных процессов в системах с постоянными параметрами (линейные системы) и чрезвычайно часто встречается в реальных процессах, изучаемых не только в физике, технических дисциплинах, но и в химии, биологии.
Рассмотрим в качестве нетривиального (хотя уже и ставшего классическим) примера – известную модель экологии «хищник–
5
жертва» (модель Лотка–Вольтерра). В этой модели рассматриваются два вида животных, один из которых питается другим. Например, на замкнутом ареале живут лисы (хищники) и зайцы (вегетарианцы). Зайцы (их числоN1(t) ) питаются только растительной пищей,
имеющейся в избытке. Лисы (их число N2 (t) ) питаются только зай-
цами. Поставим вопрос: могут ли лисы съесть всех зайцев?
Если жертвы живут на ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет увеличиваться с некоторой скоростью, пропорциональной числу жертв на данный момент:
N1 = α1N1.
Здесь и далее точкой над переменной обозначена производная по времени, α1 – постоянный положительный коэффициент прироста.
Если бы на ареале жили одни хищники, то из-за отсутствия пищи они вымирали бы с постоянной скоростью, пропорциональной их числу на данный момент:
N2 = −α2 N2
( α2 – постоянный положительный коэффициент вымирания). Разум-
но допустить, что при совместном проживании обоих видов численность хищников будет увеличиваться тем быстрее, чем чаще они сталкиваются с жертвами (соответственно уменьшается число жертв). Эта частота столкновений пропорциональна произведению N1N2 . Таким образом, для описания численности двух совместно
проживающих видов мы приходим к системе дифференциальных уравнений
N1 = N1 (α1 −β2 N2 ), N2 = −N2 (α2 −β1N1 ) , |
(*) |
( β2 – положительная постоянная, характеризующая гибель жертв изза встречи с хищниками; β1 – положительная постоянная, характери-
зующая размножение хищников).
Интуитивно понятно, что в данной системе на достаточно большом временном интервале в среднем должно реализоваться состоя-
6
ние равновесия, относительно которого возможны колебания численности обоих видов. Пусть N1 и N2 – средние значения числа жертв и хищников, характеризующие состояние равновесия. Из
уравнений (*) при N |
= |
N |
2 |
= 0 находим |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
= |
α2 |
, |
N |
|
= α1 . |
(**) |
|
|
|
1 |
|
β |
|
|
2 |
β |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Предположим, что существуют малые отклонения n1(t) и n2 (t) |
|||||||||||
от равновесных |
значений |
|
N1 |
и |
|
N2 , т.е. будем считать, что |
|||||
N1(t) = N1 +n1 , |
N2 (t) = |
N2 |
+n2 , |
причем n1 << N1 , |
n2 << N2 . |
||||||
Подставляя выражения для N1(t) |
и N2 (t) в (*) с учетом (**) и пре- |
|
небрегая членами второго порядка малости ~ n1n2 , получаем |
||
n1 = −β2 N1 n2 = −β2α2 n2 |
, n2 =β1 N2 n1 = β1α1 n1 . |
|
β |
β |
2 |
1 |
|
|
Дифференцируя первое из этих уравнений по времени и используя второе, приходим, как ни странно, к уравнению для гармониче-
ского осциллятора |
|
n1 +ω2n1 = 0 (такое же уравнение получается |
|||
и для n , где ω2 |
= α α |
2 |
). Отсюда сразу следует, что в принятой нами |
||
2 |
|
1 |
|
|
|
модели численность животных обоих видов будет периодически изменяться по гармоническому закону.
Мы начнем рассмотрение колебательных процессов в идеализированных динамических системах с одной степенью свободы (главы 1–5). Далее будут рассмотрены системы с двумя степенями свободы, а также колебательные и некоторые волновые процессы в системах с распределенными параметрами (главы 6–7). Теоретические методы анализа колебательных систем сопровождаются рассмотрением их разнообразного практического применения в науке и технике. При этом предполагается, что читатель уже знаком с предварительными сведениями о колебаниях в рамках стандартного курса теории колебаний в техническом вузе.
7
Глава 1 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
1.1.Общий подход к рассмотрению колебаний. Фазовый портрет колебательной системы
При рассмотрении колебательных систем особое внимание уделяется системам с малым затуханием, в которых энергия, рассеиваемая за период колебаний, мала по сравнению с общим запасом энергии самих колебаний. Такими системами являются резонансные элементы входных цепей радиоприемных устройств, колебательные контуры полосовых фильтров, частотомеров, спектр-анализаторов, маятник или баланс в часовых механизмах и др. В подобных системах их колебательные свойства проявляются наиболее ярко и весьма слабо зависят от величины и характера затухания. Поэтому, ограничиваясь не слишком большими по сравнению с периодом колебаний интервалами времени, можно вообще пренебречь затуханием и рассматривать колебательную систему как консервативную. Несмотря на отсутствие в природе идеализированных консервативных колебательных систем, их изучение позволяет получить важную информацию, помогающую изучению систем, отличных от консервативных.
Ограничим рассмотрение консервативных колебательных систем системами с одной степенью свободы, поведение которых определяется одной независимой переменной x . Для упругих механических систем под величиной x можно понимать линейную или угловую координату, характеризующую отклонение системы от положения равновесия. В электрических же системах за основную переменную часто принимают заряд конденсатора q . В общем слу-
чае для описания движений в консервативных системах рассматривают дифференциальное уравнение второго порядка
x = F(x, x) |
(1.1) |
8
(здесь и далее точкой над x обозначено |
|
k |
|
m |
||||||||||
дифференцирование по времени). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
К уравнению типа (1.1) приводится, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
например, уравнение колебаний гармони- |
Рис. 1.1 |
|||||||||||||
ческого осциллятора (рис. 1.1), для кото- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
рого второй закон Ньютона выглядит как |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
mx = −kx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
m |
– |
масса, |
k |
– жесткость пружины. |
Введя |
обозначение |
|||||||
ω2 |
= k / m, |
последнее уравнение можно переписать в виде |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +ω02 x = 0, |
|
|
|
|
(1.2) |
|||
где ω0 |
– частота собственных незатухающих колебаний гармониче- |
|||||||||||||
ского (линейного) осциллятора (пружинного маятника). |
|
|
|
|||||||||||
|
Для идеального математического ма- |
|
|
|
|
|
||||||||
ятника |
(рис. |
1.2) |
с |
длиной подвеса |
l |
|
|
|
|
|
||||
и массой m, |
находящегося в поле тяготе- |
l |
ϕ g |
|||||||||||
ния с ускорением свободного падения |
g, |
|||||||||||||
дифференциальное |
уравнение движения |
|
|
|
|
|
||||||||
для угловой координаты ϕ имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ml2 ϕ = −mgl sin ϕ
или
ϕ+ω02 sin ϕ = 0, |
(1.3) |
где ω02 = g / l. Уравнение типа (1.3) описывает также колебания физического маятника, но с другим значением ω0.
В случае электрического колебательного контура без сопротивления (рис. 1.3) дифференциальное уравнение колебаний заряда конденсатора q имеет вид
m
Рис. 1.2
C L
Рис. 1.3
9
Lq + |
q |
= 0 , |
(1.4) |
|
C |
||||
|
|
|
где L – индуктивность контура (при отсутствии ферромагнетиков L = const ), C – емкость конденсатора (при отсутствии сегнетоэлектриков она также постоянна). Уравнение (1.4) сводится к уравнению
(1.2), если положить x = q и обозначить ω02 =1/ (LC ).
Уравнения (1.2) и (1.3) описывают колебания в консервативных системах, но уравнение (1.2) линейно относительно координаты x и, следовательно, описывает движения в линейной колебательной системе. Уравнение же (1.3) нелинейно относительно координаты ϕ,
и поэтому колебательная система, описываемая этим уравнением, нелинейна.
В общем случае и уравнение (1.4) также является нелинейным. Это происходит, если в индуктивности используется сердечник из ферромагнитных материалов. Их магнитная проницаемость существенно зависит от величины магнитного поля, т.е. от протекающего по обмотке тока I = q. В этом случае индуктивность контура L являет-
ся функцией скорости изменения заряда L(q) и тогда уравнение (1.4) можно записать в виде
q + C Lq(q) = 0 ,
что явно сводится к уравнению вида (1.1).
Начнем с изучения случая, когда уравнение (1.1), описывающее движение в рассматриваемой колебательной системе, не содержит x . Тогда общим видом подобного дифференциального уравнения второго порядка будет
x = f (x) . |
(1.5) |
Для механических колебаний это означает, что возвращающая сила, отнесенная к единичной массе, не зависит от скорости, и определяется только положением. Будем полагать функцию f (x) голо-
10