книги / Физика колебаний

морфной, интегрируемой и в общем случае нелинейной функцией координаты x. Выбрав в качестве новой переменной x, можно ис-

можно понимать величину, пропорциональную кинетической энергии системы (коэффициентом пропорциональности является либо масса, либо момент инерции системы). Тогда w имеет смысл полной энергии системы, отнесенной к единичной массе. Интеграл же ∫ f (x)dx , взятый с обратным знаком, представляет функцию, про-

порциональную потенциальной энергии системы u(x)

u(x) = −∫ f (x)dx .

является естественной записью условия консервативности колебательной системы, выражающегося в неизменности полного запаса энергии системы.

11

Для более общего случая, когда возвращающая сила зависит и от скорости, уравнение (1.1) может быть записано в виде

dx = F(x, x) . dx x

В этом случае (1.1) будет описывать консервативную систему при условии существования однозначного интеграла этого уравнения вида Φ(x, x) = const.

Введение переменных (x, x) позволяет использовать известный метод рассмотрения поведения исследуемой системы с помощью фазовой плоскости – плоскости переменных ( x, x). Суть этого метода

заключается в следующем. Каждому состоянию системы соответствует пара значений x и x, т.е. точка на фазовой плоскости (описывающая или изображающая точка). Очевидно, при движении, совершаемом системой, будут происходить изменения величин x и x, а следовательно, описывающая точка будет перемещаться по некоторой кривой, которую принято называть фазовой траекторией движения. Ее явный вид является интегралом уравнения (1.6). Из общих свойств дифференциальных уравнений следует, что через каждую точку фазовой плоскости должна проходить только одна фазовая траектория, за исключением особых точек, в которых f (x) и x од-

новременно обращаются в нуль. В этих точках направление и число фазовых траекторий становятся неопределенными.

В механических колебательных системах в качестве переменных x, x обычно выбирают координату и скорость. В электрических

колебательных системах (см., например, рис. 1.3) в качестве таких переменных можно выбирать ток I и напряжение U на конденсаторе. Связано это с тем, что напряжение пропорционально заряду, а ток – производная от заряда. Таким образом, фазовая плоскость может быть построена также в переменных (I, U ).

Рассмотрим условия, при которых в системе возникают состояния равновесия. В этом состоянии при x = xi скорость движения об-

12

ращается в нуль, и в системе должны отсутствовать силы, т.е. долж-

f (xi ) = 0) соответствуют особым точкам. Найдем теперь уравнение

фазовых траекторий вблизи положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной функции (а следовательно, и потенциальной энергии). Пусть координаты особой точки на фазовой плоскости будут x = xi , xi = 0 . Обозначим u (xi ) = ui .

Если u(x) при x = xi имеет минимум, то

Тогда с точностью до высших степеней ξ = x − xi уравнение (1.7) можно записать в виде

13

в качестве уравнений фазовых траекторий вблизи положения равновесия, соответствующего минимуму потенциальной функции, уравнения эллипсов (1.8). Эти эллипсы различаются величиной полуосей, определяемых разностью w – ui. Выбирая различные значения w, пропорциональные полной энергии системы, мы получаем различные эллипсы, которые по мере приближения w к ui уменьшаются,

стягиваясь в точку при w = ui .

Наличие на фазовой плоскости замкнутых фазовых траекторий указывает на существование периодических движений. Непосредственно в окрестности особой точки, отвечающей минимуму потенциальной функции, происходят периодические движения с эллиптическими траекториями, соответствующие гармоническим колебаниям. Это сразу следует из уравнений

x = a cos(ωt +α), x = −aωsin (ωt +α),

которые отображаются на фазовой плоскости эллипсом (для этого нужно второе уравнение поделить на ω, возвести их в квадрат и сложить). Реальное движение тем ближе к гармоническому, чем меньше превышение запаса энергии системы над запасом энергии в точке равновесия, т.е. чем меньше величина w −ui .

14

В системах, в которых потенциальная энергия представляет со-

жения имеет вид x +2α2 x = −α1. А это известное дифференциальное

уравнение гармонического осциллятора.

Таким образом, положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний, т.е. энергии.

Рассмотрим теперь случай, когда положение равновесия системы xk (а следовательно, и особая точка на фазовой плоскости) соответствует максимуму потенциальной функции u(x). Тогда в этой точке

и уравнение (1.8) в окрестности особой точки xk примет вид

η2 −αξ2 = 2(w −uk ).

Это уравнение гиперболы с асимптотами

η= ± αξ.

Таким образом, через особую точку на фазовой плоскости, соответствующей максимуму потенциальной функции, проходят две фа-

15

зовые траектории и в ее окрестности все остальные фазовые траектории имеют вид гипербол. Такая точка представляет особую точку типа седло. Подобные точки соответствуют неустойчивому положению равновесия, так как любое сколь угодно малое отклонение системы от положения равновесия приводит к удалению от точки равновесия на фазовой плоскости. Это соответствует движению по одной из уходящих фазовых траекторий.

Совокупность семейства фазовых траекторий и особых точек принято называть фазовым портретом системы. Рассмотрим для иллюстрации полученных выше результатов фазовый портрет системы, для которой потенциальная функция u(x) представлена на

рис. 1.4, а. Для этого воспользуемся уравнением (1.7). Из него находим

и отвечает неустойчивому положению равновесия. По самому опре-

PNRPU

фазовым траекториям происходят в верхней части фазовой плоскости в сторону возрастания x, а в нижней – в сторону убывания x. Из рис. 1.4, б видно, что существуют еще фазовые траектории, пограничные между областями фазовой плоскости, соответствующими движениям различного характера. Эти линии (например, линия C )

носят названия разделительных линий или сепаратрис. Их располо-

жение наглядно показывает области возможных движений различного типа и те значения фазовых координат x и x, при которых одно движение переходит в другое. Кривая C выделяет вокруг точки A область, внутри которой существуют колебательные движения вокруг устойчивого положения равновесия. Вне кривой C эти движения отсутствуют и характер движения системы, т.е. вид фазовых траекторий, может быть определен только при задании вида потенциальной функции u(x) для большей области изменения координаты x.

Метод фазовой плоскости является исключительно полезным при качественном рассмотрении различных колебательных систем, особенно нелинейных. В заключение рассмотрим так называемый метод изоклин, применяемый для построения фазового портрета систем с нелинейностью любого типа. Для этого введем временное обозначение x = y (это позволит нам лучше понять геометрический

смысл метода изоклин). С учетом новой переменной уравнение (1.6)

говорилось, что через любую точку фазовой плоскости M (x, y) проходит только одна линия y = y(x), являющаяся решением уравне-

ния (1.10). Причем тангенс угла наклона к данной линии в точке M (равный dy / dx ) определяется непосредственно соотношением (1.10).

17

y = y(x). Совокупность этих направлений образует так называемое поле направлений, а точку M (x, y) вместе с заданным в ней направ-

лением называют элементом поля направлений. Тогда интегрирование дифференциального уравнения (1.10) сводится геометрически к соединению близких элементов в интегральные кривые, касательные к которым имеют в каждой точке направление, совпадающее с направлением поля. Эти рассуждения хорошо иллюстрируются на известном опыте с железными опилками, помещенными в магнитное поле. Сами опилки (микромагнитики) образуют поле направлений, а интегральными линиями этого поля служат линии вектора индукции магнитного поля.

При построении картины поля на практике удобно выбирать не произвольные точки на плоскости Y , X , а строить изоклины, т.е.

линии, на которых поле направлено одинаково. Их уравнение получается, если правую часть (1.10) приравнять константе, т.е. написать

ϕ(x, y) = k,

где k – тангенс угла наклона поля, соответствующий данной изоклине.

Для иллюстрации метода рассмотрим, например, уравнение dydx = x + y. Приравнивание правой части постоянным числам, на-

пример –3, –2, –1, –1/2, 0, 1, 2, 3, дает изоклины, которые в нашем примере являются прямыми линиями, изображенными на рис. 1.5. На каждой из этих изоклин короткими штрихами показано направление поля (для k = −1 оно совпадает с самой изоклиной). На основе этих направлений нанесено несколько интегральных кривых уравнения

dydx = x + y (выделены жирными линиями). Видно, что одной из таких линий является прямая x + y = −1. Кроме того, видно, что геометри-

18

Рис. 1.5

ческим местом самых низких точек на интегральных линиях служит прямая x + y = 0. В общем случае уравнения (1.10) для нахождения

геометрического места самых низких или самых высоких точек на интегральных линиях нужно построить изоклину ϕ(x, y) = 0.

1.2. Колебания маятника. Метод последовательных приближений

В качестве одной из простейших механических нелинейных консервативных систем рассмотрим идеальный маятник. Это может быть как математический (рис. 1.6, а), так и физический маятник (рис. 1.6, б). Так как математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника, то дальнейшее будет касаться физического маятника. Запишем для него основной закон динамики вращательного движения Iϕ = M в виде

19

Используя это выражение, легко построить фазовые траектории движения и нарисовать на фазовой плоскости общий фазовый портрет данной системы (рис. 1.7).

Замкнутые траектории, окружающие особые точки с координатами x = 0, x = 2nπ (n – любое целое число), соответствуют колеба-

тельным движениям маятника около положения устойчивого равновесия, отвечающего минимуму потенциальной энергии. Точки

x = 0, x = (2n −1)π представляют особые точки типа седло и соответ-

20