книги / Физика колебаний

f (u, v,t) = f (u cos ωt + v sin ωt, −uωsin ωt + vωcosωt ) .

Умножая (2.16) последовательно на sin ωt и cos ωt и складывая, получаем с учетом (2.15) систему уравнений

Эта система двух дифференциальных уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению (2.13) второго порядка. Она не дает никаких преимуществ в смысле упрощения решения задачи. Однако из нее следует, что производные u и v имеют порядок малости µ, что подтверждает справедливость выбранных усло-

вий u << u и v << v. Существенный шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если заменить мгновенные значения правых частей уравнений (2.17) их средними величинами за каждый период колебаний, равный 2π/ ω. Произведя усреднение по времени от нуля до 2π/ ω, приходим к системе так называемых «укороченных» уравнений

в которых величины u и v, входящие под знак интеграла, предполагаются временно постоянными. Эта система вида

u = ϕ(u, v), v = ψ(u, v)

уже не содержит в правых частях в явном виде время и во многих случаях ее можно проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u(t) и v(t), являющихся «амплитуда-

ми» искомого решения. Систему уравнений (2.18) можно получить из системы (2.17), если ее правые части разложить в ряд Фурье и отбросить все осциллирующие члены. В этом и заключается «укорачивание», приводящее от системы уравнений, точно соответствующих исходному уравнению (2.13), к приближенным укороченным уравнениям.

Полученная система укороченных уравнений позволяет отыскивать состояния равновесия для переменных u и v, что соответствует стационарным движениям. Для стационарных движений (состояний)

u = ai , v = bi , u = 0, v = 0

82

и тогда

ϕ(ai ,bi ) = 0, ψ(ai ,bi ) = 0.

Решения этой системы уравнений должны дать возможные стационарные амплитуды гармонических движений, приближенно отражающих реальный стационарный процесс.

Устойчивость стационарных движений можно определять известным методом теории возмущений, заключающимся в составлении уравнений для малых вариаций вокруг найденных стационарных значений u = ai , v = bi , соответствующих равновесию вспомогатель-

ной системы, описываемой укороченными уравнениями. Если задать u = ai +η, v = bi +ζ, то для вариаций η и ζ имеем уравнения

η= ϕ(ai +η, bi +ζ), ζ = ψ(ai +η, bi +ζ).

Разлагая правые части этой системы в ряд в окрестности стационарных значений ai , bi и пренебрегая высшими степенями малых величин η и ζ, получим систему линейных уравнений

Полагая зависимость вариаций от времени в виде η= η0eλt , ζ = ζ0eλt и подставляя эти выражения в (2.19), находим два линейных уравнения для амплитуд вариаций η0 и ζ0:

(α11 −λ)η0 +α12ζ0 = 0, (2.20) α21η0 +(α22 −λ)ζ0 = 0.

83

Как обычно, поведение вариаций будет определяться видом решений характеристического уравнения, которое получается из условия нетривиальности решения системы (2.20):

ли же хотя бы одно из значений λ имеет знак плюс у вещественной части, то исследуемое решение неустойчиво. Наличие или отсутствие мнимой части в λ определяет характер устойчивости или неустойчивости стационарного решения. Мы не будем сейчас углубляться в детали вопроса об исследовании устойчивости стационарных движений, а вернемся к нему позднее при рассмотрении параметрических и неавтономных систем. Для диссипативных же систем, очевидно, может существовать только одно стационарное состояние – состояние покоя, которое всегда устойчиво.

Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных переменных (x, x) к новым переменным – амплитуде A и фазе θ, которые также являются медленно изменяющимися функциями времени. Будем искать решение исходного уравнения (2.13) в виде

x= A(t)cos ωt +θ(t ) .

Здесь A и θ представляют собой полярные координаты описывающей точки на плоскости переменных u и v (см. рис. 2.19). Очевид-

Эта переменная, как и ранее в соотношении (2.14), не есть результат дифференцирования x по времени, ибо истинная производная от x по t имеет вид

x = Acos(ωt +θ) − Aωsin (ωt +θ) − Aθsin (ωt +θ).

Поэтому для согласования с выражением (2.22) нам приходится полагать

Это соотношение можно рассматривать как дополнительное условие, накладываемое на переменные A и θ.

Если переменную x продифференцировать по времени и вместе с x подставить в уравнение (2.13), то приходим к уравнению

Здесь A(t) и θ(t) являются медленными функциями времени, что

позволяет усреднить правые части данной системы уравнений за период T = 2π/ ω, считая, что за это время A и θ не изменяются. Выполнив процедуру усреднения по времени, приходим к системе двух укороченных уравнений:

С целью упрощения вычислений интегралов в (2.25) введем замену α = ωt +θ (напомним, что величина θ под знаком интеграла

считается постоянной). Тогда данная система перепишется в виде

Из системы укороченных уравнений (2.26) можно определить стационарные значения амплитуды и фазы колебаний, исследовать процессы установления этих величин (переходные процессы), а также определить устойчивость найденных решений. Первое из этих уравнений определяет амплитуду колебаний в стационарном режиме, второе – зависимость частоты колебаний от амплитуды. Так как в стационарном режиме A = const, то из второго уравнения (2.26) следует

θ = ∆ωt +θ0 ,

где величину ∆ω можно трактовать как малую поправку к частоте ω. В общем случае эта поправка зависит от амплитуды колебаний. Тогда решение исходного уравнения (2.13) будет иметь вид

Применение такого варианта метода ММА иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание, вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом, фазовый сдвиг которого относительно искомого решения естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные

86

системы и др. Некоторое облегчение этот вариант метода ММА дает также в случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд.

Проиллюстрируем теперь метод ММА на некоторых простых примерах, для которых мы уже знаем решение, что позволит сравнить результаты применения различных методов.

Гармонический осциллятор с постоянным затуханием. Ко-

лебания в рассматриваемой системе описываются уравнением (2.2)

x + 2βx +ω02 x = 0.

Перепишем данное уравнение в виде

x +ω02 x = −2βx.

Тогда условием применимости метода ММА в данной задаче будет требование малости коэффициента затухания β. Очевидно,

µf (x, x) = −2βx. Применим вариант метода с медленно меняющими-

ся амплитудой и фазой. В этом случае укороченные уравнения (2.26) для осциллятора с трением будут иметь вид

идля переменной x получаем

x= A0e−βt cos(ω0t +θ0 ).

87

Заметим, что найденное приближенное решение несколько отличается от точного решения

x = A0e−βt cos(ωt +θ0 ),

где ω= ω02 −β2 , т.е. скорость уменьшения амплитуды та же, что

и в точном решении, а частота колебаний немного отличается.

Нелинейный контур без затухания. Рассмотрим электриче-

ский контур с конденсатором, заполненным сегнетоэлектриком (см. подразд. 1.3). Уравнение колебаний заряда на конденсаторе имеет вид

x +ω02 x + γω02 x3 = 0,

или

где γ – малый коэффициент нелинейности (подобное уравнение по-

лучается и для нелинейного осциллятора). Это уравнение принадлежит к типу (2.13) и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v, т.е. решение будем искать в виде

x = u cos ω0t + v sin ω0t.

Однако на этом пути нас ждут неприятности. Дело в том, что мы ищем решение на той же частоте, что входит в уравнение (2.27), т.е. на резонансной частоте (об этом подробно говорилось в подразд. 1.2). В этом случае окончательное решение должно содержать секулярный член, пропорциональный времени, т.е. не существует стационарных колебаний. Наличие же стационарной ненулевой амплитуды в данной системе вытекает из условия ее консервативности. В связи с этим решение уравнения (2.27) будем искать в виде

где ω≠ ω0 – неизвестная пока частота. Для того чтобы можно было воспользоваться методом ММА, перепишем (2.27):

88

характеризующий относительную расстройку частоты. В этом случае, пренебрегая произведением ξγ, уравнение (2.29) можно перепи-

сать как

x +ω2 x = ξω2 x −γω2 x3.

Тогда система укороченных уравнений (2.18) будет иметь вид

где x задано уравнением (2.28). После интегрирования получаем

Не занимаясь решением полученной системы укороченных уравнений, исследуем возможность установления стационарного режима колебаний с постоянной амплитудой a0. Установление данно-

го режима (u = 0, v = 0) требует удовлетворения системы уравнений

89

Это возможно, если u0 = v0 = 0 или ξ = 34 γa02. Первая возмож-

ность соответствует состоянию покоя. Наличие же стационарной ненулевой амплитуды возможно только при ненулевой расстройке. Отсюда находим значение частоты

Данное соотношение, отражающее неизохронность рассмотренной нелинейной системы, было получено нами ранее другими методами (см. выражение (1.24)). Заметим, что если бы мы в самом начале при выборе решения положили расстройку равной нулю, то единственным стационарным состоянием было бы состояние покоя при

u0 = v0 = 0.

90