книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

Глава 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Простейшие оптические явления могут быть поняты в рамках так называемой геометрической оптики, составляющей раздел физической оптики, в которой рассматривается распространение света в связи с его физической природой. Геометрическая оптика получается в предельном случае коротких волн, длины которых малы по сравнению с характерными размерами, определяющими распространение света как электромагнитной волны в среде. Основу геометрической оптики составляют четыре закона, установленные опытным путем:

1)закон прямолинейного распространения света;

2)закон независимости световых пучков;

3)закон отражения света;

4)закон преломления света.

Прямолинейность распространения света означает, что в прозрачной однородной среде свет распространяется по прямым линиям (лучам). Закон независимости световых пучков состоит в том, что распространение всякого светового пучка в среде совершенно не зависит от наличия в ней других световых пучков, т.е. пучок, прошедший через какую-либо область пространства, выходит из нее одним и тем же независимо от заполнения ее другим светом. При совместном распространении нескольких световых пучков происходит их наложение друг на друга без каких-либо взаимных искажений.

Согласно закону отражения света на плоской границе раздела двух сред падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела в точке падения, причем угол падения равен углу отражения (углы отсчитываются от нормали). Согласно же закону преломления света на границе раздела двух прозрачных сред с показателями преломления n1 и n2 выполняется равенство

n1 sin α = n2 sin β .

4

Здесь n = c / v, c – скорость света в вакууме; v – в данной среде; α – угол падения; β – угол преломления. Отсюда, в частности, следует, что при падении света на оптически менее плотную среду (n2 < n1 ) угол преломления может достигнуть 90°, т.е. преломленный луч начинает скользить вдоль границы раздела и не выходит во вторую среду (рис. 1.1). Предельное значение угла падения αC определяется равенством

sin αC = n2 / n1,

и при α > αC наблюдается полное внутреннее отражение. Это на-

звание связано с тем, что происходит почти 100%-ное отражение света.

Рис. 1.1

Перечисленные выше законы геометрической оптики автоматически следуют из так называемого принципа Ферма, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения, либо путь, оптическая длина которого минимальна. Если существует множество таких путей, то они называются таутохронными (требующими для своего прохождения одинакового времени). Из данного принципа вытекает обратимость хода световых лучей, т.е. если при движении от одной точки к другой свет выбирает некоторый путь, то при обратном движении он выбирает точно такой же путь.

5

1.1.Законы отражения и преломления

1.1.1.Принцип Ферма. Получить законы отражения и преломления света, исходя из принципа Ферма.

Получим вначале закон отражения. Для этого рассмотрим ситуацию, когда свет должен попасть из точки A в точку B, испытав

при этом отражение от плоского зеркала (рис. 1.2). Среда, в которой распространяется свет, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Введем вспомогательную точку A′, являющуюся зеркальным отражением точки A. Тогда из рис. 1.2 сразу следует, что самый короткий путь из точки A в точку B с отражением от зеркала будет в том случае, если отражение произойдет в точке C, для которой выполняется условие α = α′.

Обратимся теперь к закону преломления. Как и ранее, будем полагать, что свет должен попасть из точки A в точку B, но теперь эти точки находятся по разные стороны границы раздела двух сред (рис. 1.3). Не нарушая общности задачи, можно считать, что показа-

6

тель преломления первой среды равен единице. Для оптической длины L ломаной, соединяющей точки A и B, имеем

L = cosa α +n cosb β .

Причем, независимо от того, в какой точке C произойдет преломление света, должно выполняться дополнительное соотношение

которое выражает условие постоянства длины проекции ломаной ACB на плоскость раздела сред. Так как принцип Ферма требует минимальности оптической длины, то необходимо потребовать, чтобы

Дифференцируя дополнительное соотношение (1), получаем cosa2 α + cosb2 β ddαβ = 0.

Сопоставляя это соотношение с (2), находим sin α−nsinβ = 0,

а это и есть закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает условие минимума оптической длины пути светового луча, а не просто условие ее экстремума, можно убедиться, ис-

ображений.

1.1.2. Радиус кривизны светового луча. Исходя из закона пре-

ломления света, показать, что радиус кривизны R светового луча при его распространении в прозрачной изотропной среде с медленно изменяющимся показателем преломления n определяется выражением

7

R1 = dNd (ln n) ,

где производная берется по направлению главной нормали N к лучу.

В неоднородных средах представление о распространении света вдоль лучей сохраняется, но сами лучи становятся криволинейными. Рассмотрим среду, состоящую из плоскопараллельных слоев с постоянными показателями преломления ni (рис. 1.4), ме-

няющимися скачком от слоя к слою. Световой луч, преломляясь на границах слоев, примет форму ломаной линии. В силу закона

преломления при распространении света в такой слоистой среде будут справедливы соотношения

n1 sin α1 = n2 sin α2 = n3 sin α3 =...

Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина каждого из них неограниченно убывает. Тогда в пределе мы приходим к неоднородной среде с непрерывно меняющимся показателем преломления. Если показатель преломления мало изменяется на протяжении длины световой волны, то можно пренебречь эффектами отражения на границах слоев и считать, что свет распространяется

в такой среде вдоль лучей, имеющих форму кривых линий.

Примем за ось z направление, перпендикулярное к слоям, расположенным вдоль оси x. Тогда под углом α нужно понимать угол между осью z и касательной к лучу (рис. 1.5), причем значения n и α будут связаны соотношением

Рис. 1.5 nsin α = const. (1)

8

По определению радиус кривизны R рассчитывается как

где dα – малое изменение угла α при перемещении вдоль кривой на величинуdS. Для определения производной dα/ dS найдем дифференциал (1):

dn sin α+ ncos α dα = 0 .

С учетом данного соотношения получаем

( dN – бесконечно малое перемещение вдоль нормали к лучу), то для радиуса кривизны имеем

R1 = 1n dNdn = dNd (ln n) .

Данное соотношение показывает, что в неоднородной среде луч изгибается в сторону наиболее быстрого изменения показателя преломления. Если среда однородна (n = const), то кривизна 1/ R обра-

щается в нуль, т.е. световые лучи прямолинейны.

1.1.3. Нижний мираж. При каких градиентах температуры воздуха у земной поверхности возможен нижний мираж?

Иногда вблизи земной поверхности из-за сильного нагревания или охлаждения возникают большие градиенты показателя преломления воздуха. Это приводит к искривлению лучей света, что является причиной различного рода миражей, наблюдаемых в атмосфере. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. При верхнем мираже, помимо самих предметов, видны их изображения, распо-

9

ложенные сверху; при нижнем мираже изображения получаются ниже самого предмета. Нижний мираж наблюдается

в пустынях и степях в теплое время года,

когда прилегающий к земной поверхности слой воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро возрастают с высотой. Из каждой

точки предмета в глаз наблюдателя всегда попадают прямые лучи, дающие обычное прямое изображение. Но при

больших градиентах показателя преломления могут попасть также и лучи, испытавшие значительное искривление. Они дают обратное изображение предмета, как в зеркале (рис. 1.6). Роль зеркала играют сильно нагретые нижние слои атмосферы с малым значением плотности и показателя преломления. Из-за того, что кривизна лучей возрастает при приближении к Земле и формируется обратное изображение (это очень похоже на полное внутреннее отражение). Создается иллюзия водной поверхности, в которой, как в зеркале, видно изображение неба.

Аналогично объясняется и верхний мираж. Он наблюдается зимой в холодных территориях, когда вблизи земной поверхности образуется холодный слой воздуха, в котором показатель преломления быстро убывает с высотой. В горах, хотя и очень редко, наблюдается боковой мираж.

Вернемся к нашей исходной задаче. Из сказанного выше следует, что для наблюдения нижнего миража необходимо, чтобы показатель преломления воздуха n возрастал с высотой h. А так как пока-

10