книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Оптика. Квантовая физика

В соответствии с вышесказанным среднее значение координаты частицы определяется как

x = ∫ xψψ dx,

где интегрирование проводится по всей интересующей нас области. При этом предполагается, что ψ-функция является нормированной. Если же волновая функция не нормирована, то

∫xψψ dx

x= ∫ψψ dx .

Аналогично находится и среднее значение любой функции координат f (x)

f (x) = ∫ f (x)ψψ dx.

И, наконец, в качестве одного из основных постулатов принимается принцип суперпозиции волновых функций. Если ψ1 и ψ2 – ка- кие-либо два решения уравнения Шредингера, то и всякая линейная их комбинация α1ψ1 +α2ψ2 с постоянными и в общем случае комплексными коэффициентами α1 и α2 также является решением уравнения Шредингера. Во-вторых, если волновые функции ψ1 и ψ2 описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная их комбинация α1ψ1 +α2ψ2 также описывает какое-то состояние этой

же системы.

4.1.1. Электронный пучок. Ускоряющее напряжение на элек- тронно-лучевой трубке U = 10 кВ. Расстояние от электронной пушки до экрана l = 20 см. Оценить неопределенность координаты электрона на экране, если след электронного пучка на экране имеет диаметр d = 0,5 мм.

В данной задаче предполагается, что исходный поперечный размер электронного пучка очень мал и расширение пучка до диаметра d происходит при движении электронов от пушки до экрана.

191

связана с корпускулярно-волновым дуализмом микрочастиц, который приводит к дифракционной расходимости электронного пучка независимо от его плотности. При этом вследствие дифракции электроны с наибольшей вероятностью будут двигаться в пределах угла 2θ, определяемого диаметром следа пучка на экране и расстоянием до него (рис. 4.1). Так как d l, то

Отклонение электронов с импульсом р от их первоначального движения приводит к появлению неопределенности импульса ∆px:

∆px = 2 p sin θ ≈ 2 pθ

или с учетом (1)

∆px = p dl .

Наличие этой неопределенности в силу соотношений Гайзенберга и приводит к неопределенности координаты электрона на экране:

∆x ≈ ∆px = pdl .

* Паршаков А.Н. Принципы и практика решения задач по общей физике. Ч. 1: Механика. Физика макросистем: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. 248 с.

192

Выражая импульс электрона через ускоряющее напряжение ( p = 2meU ), получаем окончательно

∆x ≈ l ≈ 0,8 нм. d 2meU

4.1.2. Дифракция на щели. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью v = 1,2 км/с падает нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии l = 100 см расположен экран. Оценить ширину щели b, при которой эффективная ширина изображения на экране будет минимальной.

Дифракция пучка атомов на узкой щели естественно приводит к тому, что ширина ее изображения становится больше ширины самой щели. Дополнительное уширение ∆′ связано с неопределенностью импульса атомов ∆px вдоль щели после ее прохождения. Ра-

зумно принять неопределенность положения атомов на входе в щель ∆x =b. Тогда из соотношения неопределенности следует

∆px ≈ ∆x = b .

Именно эта величина и определяет дополнительное уширение пучка. Полагая расходимость пучка малой, из рис. 4.2 находим

193

4.1.3. Атом гелия. Оценить минимально возможную энергию электронов в атоме гелия и соответствующее расстояние электронов до ядра.

В состав атома гелия входит ядро с зарядом +2e, вокруг которого двигаются два электрона с зарядом −e. Полная энергия такой сис-

Понятно, что нам не удастся найти минимум этого выражения, пока мы не найдем связь импульса электронов p и радиуса атома r.

Для установления этой связи воспользуемся соотношением неопределенности ∆r ∆p ≈ . Неопределенность координаты ∆r разумно

считать равной радиусу атома, т.е. ∆r ≈ r. А вот что принять за ∆р? Представим, что электроны имеют энергию, бóльшую минимальной. Тогда их импульс может быть представлен как p = p +∆p. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию и соответственно импульс p . При этом ∆p не меняется, поскольку ∆p ≈ / r согласно соотношению неопределенности. И когда энергия станет равной минимальной, величина p обратится в нуль и останется только ∆p. Эту

194

Легко убедиться, что минимуму энергии соответствует

r≈167πεme02 2 ≈ 0,310−8 см,

асамо значение минимальной энергии составит

(7 / 4)2 me4

Emin ≈ − 16π2ε02 2 ≈ −83 эВ,

что близко к экспериментальному значению ( −79 эВ).

Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых в выражении для энергии (1), имеющих противоположные знаки. Если увеличивать отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшая r, то увеличивается кинетическая энергия, и наоборот. Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях. В результате электроны находятся в среднем на таком расстоянии от ядра, при котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения к ядру.

4.1.4. Нулевые колебания. Оценить энергию «нулевых» колебаний.

Посмотрим теперь на колебания атомов в твердых телах с точки зрения принципа неопределенности. Обычно такие колебания связаны с тепловым движением атомов. Чем выше температура, тем сильнее колебания и тем больше амплитуда этих колебаний. При понижении температуры уменьшается и амплитуда этих колебаний. И при нулевой температуре с точки зрения классической физики амплитуда должна быть равна нулю. А что же происходит на самом деле? Уменьшение амплитуды колебаний приводит к уменьшению области

195

локализации частицы, и соответственно, в силу принципа неопределенности начинает расти импульс и энергия частицы, т.е. попытка остановить частицу безуспешна! И даже при абсолютном нуле температуры атомы в твердом теле совершают колебания – их называют нулевыми колебаниями. Оценим энергию этих колебаний, принимая атом за гармонический осциллятор. Энергия гармонического осцил-

Данное соотношение в сочетании с принципом неопределенности дает своеобразную связь амплитуды колебаний и энергии частицы. Чем меньше энергия, тем меньше амплитуда (область локализации частицы), тем больше минимальный импульс частицы, а это, соответственно, приводит к росту энергии. Минимальная энергия, которой может обладать частица,

E0 = p02 .

2m

Воспользуемся теперь соотношением неопределенности. Примем за неопределенность координаты амплитуду колебаний, а за неопределенность импульса – его минимальное значение p0. Таким

образом, p0 A ≈ и для минимальной энергии имеем

такой же результат, случайность!). Полученный результат говорит о том, что энергия колебаний максимальна у легких атомов, у которых большая частота ω.

196

Самое яркое проявление нулевых колебаний – жидкость, которая не замерзает при T = 0 K. Ясно, что жидкость не замерзает, если

кинетической энергии колебаний атомов достаточно для того, чтобы разрушить кристаллическую решетку. При этом совершенно неважно происхождение кинетической энергии – связана ли она с тепловым движением атомов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Наиболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости – водород и гелий (максимальная энергия нулевых колебаний). Но гелий – инертный газ, с очень слабым взаимодействием между атомами. И кинетической энергии нулевых колебаний достаточно для расплавления кристаллической решетки. Вот почему гелий не замерзает даже при нулевой температуре при нормальном давлении (при давлении 25 атм гелий все-таки замерзает).

4.1.5. Измерение силы. Один из методов измерения силы заключается в определении изменения энергии пробного тела массой m до и после действия силы. Оценить, какую минимальную постоянную силу, действующую в направлении скорости частицы, можно измерить таким образом, если полное время эксперимента, включая время измерения начальной энергии, равно τ, а начальная

энергия тела E0 много больше приращения энергии.

В данном методе производится измерение энергии частицы до действия силы и после. Для измерения начальной энергии E0 требуется конечное время τ1. Поэтому измерение E0 производится с точностью, даваемой соотношением неопределенностей: ∆E ≈ / τ1 (в принципе при достаточно большом τ1 она может быть сделана

сколь угодно малой). Так как полное время эксперимента ограничено величиной τ, то часть этого времени должна быть затрачена на из-

мерение начальной энергии E0 , а в оставшуюся часть времени τ−τ1 будет происходить изменение энергии под действием силы F. За время τ−τ1 при условии Fτ1 << p0 ( p0 – начальный импульс частицы) изменение энергии составит

197

4.1.6. Свободная частица. Найти решение временнóго уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом p в произвольном направлении.

Решение временного уравнения Шредингера при U = 0 в трехмерном пространстве распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, другой – от координат:

Ψ(x, y, z,t) = ψ(x, y, z)exp −iEt ,

где E – полная энергия частицы (в случае стационарных полей остается постоянной). После подстановки этого выражения в исходное

уравнение Шредингера для стационарных состояний:

198

2

− 2m ∆ψ = Eψ.

Преобразуем его к виду

ψ′′x +ψ′′y +ψ′′z + 2mE2 ψ = 0.

Решение этого уравнения будем искать также методом разделения

янными. Для их определения представим полную энергию E в виде E = Ex + Ey + Ez (это ни в коем случае не означает, что Ex , Ey или

199

Найдем теперь плотность вероятности определения положения свободной частицы:

P(x) = ΨΨ = AA = const.

Это означает равновероятность местонахождения такой частицы во всех точках пространства – оси X (мы не можем сказать, где находится частица в данный момент времени). Данный вывод вполне согласуется с соотношением неопределенностей: при ∆px = 0 неопре-

деленность координаты стремится к бесконечности, т.е. частица «размазана» равномерно по всему пространству. Для получения хотя бы какой-нибудь информации о положении частицы необходимо подействовать на нее каким-либо прибором, т.е. оказать на частицу силовое воздействие. А это будет означать, что частица не является свободной, и ее состояние уже не будет описываться волновой функцией вида (1).

Заметим, что волновую функцию свободной частицы можно также представить в виде

Ψ= Aexp − i (Et − pr ) ,

где E – энергия частицы, а p – ее импульс.

4.1.7. Преобразования Галилея. Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Галилея.

Поскольку в силу принципа суперпозиции всякая волновая функция Ψ может быть разложена по плоским волнам, то найдем преобразование волновой функции свободной частицы. Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K′, из которых система K′ движется относительно K-системы со скоростью v0.

В этих системах волновые функции свободной частицы имеют вид (см. предыдущую задачу)

200