книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов
.pdf–уменьшения высоты и ширины потенциального барьера в одном из возможных направлений процесса возникновения отказа или увеличения высоты и ширины барьера в других, побочных направлениях;
–увеличения анизотропии распределения запасенной энергии по объему твердого тела, что соответствует увеличению эффективности использования энергии в одном из направлений процесса развития отказа и подавлению развития по другим направлениям в силу того, что на развитие процесса по этим направлениям может быть израсходовано меньшее количество энергии.
Приведенная трактовка энергетической стороны каталитического действия чувствительных микрообъемов с позиции статистической термодинамики означает, что развитие процессов возникно-
вения отказов должно сопровождаться уменьшением энтропии и соответствующим увеличением свободной энергии той части элемента, которая связана с чувствительными микрообъемами, следствием чего должно быть увеличение направленности использования свободной энергии элемента. Действительно, увеличение анизотропии распределения энергии по объему элемента, во-первых, означает увеличение условной температуры одного из направлений процесса развития отказа и «замораживания» других. Во-вторых, ведет к росту упорядоченности распределения энергии по микроскопическим состояниям элемента, т.е. к уменьшению статистического веса ∆Г подсистемы элемента, связанной с чувствительными микрообъемами, и, тем самым, к уменьшению энтропии S подсистемы, поскольку
S = k ln∆Г.
Для упорядочения структуры элемента и снижения энтропии необходима затрата энергии, которая должна быть подведена к элементу извне.
Итак, чувствительные микрообъемы оказывают каталитическое действие на процессы возникновения отказа, что дает основание рассматривать их как микрообъемы элемента, в которых осуществляется поглощение квазичастиц, участвующих в процессе воз-
61
никновения отказа. Тогда пусковой механизм отказа может быть отождествлен с поглощением определенного числа квазичастиц чувствительными микрообъемами элемента, при этом, если число квазичастиц не достигает некоторого критического значения n, возникновение отказа невозможно. Очевидно, что в силу множественности элементарных актов процессов возникновения отказов, а также в силу множественности причин, влияющих на осуществление каждого акта, детерминистический подход к их описанию затруднителен и в большинстве случаев невозможен. Более или менее адекватного описания процессов возникновения отказов можно достичь лишь рассматривая их с позиций теории вероятностей.
4.2. Математическое описание энергетического воздействия на элементы
Сформулируем задачу математического описания энергетического воздействия на элементы следующим образом. Пусть совокупность, состоящая из N элементов, каждый из которых содержит m > 1 идентичных по форме, размерам и расположению чувствительных микрообъемов, подвергается энергетическому воздействию Е. В результате этого воздействия в элементе возникают квазичастицы, число которых на единицу характерного размера элемента равно ε = kE, где k – коэффициент пересчета энергии в число квазичастиц. Квазичастицы случайным образом могут поглощаться чувствительными микрообъемами, вызывая с определенной вероятностью q отказ элемента.
Требуется определить закономерность возникновения отказов элементов, если известны величина энергетического воздействия Е, количество m и размеры ν чувствительных микрообъемов, или, иначе, требуется найти зависимость
q = f (E, m, ν) .
При решении поставленной задачи будем рассматривать процессы возникновения отказов элементов как процессы накопления энергии чувствительными микрообъемами до определенной вели-
62
чины или как процессы накопления элементарных повреждений, которые возникают в чувствительных микрообъемах элементов
врезультате энергетического воздействия на них, до критической величины, вызывающей отказ. Если предположить, что поглощение одной квазичастицы равносильно появлению одного повреждения
вэлементе, то математически оба процесса будут описываться одними и теми же уравнениями.
Принимая во внимание тот факт, что процесс поглощения активных квазичастиц должен носить дискретный характер, решение поставленной задачи для m = 1 в первом приближении можно свести к следующему. Пусть события поглощения активных квазича-
стиц или события возникновения элементарных повреждений в чувствительных микрообъемах элементов в результате энергетического воздействия на них происходят случайно и независимо друг от друга. Тогда вероятность того, что в чувствительном микрообъеме произойдет поглощение точно i активных квазичастиц или возникнет точно i элементарных повреждений, может быть задана распределением Пуассона со средним значением n = ϑ ε = ϑ kE:
P[i] = |
(ϑε) i exp(−ϑε) |
, |
(4.2) |
|
i! |
||||
|
|
|
где P[i] – вероятности поглощения точно i активных квазичастиц чувствительным микрообъемом элемента (вероятность возникновения точно i элементарных повреждений).
Вероятность того, что в чувствительном микрообъеме не произойдет ни одного события поглощения активной квазичастицы (не возникнет ни одного элементарного повреждения), как это следует из формулы (4.2), будет равна
P[i = 0] = exp (−ϑε ) .
Следовательно, число элементов совокупности N0, в чувствительных микрообъемах которых не произойдет ни одного события поглощения активной частицы (не возникнет ни одного элементарного повреждения), будет
63
N0 = N exp(−ϑε) . |
(4.3) |
Аналогичным образом получаем выражение для определения числа элементов, в чувствительных микрообъемах которых произойдет по одному, два и более событию поглощения активной квазичастицы (возникнет по одному, два и более элементарному повреждению):
N1 = NP[i =1] = Nϑε exp(−ϑε) |
; |
|
||
N2 = NP[i = 2] = N |
(ϑε) 2 exp(−ϑε) |
; |
||
|
|
|||
2! |
|
|
||
………………………………......... |
||||
Nn−1 = NP[i = n −1] = N |
(ϑε) |
n−1 exp(−ϑε) |
||
|
(n −1)! |
|||
|
|
|
||
(4.4)
,
где n – число событий поглощения активных квазичастиц (число элементарных повреждений), необходимых для возникновения отказа элемента.
Поскольку элементы, в чувствительных микрообъемах которых произойдет не более n – 1 событий поглощения активных квазичастиц или возникнет не более n – 1 элементарных повреждений, не откажут в процессе энергетического воздействия на них, то выражения (4.3) и (4.4) дают возможность определить долю элементов, безотказно работающих при данном энергетическом воздействии. Действительно, суммируя выражения (4.3) и (4.4), получаем
n−1 |
|
(ϑε) |
2 |
+... (ϑε) |
n−1 |
|
N * = ∑ Ni = N exp(−ϑε) |
1+ ϑε + |
+ |
|
|
||
i=0 |
|
2! |
(n −1)! |
|||
или
N |
* |
n−1 |
|
i |
|
|
|
= exp(−ϑε) ∑ (ϑε) |
, |
(4.5) |
|||
N |
||||||
i=0 |
i! |
|
|
|||
где N* – число безотказно работающих элементов.
Доля отказавших элементов будет соответственно равна
64
1 |
− N |
* |
= 1 |
− exp(−ϑε) ∑ (ϑε) |
. |
(4.6) |
|
|
|
|
|
n−1 |
i |
|
|
|
|
N |
|
i=0 i! |
|
|
|
Поскольку рассматривается генеральная совокупность, состоящая из N элементов, то соотношение (1–N*/N) представляет собой вероятность отказа элемента. Обозначим эту вероятность через q(ε), подчеркивая тем самым, что отказ элемента зависит от величины энергетического воздействия на него.
Однако вряд ли можно утверждать, что любое событие поглощения активной квазичастицы будет эффективным, т.е. обязательно вызывать возникновение одного элементарного повреждения. В общем случае необходимо считаться с тем, что эффективность одного события поглощения активной квазичастицы может быть меньше единицы. Поэтому вместо геометрического размера ϑ чувствительного микрообъема необходимо рассматривать эффективный размер ϑ эф = ϑ P, где P – вероятность того, что событие поглощения активной квазичастицы окажется эффективным. Тогда выражение (4.6) должно быть записано в виде
|
N |
* |
эф |
n−1 |
(ϑ |
ε |
i ) |
|
|
|
|
∑ |
|
эф |
|
|
|
||
q(ε) = 1− |
N |
= 1− exp(−ϑ ε) |
i=0 |
|
i! |
|
. |
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кривые, построенные по уравнению (4.7) и изображенные на рис. 4.1, представляют собой интегральные функции распределения случайной величины энергии ε, вызывающей отказ при заданном значении ϑ эф. В дальнейшем вместо словосочетания «энергия, вызывающая отказ» будем писать «энергия возникновения отказа». Как видно из этого рисунка, для n = 1 кривая представляет собой простые экспоненты, а для n > 1 кривые становятся S-образными, однако и в том, и в другом случае с увеличением количества поглощенной энергии вероятность отказов элементов увеличивается.
Математическое описание энергетического воздействия, или модель отказов, задаваемая выражением (4.7), соответствует случаю, когда элемент имеет один чувствительный микрообъем размером ϑ , и отказ возникает в результате поглощения этим микрообъемом не менее n активных квазичастиц.
65
Рис. 4.1. Функции распределения энергии возникновения отказа
Если предположить, что элемент имеет m идентичных чувствительных микрообъемов, каждый из которых имеет эффективный размер ϑ эф, и если для возникновения отказа элемента необходимо, чтобы определенное число r (1≤ r ≤ m) чувствительных микрообъемов из m поглотили не менее n квазичастиц каждая, то вероятность осуществления такого события будет
r −1
q(ε) = 1− ∑Cmi
i =0
exp(−ϑ ε)
эф
n−1 |
(ϑ ε) |
i m −i |
||
∑ |
эф |
|
|
−1 exp(−ϑ ε)эф |
|
|
|||
i =0 |
i! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
(ϑ |
ε) |
i |
|
i |
|
n−1 |
|
|
|
||
∑ |
|
эф |
|
, (4.8) |
|
|
|
|
|||
|
|
i! |
|
|
|
i =0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где Cmi – число сочетаний r из m чувствительных микрообъемов.
Выражение (4.8) задает общую модель отказов элементов, из которой могут быть получены различные частные зависимости q(ε).
Так, при r = m = 1, т.е. при наличии в элементе только одного чувствительного микрообъема, выражение (4.8) принимает вид
эф |
n−1 |
(ϑ |
ε) |
i |
|
∑ |
|
эф |
|
|
|
q(ε) = 1− exp(−ϑ ε) |
|
i! |
|
, |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
т.е. соответствует модели отказов, задаваемой формулой (4.7). При r = l модель отказов будет иметь вид
66
q(ε) = 1− exp(−ϑ
Для случая r = m получим
эф |
n−1 |
(ϑ |
ε) |
i m |
|
|
∑ |
|
эф |
|
. |
|
|
ε) |
|
|
|
(4.9) |
||
|
|
|
i! |
|
|
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эф |
n−1 |
(ϑ |
ε) |
n m |
|
|
|
|
∑ |
|
эф |
|
|
|
|
q(ε) = |
1− exp(−ϑ ε) |
|
|
|
|
. |
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
i! |
|
|
|
|
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученные математические модели отказов учитывают реальную структуру материалов элементов и связывают отказ элемента с поглощением чувствительными (дефектными) микрообъемами определенного количества квазичастиц, или, что то же самое, определенного количества энергии, поэтому они могут быть названы структурно-энергетическими моделями отказов.
Характерной особенностью полученных структурно-энер- гетических моделей отказов является то, что они имеют совершенно общий характер и не зависят от каких бы то ни было допущений относительно физической природы поглощаемой энергии и чувствительных микрообъемов элементов, поскольку они были получены на основе чисто вероятностных соображений.
Не вдаваясь пока в обсуждение вопроса о физической достоверности и возможной области применимости полученных моделей, рассмотрим, какую полезную информацию они несут и какие практические рекомендации по обеспечению надежности элементов из них следуют.
Прежде всего необходимо отметить, что структурно-энерге- тические модели отказов позволяют оценивать и прогнозировать надежность элементов по результатам неразрушающего контроля, так как они содержат в явном виде структурные параметры материалов – количество и размеры чувствительных, в частном случае, дефектных структур, которые могут быть выявлены известными методами технической дефектоскопии. Параметры, входящие в структурно-энергетические модели, указывают конкретные кон- структивно-технологические и эксплуатационные пути обеспечения
67
и поддержания заданного уровня надежности элементов, а следовательно, и систем в целом. Так, например, по величине параметра n, характеризующего энергоемкость материалов, можно обосновать выбор того или иного материала, использование которого при изготовлении элементов обеспечит требуемый уровень надежности при прочих равных условиях производства.
Из структурно-энергетических моделей отказов видно также, что требуемый уровень надежности элементов может быть достигнут за счет варьирования размеров и количества структурных дефектов в материалах. Причем, как следует из выражения (4.10), повышать надежность элементов можно за счет увеличения количества микроскопически однородных структурных дефектов в материалах. Этот вывод хорошо согласуется с экспериментальными данными и широко используется в машиностроении для повышения прочности и надежности механических узлов конструкции, что является одним из доказательств правомерности и справедливости структурно-энергетического подхода к проблеме надежности.
4.3. Обобщенная структурно-энергетическая модель отказа
Одним из недостатков полученных выше моделей отказов является то, что величина энергетического воздействия на элементы задается не в явном виде, а числом квазичастиц, возникающих в элементе в результате энергетического воздействия на него. Это не снижает теоретико-познавательной ценности моделей, но затрудняет их использование на практике. Этого недостатка можно избежать, если подойти к построению структурно-энергетической модели следующим образом. Пусть, как и прежде, совокупность, состоящая из N элементов, подвергается энергетическому воздействию, которое будет теперь характеризоваться величиной подводимой энергии, приходящейся на единицу характерного размера элемента, и обозначаться символом Е. В результате энергетического воздействия E в элементе будут возникать активные квазичастицы, часть из которых, поглощаясь чувствительными микрообъемами,
68
примет участие в процессе возникновения отказа. В этом случае процесс возникновения отказа можно рассматривать как процесс перехода элемента из одного состояния в другое, каждое из которых можно характеризовать вполне определенным числом активных квазичастиц, поглощенных чувствительными микрообъемами элемента. Графически этот процесс можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 4.2, где Si означает i-e состояние элемента, характеризуемое поглощением чувствительными микрообъемами элемента i активных квазичастиц (i = 0, 1, …, n), а α – коэффициент перехода из одного состояния в другое.
Рис. 4.2. Схема возникновения отказа (α = const)
Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний Pi, coответствующаярис. 4.2, имеет следующий вид:
|
|
dP0 |
(E) |
|
||
|
|
|
|
|
= −α P0 (E), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dE |
|
|||
|
dP (E) |
= α P0 (E)− α P1 (E), |
||||
|
1 |
|
|
|||
|
dE |
|||||
|
|
|
|
|||
…………………………… |
||||||
|
dPi (E) |
|
= α Pn−1 (E)− α Pi |
(E). |
||
|
dE |
|||||
|
|
|
|
|||
Решая эту систему уравнений при начальных условиях P0(0) = 1 |
||||||
и Рi(0) = 0 при i = 0, получаем |
|
|||||
P0 (E) = exp(−α E),
P (E) = α E exp(−α E),
1
………………………
Pi (E) = (α E)i exp(−α E). i!
69
Если для отказа элемента требуется поглощение п активных квазичастиц или возникновение n элементарных повреждений, то вероятности P0(E), P1(E), …, Pn–1(E) будут характеризовать работоспособные состояния элемента.
Следовательно, вероятность безотказной работы элемента будет определяться следующим уравнением:
P(E) = ∑ Pi |
(E) = exp(−α E)∑ (α E) |
. |
(4.11) |
n−1 |
n−1 |
i |
|
i =0 |
i=0 i! |
|
|
С учетом (4.11) выражение для вероятности отказа будет иметь
вид
q(E) =1 |
− exp(−α E)∑ (α E) |
. |
(4.12) |
|
n−1 |
i |
|
i =0 i!
Модель отказа, задаваемая уравнением (4.12), не содержит
вявном виде структурных параметров элемента (количество и раз-
меры чувствительных микрообъемов). Эти параметры учитываются коэффициентом перехода α, физический смысл которого вытекает,
вчастности, из анализа выражений (4.7) и (4.12). Действительно, из этих выражений следует, что α = ϑ эф = ϑ P, т.е. коэффициент перехода характеризует размер чувствительного микрообъема элемента и эффективность события поглощения активной квазичастицы. Но поскольку эффективность события поглощения активной квазичастицы зависит от ее энергии, которая, в свою очередь, зависит от величины, а вернее, от интенсивности энергетического воздействия, коэффициент перехода должен характеризовать и интенсивность
энергетического воздействия на элемент. Поскольку выражение (4.12) справедливо для случая, когда переходные коэффициенты α
между отдельными состояниями одинаковы, то отсюда можно сделать следующий вывод: если процесс развития отказа сопровождается увеличением размера чувствительного микрообъема, то эффективность события поглощения активной квазичастицы должна уменьшаться.
Выражение (4.11) удобно использовать для определения среднего значения энергии E. Для этого запишем
70