2. Компьютерные модели решения

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Математическая модель наращения

по простому проценту

Задача. Определить сумму, образующуюся на депозитном счете в

банке по прошествии n временных интервалов (на конец n-го интервала)

начисления по простому проценту, при условиях:

1. Однократное вложение средств и фиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0,

процентная ставка в каждом интервале неизменная.

Математическая модель представляет собой выражение вида:

F = P0(1 + n  r)

где F  будущая стоимость исходной суммы P0 по прошествии n

временных интервалов при процентной ставке, равной r (десятичная

дробь), неизменной в каждом интервале.

Используя это выражение, можно находить значение какого-либо

другого неизвестного параметра задачи при условии, что три остальных

параметра известны. Например, срок определяется выражением:

 

P r

n F P







0

0 ,

а процентная ставка выражением:

 

P n

r F P







0

0 .

2. Однократное вложение средств и нефиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0,

процентная ставка в каждом интервале изменяется.

Кредитные соглашения иногда предусматривают изменяющиеся, или

"плавающие", процентные ставки. Пусть имеет место ситуация, при

которой процентная ставка изменяется в каждом интервале. Эту

ситуацию удобно представить в виде следующей таблицы.

Таблица 4

1 2 3 … n

r1 r2 r3 … rn

Формула, определяющая будущую стоимость, задается выражением

вида:

 





 





  



n

i

F P ri

1

0 1 .

3. Многократное вложение средств и фиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0, в конце

каждого i–го интервала сумма  Ai, процентная ставка в каждом

интервале неизменная.

Пусть имеет место следующий поток вкладов (табл. 5), т.е. в начале

первого интервала на счет кладется сумма P0, а в конце каждого

интервала соответственно суммы A1, ..., An. Требуется определить

аккумулированную сумму на конец последнего, n-го, интервала.

Таблица 5

0 1 2 3 … n

P0 A1 A2 A3 … An

Исходя из условия задачи, имеем следующие равенства:

 

   

   

,

,

1 2 ,

1 1 ,

1 ,

2 2

1 1

0 0

Fn An

F A n r

F A n r

F P n r



   

   

  



где F0  будущая стоимость начальной суммы P0, Fk  будущая

стоимость суммы Ak на конец n-го интервала начисления процентов.

Следовательно,

      n

n

i

i A r n A r n P F F            



0 1 1 1 1 

0

.

При условии A1 = A2 = … = An = A формула упрощается и приобретает

вид:    

2

1 1 0

0

F F P n r A n A r n n

n

i

i

   

       



.

Можно также воспользоваться рекуррентным определением функции

F:

    





      



F F  P k A r A

F P

k k 1 0 1

0 0 .

В случае, когда A1  A2  …  An, удобнее также воспользоваться

рекуррентным определением функции F:







  







 





  







 k

k

i

Fk Fk P Ai r A

F P

1

1

1 0

0 0

4. Многократное вложение средств и нефиксированная процентная

ставка  в начале первого интервала на счет кладется сумма P0, в конце

каждого i–го интервале сумма  Ai, процентная ставка в каждом периоде

изменяется.

Пусть имеет место ситуация, характеризующаяся данными,

представленными в табл. 6., т.е. имеет место поток вкладов при

изменяющейся в каждом интервале процентной ставке.

Таблица 6

0 1 2 3 … n

P0 A1 A2 A3 … An

 r1 r2 r3 … rn

Тогда имеют место соотношения:

.

,

1 ,

1 ,

1 ,

3

2 2

2

1 1

1

0 0

n n

n

i

i

n

i

i

n

i

i

F A

F A r

F A r

F P r



 





 





  

 





 





  

 





 





  















Отсюда получаем

n

n

i

i

n

i

i

n

i

i A r A r P F F   







 





  







 





   

  



2

1

1

0

0

1 1 .

Условие A1 = A2 = … = An = A позволяет несколько упростить

формулу. Действительно, имеем

   2

1

0

0

F F P 1 r A n A n 1 rn r

n

i

i

n

i

i         







 





  

 

 .

Непосредственное построение такой формулы в рамках Excel

затрудненно, поэтому удобнее ввести так называемое рекуррентное

определение:

    





      



F F  P A k r A

F P

k k 1 0 1 k

0 0

В общем случае, когда A1  A2  …  An, можно воспользоваться

следующим рекуррентным определением функции F:







  







 





  







F F  P A r A

F P

k

k

i

k k i

1

1

1 0

0 0

.