1.2.6. Граничные условия для векторов напряженности электрического поля и электрического смещения

Можно показать, что линии смещения при переходе через границу диэлектриков не претерпевают разрыва. Поместим в однородное поле две сложенные вместе плоскопараллельные пластины из разных диэлектриков (рис.1.2.7). Сторонних зарядов на границе раздела нет. Возникшие на поверхностях пластин связанные заряды создают внутри каждой пластины перпендикулярное к ее поверхностям поле. В первой пластине напряженность этого поля равна, во второй. В сумме с нормальной составляющей напряженности поля свободных зарядоввектордает нормальную составляющую результирующего поля в пластинах. Векторыиколлинеарны, поэтому нормальные составляющие вектора напряженности в диэлектриках соответственно равны:

(1.2.15)

В направлении касательной к поверхности раздела никакого дополнительного поля не создается, поэтому тангенциальная составляющая вектора при переходе через границу не меняется:

. (1.2.16)

Поверхностная плотность связанных зарядов, как следует из выражения (1.2.6), определяется нормальной составляющей результирующего поля в данной пластине: .

Подставив ив формулу (1.2.15), имеем

(1.2.17)

Из выражений (1.2.16) и (1.2.17) следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая напряженности поля изменяется скачком (терпит разрыв), а тангенциальная составляющая остается без изменений.

Умножим выражения (1.2.16) и (1.2.17) на исоответственно, получаем

(1.2.18)

Из формул (1.2.18) видно, что при переходе через границу раздела диэлектриков тангенциальная составляющая вектора меняется качком, а нормальная составляющая остается без изменений:

(1.2.19)

Это равенство указывает на непрерывность линий смещения. Действительно, количество линий электрического смещения, пронизывающих площадку , равно, следовательно, к площадке, расположенной на границе раздела диэлектриков, приходит из первого диэлектрика количество линий. От этой же площадки уходит во второй диэлектрик количество линий. Так как, то и. Таким образом, линии электрического смещения не заканчиваются и не начинаются на границе раздела, т.е. проходят через нее, не претерпевая разрыва при условии, что на границе раздела нет сторонних зарядов.

Условие (1.2.19) справедливо и для границы диэлектрик-вакуум.

На границе раздела диэлектриков линии вектора терпят излом (преломляются, рис. 1.2.8), и угол между нормалью к поверхности раздела и линией изменяется:получаем закон преломления линий электрического смещения: .При переходе в диэлектрик с меньшей диэлектрической проницаемостью ε угол уменьшается.

1.2.7. Примеры расчета электрических полей в диэлектриках

1. Поле внутри плоской пластины. Пусть поле создано в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность этого поля ; электрическое смещение. Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 1.2.9. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности. Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого. Вне диэлектрика. Напряженность поля. Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика напряженность результирующего поля равна:, вне диэлектрика.

Поляризация диэлектрика обусловлена полем . Оно перпендикулярно к поверхности пластины и, тогда, и, или- то есть диэлектрическая проницаемостьпоказывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Умножив на, имеем- внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на, то есть совпадает с электрическим смещением внешнего поля. Вне пластиныи.

Найдем поверхностную плотность связанных зарядов :,, тогда, и.

2.Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными плотностями зарядови. Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости которыхи, а толщиныисоответственно (рис.1.2.10). Расстояние между пластинами равно, поэтому. Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторыидолжны быть параллельны оси, то есть,. В каждом из слоев диэлектрика поле однородно. Поляризованы эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризованные заряды. Плотности этих зарядовна плоских поверхностях каждого диэлектрика отличаются только знаком.

Напряженность поля связанных зарядов отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика. Вне конденсатора (при и) поля нет,,.

Найдем напряженность поля в пространстве между пластинами . Выберем цилиндрическую гауссову поверхность, показанную на рис.1.2.10 штриховой линией. Образующие цилиндра параллельны оси, а основания параллельны заряженным плоскостям. Площадь каждого основания.

Левое основание находится в области , где, а правое проходит через точку поля с координатой, в которой вычисляется поле. Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку только через правое основание:. Внутри гауссовой поверхностинаходится свободный заряд, размещенный на площадкелевой плоскости и равный. Тогда по теореме Гаусса, отсюда.

В первом слое напряженность поля равна при.

Во втором слое при. График зависимостиприпредставлен на рис. 1.2.11.

3. Поле равномерно заряженной сферы радиуса , окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной диэлектрической проницаемостьюравен, а второй средыравен(рис. 1.2.12).

За пределами второй среды - вакуум. Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиусаравна.

Центрзаряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симметрии поля. Поэтому в любой точке поля векторыинаправлены радиально от центра, если, или к центру, если, то есть;. Выберем в качестве гауссовой поверхностисферу радиусас центром в точкеО. Во всех точках этой поверхности , где- проекция векторана радиус-вектор, проведенный из центрав рассматриваемую точку поля на поверхности. Из симметрии поля следует, что во всех точках поверхностизначенияодинаковы. Поэтому поток смещения через поверхностьравен:

.

С другой стороны, согласно теореме Гаусса, этот поток равен , причем, если. Таким образом,прии, то естьпри.

Для проекции векторана направление радиуса имеем:.Внутри сферы при ; в первой средепри, во второй средепри; за пределами второй средыпри.Таким образом, терпит разрыв дважды: на границе «первая и вторая среда» и «вторая среда - вакуум». Зависимостьпредставлена на рис. 1.2.13.

4.Поле внутри шарового слоя. Окружим заряженную сферу концентрическим шаровым слоем из однородного диэлектрика (рис.1.2.14). На внутренней поверхности слоя появится связанный заряд , распределенный с плотностью, на наружной поверхности заряд, распределенный с плотностью. Знак зарядасовпадает со знаком зарядасферы, знакему противоположен. Внутри сферы при; в первой средепри, во второй средепри; за пределами второй средыпри.

Напряженность поля внутри диэлектрика равна

и противоположна по направлению напряженности . Напряженность результирующего поляубывает по закону. Поэтому, где- напряженность поля в диэлектрике в непосредственной близости к внутренней поверхности слоя, именно эта напряженность определяет величину(в каждой точке поверхности). Тогда

,

и , тогда. Так как поле внутри диэлектрика изменяется по закону, то, тогда, или. Следовательно, поля, создаваемые этими зарядами на расстояниях, взаимно уничтожают друг друга, так что вне шарового слоя,.

Таким образом, однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля свободных зарядов, умноженным на , и напряженность поля внутри диэлектрика враз меньше, чем напряженность поля свободных зарядов.