Решение

1. Статическая часть.

Вычерчиваем расчетную схему системы (рис. 3).

Составляем уравнения равновесия для упругой системы.

(1)

Определяем степень статической неопределимости системы.

S = 4 – 3 =1.

2. Геометрическая часть.

Вычерчиваем схему деформированного состояния системы (рис.4).

Составляем уравнение совместности деформаций

, тогда

.

В соответствии со схемой деформированного состояния системы (рис. 4) учитываем знаки деформаций стержней: 1 стержень укоротился, присваиваем ; 2 стержень укоротился, присваиваем.

Тогда .

Окончательно получаем:

(2)

3. Физическая часть.

На основе закона Гука выражаем перемещения упругих стержней системы в зависимости от действующих в них неизвестных сил и учитываем наличии монтажных или температурных факторов, добавляя соответствующие слагаемые в выражения перемещений стержней.

(3)

4. Обобщающая часть.

Подставляем выражения для деформаций упругих стержней (3) в уравнение перемещений (2)

. (4)

Решая систему уравнений, составленную из уравнения перемещений (4) и уравнения равновесия (1), найдем неизвестные силы, действующие в упругих стержнях.

С учетом численных значений

(5)

Решив систему (5), получаем: N₁ = 16,0 кН; N₂ = – 29,0 кН.

Знаки говорят о деформации стержней: 1 стержень – растянут, 2 стержень – сжат.

Рассчитываем нормальные напряжения в поперечных сечениях и абсолютные деформации стержней. Найдем напряжения:

Силовые деформации стержней (деформации без учета монтажных или температурных факторов) равны:

Полные абсолютные деформации стержней:

Проверка: подставляем полученные значения для ив выражение (2)

Ошибка, связанная с округлением при расчётах, составляет

и ею можно пренебречь.

1.2. Статически определимый брус

Для бруса ступенчато-переменного сечения требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и перемещений.

Схемы приведены на рис.6. Цифровые данные – в табл. 3.

Таблица 3
№	Р1, кН	Р2, кН	Р3, кН	А1, мм2	А2, мм2	А3, мм2	l, м	q1, кН/м	q2, кН/м
1	40	45	37	700	650	590	0,33	150	120
2	43	47	39	740	670	600	0,35	153	123
3	45	49	41	760	690	610	0,37	156	125
4	47	51	43	780	710	620	0,39	159	127
5	49	53	45	800	730	630	0,41	162	129
6	51	55	47	820	750	640	0,43	165	131
7	50	52	45	790	740	660	0,5	164	130
8	48	50	44	770	720	580	0,40	158	128
9	46	48	42	750	700	570	0,38	154	126
10	44	46	40	730	680	560	0,36	155	124
11	42	44	38	840	760	540	0,44	145	132
12	38	42	36	860	780	550	0,45	140	134

Порядок решения задачи

1. Изобразить заданный брус в масштабе с указанием всех действующих на него нагрузок.

2. Составить уравнение равновесия. Из уравнения равновесия найти реакцию опоры .

3. Используя метод сечений, определить продольные силы N.

4. Определить нормальные напряжения , относительные деформации , абсолютные деформации и перемещения. Определить граничные значения и построить эпюры N, , , .

При построении эпюр рекомендуется пользоваться следующими правилами:

• на участках бруса, на которых действует распределенная нагрузка q, эпюры N,  и  изображаются наклонными прямыми линиями, а эпюра перемещений  – параболой; если распределенная нагрузка отсутствует, то эпюры N,  и  – прямые, параллельные оси z, а эпюра – наклонная прямая;

• кривизна эпюры перемещений определяется по знаку второй производной от её выражения, которая зависит от q: если q < 0, то кривая  – выпуклая, а если q > 0, то – вогнутая;

• в сечениях бруса, в которых приложены сосредоточенные силы, на эпюрах N,  и  должны наблюдаться скачки, а на эпюре  – излом;

• в сечениях ступенчатого изменения размеров поперечных сечений на эпюрах  и  должны быть скачки, на эпюре  скачки отсутствуют;

• если эпюры N,  и , пересекают ось, то на эпюре  в точке пересечения с осью должен быть экстремум (максимум, если q < 0 и минимум, если q > 0);

• точку пересечения эпюрыN с осью находят из условия ;

• ординаты эпюры  равны сумме площадей эпюры  по одну сторону от сечения;

• определение экстремумов эпюры  обязательно.

Пример

Дана схема (рис. 7):