2.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
В разделе 2.1. отмечалось, что основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукцииi-й отрасли, равное аij. Оно не зависит от объема производства вj-й отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины аijназываются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:
(2.4)
Таким образом, имеет место определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
С учетом формулы (2.4) систему уравнений баланса (2.2) можно переписать в виде
(2.5)
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат
вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:
то система уравнений (2.5) в матричной форме примет вид
(2.6)
Система уравнений (2.5), или в матричной форме (2.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса
(моделью В. Леонтьева), или моделью "затраты — выпуск". С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:
1) задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi.), можно определить объем конечной продукции каждой отрасли (Yi):
(2.7)
2) задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
(2.8)
3) задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых; в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (2.6), а системой линейных уравнений (2.5).
В формулах (2.7) и (2.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через
тогда систему уравнений в матричной форме (2.8) можно записать в виде
(2.81)
Элементы матрицы В будем обозначать через , тогда из матричного уравнения (2.81) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:
(2.9)
Из соотношений (2.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты , которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат , коэффициенты .
называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств произ-водства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается в следующем разделе.
Дадим определение коэффициента полных затрат (определение 2): коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:
(2.10)
где ,и — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.