- •§ 1. Предел и непрерывность функций
- •§ 2. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •5. Экономический смысл производной.
- •§ 3. Сложная функция и ее производная
- •§ 4. Формулы дифференцирования
- •§ 5. Обратная функция и ее производная
- •§ 6. Неявная функция и ее производная
- •§ 7. Производные высших порядков
- •§ 8. Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции
- •§ 9. Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума
- •§ 10. Достаточные условия существования экстремума
- •1. Первое достаточное условие.
- •2. Второе достаточное условие.
- •§ 11. Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •§ 12. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба .
- •§ 13. Асимптоты кривой.
- •§ 14. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •§ 15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
§ 14. Общая схема исследования функций и построения графиков
С учетом изложенного в настоящей главе можно рекомендовать следующую схему исследования функции в построения ее графика:
1)найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5) найти критические точки первого рода;
6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7) найти критические точки второго рода;
8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9) найти асимптоты графика функции;
10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);
11) построить график функции.
Пример 1. Построить график функции
.
Решение. 1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек х = -2 и х = 2.
Функция нечетна, так как
.
3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна во всей области ее определения. Точки х = -2 и х = 2 являются точками разрыва.
5) Находим
.
Очевидно, что f'(x) = O при x = 0 и x=±2. Крометого, f'(x) не существует при х = ±2. Следовательно, f(x) имеет следующие критические точки первого рода:
.
6) Методом пробных точек определяем знак про_из« водной в каждом из интервалов: ,(рис. 15).
Следовательно, функция f (x) в интервалах -возрастает,а в интервалах - убывает.
В точке функция имеет максимум, а в точке-минимум. Так как при переходе
Рис 15
через критическую точку х3 = 0 производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:
и
7) Находим
Так как f " (х) = 0 при х = 0 и f "(x) не существует при x = ±2, то х2 = -2, х3 = 0 и x4 = 2 являются критическими точками второго рода.
8) Определяем знак второй производной f"(x) в каждом из интервалов ]-; -2[, ]-2; 0[, ]0; 2[ и ]2; +[ (рис. 16).
Рис. 16
Мы видим, что в интервалах ]- ; -2[ и ]0; 2[ график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах]-2; 0[ и ]2; +[— выпуклостью вниз. Вторая производная меняет свой знак в каждой из критических точек второго рода, однако точких=2 не принадлежат области определения функций и поэтому лишь точка х = 0 является точкой перегиба. Имеем f(0) = 0, следовательно, точкой перегиба является начало координат.
9) Так как
и
то х = -2 и x = 2 являются вертикальными асимптотами. Далее, находим:
Следовательно, у = х является наклонной асимптотой
Результаты исследования заносим в таблицу 4.
Таблица 4
По полученным данным строим график функции (рис. 17).
Рис 17