Тема 6. Вирішення систем рівнянь алгебри.
Мета|ціль| роботи: Вивчити методи вирішення систем нелінійних рівнянь алгебри в MATHCAD|, досліджувати чинники|фактори|, що впливають на збіжність ітераційних методів вирішення рівнянь і систем.
6.1. Теоретична частина
Розглянуті в темі 5 засоби|кошти| матричного числення|обчислення| дозволяють ефективно вирішувати|рішати| системи лінійних рівнянь алгебри. Для вирішення систем нелінійних рівнянь потрібний спеціальний математичний апарат, наявний в MATHCAD|, і заснований на методах послідовного наближення (ітераційні методи).
Розглянемо|розглядатимемо|
методику вирішення квадратного рівняння
вида
.
Припустимо, щоx=10
(початкове наближення, позначене як
).
В точці
побудуємо|спорудимо|
дотичну до функції
.
Оскільки тангенс кута|рогу|
нахилу дотичної в деякій точці|точці|
є|з'являється|
значенням похідної в цій точці|точці|,
тобто
,
рівняння дотичної має вигляд|вид|
.
Далі, визначається точка|точка|
перетину|пересічення|
дотичної з|із|
віссю x з|із|
вирішення рівняння
,
звананаступним
наближенням
.
Для отриманого|одержувати|
наближення знову виконуються описані
вище дії, результатом яких буде наближення,
і так далі.
Кожне нове наближення є|з'являється| точнішим рішенням|вирішенням| щодо|відносно| попереднього. Умовою завершення процесу розрахунку є|з'являється| досягнення деякої заданої точності (різниці чергового знайденого значення і дійсного значення). Аналогічним чином вирішується|розв'язується| система двох рівнянь з|із| двома невідомими, де як функція і дотичні виступають|вирушають| деяка поверхня і дотична плосщина|площина| відповідно. Застосовуючи теорію n-мірных| просторів|простір-час| так само можна вирішувати|рішати| системи і з|із| великим числом невідомих.
З|із| малюнка і проведених вище міркувань видно|показний|, що:
Вибір початкового наближення не впливає на точність отримуваного|одержувати| результату.
Для рівнянь, що мають декілька коренів, початкове наближення визначає той корінь, який буде знайдений.
При деяких значеннях початкових наближень можливий коливальний процес, при якому задана точність ніколи не буде досягнута.
Вивід|висновок|: зміна початкового наближення має сенс коли:
а) неможливо отримати|одержувати| рішення|вирішення|;
б) необхідно знайти інше рішення|вирішення| для рівняння з|із| декількома коренями.
6.2. Методичні вказівки і технологія виконання роботи
Для вирішення рівняння (або системи) в MATHCAD| використовується ключове|джерельне| слово Given| і функція Find|. При цьому порядок|лад| рішення|вирішення| наступний|слідуючий|:
Задаються початкові наближення невідомі (оператор привласнення)
Записується|занотовує| ключове|джерельне| слово Given|
Записується|занотовує| рівняння (система рівнянь) з використанням знаку тотожної рівності (‘Ctrl|’ + ‘=’|)
Викликається|спричиняє| функція Find|(x1,x2,x3,x4| і так далі), де x1|, x2|, x3|, і так далі – імена невідомі.
Результатом виклику Find| є вектор, елементи якого містять|утримують| знайдені значення невідомі.
Приклад|зразок|:
вирішіть
систему рівнянь
