dinamika

ДИНАМИКА

Динамика изучает движения тел с рассмотрением причин, которые обуславливают тот или иной характер движения. Такими причинами являются взаимодействия между телами.

1.Законы Ньютона

Воснове динамики макрообъектов движущихся со скоростями υ с лежат три закона, сформулированные Ньютоном в 1687 году. Закона Ньютона получены в результате обобщения большого числа опытных фактов, они не могут быть логически выведены.

а) Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: Существуют такие системы отсчета, в которых материальная точка движется

прямолинейно и равномерно (υ = const ) или находится в состоянии покоя, если

на нее не действуют другие тела или действия всех других тел взаимно компенсируются. Такие системы отсчета называются инерциальными.

Если найдена одна такая система отсчета, то в любой другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно, материальная точка будет сохранять состояние своего движения. Таким образом, если существует одна инерциальная система отсчета, то их существует множество.

Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, является инерциальной. Эта система отсчета называется гелиоцентрической.

Поскольку Земля движется относительно Солнца с некоторым ускорением и, кроме того, вращается относительно собственной оси, то, строго говоря, геоцентрическая система не является инерциальной. Однако во многих практически важных случаях этими небольшими ускорениями можно пренебречь и считать систему, связанную с Землей инерциальной.

б) Второй закон Ньютона Рассмотрим два тела 1 и 2, взаимодействующих между собой и не

взаимодействующих с другими телами. Кстати, такую систему тел, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами, называют замкнутой.

Если мы будем измерять ускорения, которые получают тела в результате взаимодействия, не зависимо от его вида (гравитационного, кулоновского, взаимодействия с помощью сильной или слабой, растянутой или сжатой пружины) отношение модулей ускорений окажется одинаковым (оба ускорения изменяются в один и тот же момент времени).

a1 = const . Если, например a1 a2 , то тело 1 быстрее, нежели чем второе a2

изменяет свою скорость, состояние своего движения, т.е. является менее инертным и наоборот второе тело является более инертным. Для

количественной характеристики инертности тел вводится физическая величина, которая называется массой.

Масса и единица ее измерения кг является основной в системе СИ. Поэтому для измерения массы произвольно выбран эталон массы в виде платино-ирридиевой гири. Массы остальных тел могут быть установлены на основе сравнения ускорения получаемого или в результате взаимодействия с эталоном.

Масса тела во сколько раз превосходит массу эталона, во сколько раз ускорение, получаемое эталоном, больше ускорения, получаемого телом в результате взаимодействия с эталоном.

Отношение ускорений двух взаимодействующих тел остается постоянным, однако абсолютные величины ускорений могут быть большими, а могут быть маленькими в зависимости от того велико или мало взаимодействие тел. Для количественной оценки величины взаимодействия между телами вводится физическая величина, называемая силой. Сила F является вектором, и показывает не только величину действия, но и его направление.

Три величины т, a, F не являются независимыми. Их связь и составляет содержание второго закона Ньютона: материальная точка движется с ускорением прямо пропорциональным действующей на нее силе и одинаково с ней направленным и обратно пропорциональным массе материальной точки

a = F или F = ma

т

Если на материальную точку действует несколько сил F1, F2 ,...FN , то вместо силы F следует подставить их равнодействующую

N

∑Fi

a = i=1 m

Единица измерения силы Ньютон устанавливается на основе второго закона

F = ma

[F ]= Н = кг × м .

с2

Второй закон Ньютона, записанный для некоторого тела в той или иной конкретной ситуации, принято называть уравнением движения этого тела. Это связано с тем, что часто бывает известна зависимость сил, действующих на тело, от его положения и скорости. В этом случае второй закон Ньютона представляет собой дифференциальное уравнение:

Решая это уравнение, оказывается возможным определить закон движения тела: r = r (t ).

в) Третий закон Ньютона уточняет, детализирует характер взаимодействия. Пусть материальная точка 1 действует на вторую с силой F21 , материальная точка 2, в свою очередь, действует на материальную точку 1 с силой F12 .

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действует друг на друга материальные точки, равны по величине и противоположны по направлению:

F21 = −F12

2. Импульс. Закон сохранения импульса

Импульс материальной точки p равен произведению ее массы m на скорость движения υ:

p = mυ.

Это определение остается верным и для твердого тела конечных размеров движущегося поступательно, поскольку при таком движении все точки тела имеют одну и ту же скорость в один и тот же момент времени.

Отметим, что в системе СИ импульс измеряется в кг × м и для этой

с

единицы не вводится специального названия.

Введем понятие импульса в запись второго закона Ньютона:

F = ma = m d υ = d (mυ) = dp , dt d dt

или dp = F . dt

Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе (или равнодействующей сил приложенных к материальной точке). Это утверждение также принято называть вторым законом Ньютона.

Рассмотрим теперь систему материальных точек, состоящую, например, из N некоторых частиц. Занумеруем их. Пусть частицы взаимодействуют между собой, и на них оказывают воздействие внешние, по отношению к данной системе, тела.

Силы, действующие между частицами системы, называются внутренними. Силы, действующие на частицы со стороны внешних тел, называются внешними. Обозначим посредством Fi k силу, с которой частица с

номером k действует на частицу с номером i . Силу, с которой внешние тела действуют на частицу с номером i , обозначим как Fi .

Запишем уравнения движения для всех частиц системы:

С учетом этого импульс системы равен произведению ее массы М на скорость υc центра масс

i =1

Из уравнения (***) следует, что центр масс системы материальных точек движется также, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием на нее всех внешних сил.

Наконец обратимся к телу конечных размеров движущемуся произвольно. Такое тело можно мысленно «разбить» на N малых по размерам участков с массами m i ( i - номер участка). Чем меньше будет каждый из

таких участков (т.е. чем больше их общее число N ) тем с большей степенью точности каждый из таких участков можно считать материальной точкой. Точно же мы можем считать каждый из участков материальной точкой, если устремим их число N к бесконечности.

Таким образом, тело конечных размеров можно представить в виде системы материальных точек, с радиус-вектором центра масс равным

Здесь ri - радиус-вектор участка с номером i . В данном случае мы пришли к сумме бесконечно большого числа бесконечно малых величин, а это есть интегральная сумма или просто интеграл:

Так как тела конечных размеров представимы как системы материальных точек, то для них, и для систем из них состоящих, справедливы уравнения (*), (**), (***) и, очевидно, закон сохранения импульса.

3. Работа, мощность, энергия

Пусть к материальной точке или к некоторой точке тела приложена сила F и точка совершает бесконечно малое перемещение dr . Тогда элементарной работой dA силы F называется скалярное произведение векторов F и dr :

где l - длина пути точки.

Отметим, что в системе СИ работа измеряется в Дж: [ A] = нiм = Дж.

Во многих случаях бывает важно знать, какую работу совершает сила в единицу времени. Эту величину принято называть мощностью силы (или просто мощностью).

Если за время dt силой была совершена работа dA , то по определению мощность равна отношению работы ко времени:

N = dA ; dt

В системе СИ мощность измеряется в Вт:[N ] = Дж = Вт.

с

Поскольку элементарная работа dA = Fid r , то мощность

N = dA = Fidr = Fiυ . dt dt

Введем теперь понятие кинетической энергии материальной точки (твердого тела, движущегося поступательно).

Пусть материальная точка движется под действием силы F . Элементарная работа этой силы равна:

dA = Fidr = maidr = m dυidr = mdυidr = mυid υ . dt dt

Найдем дифференциалы от обеих частей очевидного равенства

υ 2 = υiυ :

2υdυ = d υiυ + υidυ = 2υidυ ,

т.е. υid υ =υdυ и:

где K1 и K2 - соответственно начальное и конечное значения кинетической энергии на рассматриваемом участке пути.

Согласно формулам (*) и (**), работа силы, под действием которой движется тело, равна приращению его кинетической энергии.

Это утверждение принято называть теоремой о кинетической энергии, и оно оказывается верным не только для материальной точки и твердого тела движущегося поступательно, но и в случае произвольного движения тела конечных размеров.

Отметим, что кинетической энергией обладает только движущееся тело (υ ¹ 0), поэтому кинетическую энергию называют энергией движения.

Взаимодействуя с другими телами, движущееся тело может совершать работу по их перемещению. При этом величина, совершенной рассматриваемым телом работы равна убыли его кинетической энергии. Таким образом, можно сказать, что кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить при определенных условиях благодаря движению.

Но тело может совершать работу не только за счет движения, но и благодаря взаимодействию с окружающими его телами. В этом случае принято говорить о потенциальной энергии тела. Более точно можно сказать, что потенциальная энергия тела равна работе, которую оно способно совершить при определенных условиях, благодаря взаимодействию с другими телами.

Взаимодействие между телами характеризуется силами. Работа некоторых сил, приложенных к материальной точке (в дальнейшем нам удобно для простоты говорить о материальных точках, распространяя в возможных случаях результаты на тела конечных размеров) не зависит от того, по какой траектории перемещается материальная точка из начального положения (с радиус-вектором r1 ) в конечное (с радиус-вектором r2 ). Такие силы принято называть потенциальными или консервативными. В частности, к ним относится сила тяжести и сила упругости.

Найдем связь между работой потенциальных сил по перемещению материальной точки и приращением потенциальной энергии, которой обладает материальная точка, благодаря действию этих сил.

Так как работа потенциальных сил определяется лишь начальным и конечным положением точки, то ее можно представить в виде разности значений некоторой функции положения П = П(r ) :

A = П(r1 ) − П(r2 ) .

Можно показать, что функция положения П = П(r ) , введенная

подобным образом, и есть потенциальная энергия материальной точки. Действительно, если покоящаяся в начальном положении материальная

точка, перемещается под действием потенциальных сил в конечное положение, такое что П(r2 ) = 0 - то согласно сказанному выше: A = П(r1 ) . С другой стороны, по теореме о кинетической энергии в конечном положении точка будет обладать кинетической энергией K = A . Следовательно, П(r1 ) = K . Но поскольку кинетическая энергия равна работе, которую способна совершить точка, то и значение П(r1 ) также равно работе, которую способна совершить

точка при определенных условиях.

В силу произвольности выбора начальной точки, последнее утверждение остается верным, для любой точки пространства. Таким образом П(r ) - есть

потенциальная энергия материальной точки.

Следовательно, работа потенциальных сил по перемещению материальной точки из одного положения в другое равна приращению ее потенциальной энергии, взятому с обратным знаком

Эти соотношения остается верным и для тел конечных размеров, т.к. такие тела можно рассматривать, как системы материальных точек.

Найдем соотношение между потенциальной энергией материальной точки и силой, действующей на точку. Элементарная работа силы равна:

dA = Fidr .

Разложим вектора F и dr по базису системы координат

F = i Fx + j Fy + k Fz ; dr = i dx + j dy + k dz .

Тогда

dA = Fx dx + Fy dy + Fz dz .

Функция П(r ) - есть функция трех переменных – трех проекций радиус-

вектора r на оси системы координат:

П = П(r ) = П( x, y, z ) .

Полный дифференциал функции многих переменных равен сумме произведений частных производных функции по ее аргументам на дифференциалы соответствующих аргументов:

Учитывая (****), можно записать:

Откуда следует, что:

координатами равными соответствующим частным производным этой функции. Градиент функции ϕ обозначают gradϕ .

gradϕ = i ∂ϕ + j ∂ϕ + k ∂ϕ .

∂x ∂y ∂z

Отметим, что gradϕ в любой точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции ϕ . Возвращаясь к нашему случаю можно записать что

F = −gradП .

Приведем примеры соотношений между потенциальной энергией и силой:

1. Пусть материальная точка находится вблизи поверхности Земли. Направим ось OZ вертикально вверх (оси OX и OY - параллельны поверхности). Тогда потенциальная энергия материальной точки равна: П = mgz . В случае тела конечных размеров под Z следует понимать координату центра масс тела.

Согласно выше сказанному:

или F = −grad (mgz ) = −kmg = mg .

2.Пусть материальная точка находится на одном конце пружины, другой конец которой закреплен.

Направим ось OX вдоль пружины, совместив начало системы координат с материальной точкой при недеформированной пружине. Если сместить материальную точку вдоль оси OX , то ее потенциальная энергия будет

или в векторном виде:

F= −grad k x2 = −i k x .

2

4.Закон сохранения энергии в механике

Пусть на тело действуют как потенциальные (консервативные), так и не потенциальные (неконсервативные) силы. При перемещении тела результирующая работа указанных сил равна сумме работ этих сил:

A p = A n + A нn .

С другой стороны, по теореме о кинетической энергии, эта работа равна приращению кинетической энергии тела:

A p = A n + A нn = K .

Как мы отмечали ранее, работа потенциальных сил равна убыли потенциальной

энергии тела:

A n = − П ,

с учетом чего:

− П + A нn= К ,

или:

К + П = Анп .

Полная механическая энергия тела складывается из его кинетической и

потенциальной энергии

Е = К + П .

Поэтому приращение полной механической энергии тела равно

Е = К + П .

Следовательно:

Е = Анп .

Если на тело действуют только потенциальные силы, то

Е = 0 и Е = const .

Таким образом, если на тело действуют только потенциальные силы, то его полная механическая энергия сохраняется.

Это утверждение принято называть законом сохранения полной механической энергии тела.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из нескольких тел между которыми действуют только потенциальные силы. Пусть, кроме того, на тела системы извне действуют как потенциальные так и не потенциальные силы. Потенциальная энергия такой системы складывается из энергии