Отражение_и_преломление_электро-магнитных_волн
.pdfЛекция №1. Отражение и преломление электромагнитных волн.
Эта задача сводится к использованию граничных условий для векторов E и H в виде равенства
Eτ1 = Eτ 2 и Hτ1 = Hτ 2 . |
(1) |
Ограничимся случаем плоских волн и введём систему координат XYZ . Ось Z всегда перпендикулярна границе раздела, а оси X и Y лежат в плоскости раздела двух сред.
Тогда граничные условия для линейно поляризованных волн и плоской границе раздела
запишутся в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
E = Ex , |
H = H y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ex1 = Ex2 , H y1 = H y 2 |
|
при z = 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Er |
|
|
H1 |
E1 |
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
S1 |
n1 |
n2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
||||
|
Рис. 1. Вектора Sr, E и H в падающей, отраженной и преломленной волнах. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Sr = |
c |
|
[Er, Hr], Hr = |
ε0ε |
[Sr, Hr], |
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ0µ |
|
|
|
где (E, H ) , |
(E1, H1) , (E2 , H2 ) - вектора падающей, |
отраженной и преломленной волн |
||||||||||
соответственно; |
S , |
S1 |
и S2 - векторы направления падающей, отраженной и прошедшей |
|||||||||
волн; ε1 и ε2 , |
µ1 |
и µ2 |
- диэлектрические и магнитные проницаемости сред. |
|||||||||
U1Ф = |
c , |
U2Ф = |
c |
- фазовые скорости волн в первой и второй среде. |
||||||||
|
ε1 |
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
Сначала |
рассмотрим нормальное падение плоской волны на плоскую границу раздела |
двух сред. |
Определим, как будет меняется угловая скорость ω при отражении и |
преломлении волны.
Тогда обозначим через ω1 , ω2 частоты отраженной и преломленной волны соответственно и предположим, что ω =ω1 ≠ ω2 .
Для амплитуд линейно поляризованных волн в комплексной форме можно записать:
E |
= Re E00 exp[iω(t − z / u1)], |
H = |
ε1 E |
E1 = Re E10 exp[iω1 (t − z / u1 )], |
H1 = |
ε1 E1 |
|
E2 |
= Re E20 exp[iω2 (t − z / u2 )], |
H2 = |
ε2 E2 |
Учитывая взаимную ориентацию векторов S , E и H (правая тройка), перепишем граничные условия (1) (Eτn1 = Eτn 2 ) в виде:
E + E1 = E2 , H − H1 = H2 |
(2) |
Связь между модулями |
|
H = n1E , H1 = n1E1 , H2 = n2 E2 |
( n1 = ε1 , n2 = ε2 ) |
т.к.
µ ∂H |
= − ∂E |
, E = f (x −υt), |
µ ∂H |
= − f = − |
1 ∂E |
= − |
µε |
∂E |
|
|
|
||||||||||
c ∂t |
∂x |
|
|
c ∂t |
|
υ ∂t |
|
c |
∂t |
|
ε ∂E = − ∂H , υ = |
c , µH = |
|
|
|
|
|
|
|||
ε E ← const |
|
|
|
|
||||||
c ∂t |
∂x |
|
εµ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записанные граничные условия должны выполнятся для t |
при z = 0 . |
|||
E |
eiωt + E eiω1t = E |
20 |
eiω2t |
(3) |
00 |
10 |
|
|
|
Из (3) следует, что t это возможно лишь при |
|
|||
ω =ω1 =ω2 |
|
|
(3а) |
Из полученного соотношения следует, что нет никаких физических причин для изменения частоты при отражении или преломлении света на границе двух сред (диэлектриков).
Тогда с учетом (3а) уравнение (3) принимает следующий вид:
|
E |
00 |
+ E |
|
= E |
20 |
, |
H |
00 |
= |
ε |
E |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
− H |
|
|
= |
H |
|
, |
|
H |
|
|
= |
ε |
E , H |
|
= |
ε |
|
E |
|
|
|
||||||||||
|
H |
00 |
10 |
20 |
|
10 |
20 |
2 |
20 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
E + E = E и |
E − E = n2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3б) |
|||||||||||||||||||||||
00 |
|
10 |
|
|
|
|
20 |
|
00 |
|
|
10 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выразив E10 |
и E20 через E00 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
E10 |
= n1 −n2 |
= E00 |
и |
|
E20 |
= |
|
|
|
|
2n1 |
|
E00 |
|
|
|
|
амплитудные соотношения |
(4) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n1 +n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 +n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Возможны два случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) |
|
|
При |
|
|
n1 > n2 |
|
электрическое поле |
|
падающей и отраженной волны совершает |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
знаки E10 иE00 |
|
|
|
|
|
векторов H и H1 |
|
||||||||||||||||||||||
синфазное колебание, т.к. |
|
совпадают, |
а для |
будет |
|||||||||||||||||||||||||||||||
существовать отличие фаз на π (или |
λ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
При n1 < n2 |
|
фазы |
E1 и E отличаются на π , а |
H1 и |
H совершают синфазные |
|||||||||||||||||||||||||||
колебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений (4) вытекает правило: "При отражении света от оптически более плотной среды ( n1 > n2 ) происходит потеря полуволны ( λ2 ) или изменение фазы на π "
Отметим, что |
|
колебания амплитуд E00 |
, |
E20 , как и H00 , |
H20 , а значит и векторов E , |
||||||
E2 , как и H , H2 |
|
всегда синфазные. |
|
|
|
|
|
|
|||
Введём энергетические коэффициенты отражения R(r) |
или пропускания Τ(τ) , как |
||||||||||
отношение средних потоков энергии соответствующих волн: |
|
||||||||||
R = |
c E H |
|
/ |
c EH , Τ = |
c E |
H |
|
/ |
c EH |
(5) |
|
|
4π 1 |
1 |
|
4π |
4π |
2 |
|
2 |
|
4π |
|
Используя уравнение (4) (для нормального падения волны), получим закон сохранения энергии (т.к. поглощение отсутствует) в виде:
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
E10 |
|
n1 |
− n2 |
|
|
||||||||
R = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||
E |
n |
+ n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5а) |
||||||||
|
|
00 |
2 |
1 |
|
2 |
|
||||||||
|
n2 |
|
|
|
|
|
4n1n2 |
|
|
||||||
Τ = |
E20 |
|
= |
|
|
. |
|||||||||
n |
|
E |
|
(n |
+ n |
)2 |
|||||||||
|
|
1 |
|
00 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
и R + Τ =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5б) |
Например: при прохождение видимой части спектра через стекло с n2 =1,5 при n =1
|
−1 |
2 |
|
|
|
4n2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
||
|
≈ 4%, |
а Τ = (n |
+1)2 |
≈ 96% стекло не может служить зеркалом. |
|||
R = n +1 |
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
Рассмотрим наклонное падение электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков:
z nr
γ r
α
0 x
β
y
z′ |
Волна распространяется в направлении z′ со |
|
скоростью u1 ; n - нормаль вдоль z′; x , y , z - текущие |
|
координаты точки на плоскости; cosα, cos β иcosγ - |
|
направляющие косинусы. |
|
|
rr |
|
|
|
|
x cosα + y cos β + z cosγ |
|
|
|
|
rn |
|
|
|
|
|
|
|
E = Re E00 exp iω t − |
|
|
= Re E00 exp iω t − |
|
|
(6) |
|||
u |
u |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Для z = 0 и cos β = 0 нормаль n |
в падающей волне будет лежать в плоскости ZX . |
Пусть нормаль в отраженной и преломленной волне соответственно. Рассмотрим случай, когда E ↑↑Yj - линейно поляризована.
E = Re E00 exp iω t − x cosαu+1 z cosγ ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cosα1 + y cos β1 + z cosγ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
E1 = Re E10 exp iω1 |
t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(6а) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cosα2 + y cos β2 + z cosγ2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
E2 |
= Re E20 exp iω2 t |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Граничные |
условия |
|
|
|
при |
z = 0 для |
тангенциальных |
составляющих |
вектора |
||||||||||||||||
напряженности электрического поля будут иметь следующий вид |
|
||||||||||||||||||||||||
Eτ + Eτ1 |
= Eτ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||
Они должны выполняться в любой момент |
t и для любых координат x и y . |
|
|||||||||||||||||||||||
Из уравнений (6а) и уравнения (7) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x cosα |
|
|
|
|
|
|
x cosα1 |
+ y cos β1 |
|
|
|
|
|
|
x cosα2 + y cos β2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
E |
|
iω t − u |
|
|
e |
iω1 t − |
|
u |
|
|
|
e |
iω2 t |
u |
|
|
(8) |
||||||||
|
e |
1 |
+ E |
|
|
|
|
|
|
1 |
= E |
20τ |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
00τ |
|
|
|
|
10τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (8) справедливо лишь при выполнении следующих условий:
1)ω =ω1 =ω2 .
2)cos β1 = cos β2 = 0 . u1 u2
Из выполнения второго условия мы получили, что в плоскости ZX |
(cos β = 0) лежит не |
||||||
только нормаль nr |
в падающей волне, но и нормали в отраженной и преломленной волнах |
||||||
( nr1 и nr2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
cosα = cosα1 |
= cosα2 . |
|
||||
|
u |
u |
u |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из этого следует, что cosα = cosα1 α = ±α1 или |
α = −α1 |
– |
закон отражения |
электромагнитных волн. В терминах дополнительных углов можно написать
ii′
α−α
z |
Stτ |
cosα |
= |
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cos β |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
γ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
γ |
α2 |
α +γ =π / 2 |
|
|
|
sin γ |
= |
u1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
α |
α |
x |
α2 +γ2 =π / 2 |
|
|
sin γ2 |
u2 |
|
|||||||||||||
α1 |
|
u |
= |
c |
|
, u |
2 |
= |
c |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||
Siτ |
|
Srτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin γ |
|
|
u1 |
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= n - Закон Снеллиуса. |
||||||||||
|
|
|
|
sin γ |
2 |
|
|
u |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
ωi =ωr =ωt - |
т.е. |
частота |
колебаний, |
|
|
вынуждаемых |
электрическим вектором Ei |
световой волны совпадают с частотами вынуждающей силы (ωi ). k i S iτ = k r S r τ = k t S tτ
Это означает, что законы отражения и преломления Снеллиуса являются следствием граничных условий для уравнений Максвелла.
Формулы Френеля.
Для каждого момента времени модуль вектора напряженности можно представить в виде:
r
E = E||2 + E2 , где E и E|| - проекции на границу раздела сред. Их удобно выбрать таким образом, чтобы E|| лежала в плоскости падения, а E колебалась в плоскости перпендикулярной плоскости падения.
Рассмотрим отдельно два случая:
1.Вектор E лежит в плоскости падения электромагнитной волны.
Выберем систему координат так, чтобы плоскость XOY совпала с плоскостью раздела,
r |
Ei|| |
|
Srτ |
а плоскость ZOX |
с плоскостью падения, причем |
ось |
Si |
|
Hτ |
Er|| |
OZ направим из среды с показателем преломления |
n1 в |
|
|
Hi |
ϕ ϕ′ |
среду с n2 . |
|
|
|
|
ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
ε2 |
0 |
Et || |
Углы между Si |
и St с осью Z обозначим через ϕ и ψ |
|
|
|
ψ |
(падения и преломления), а угол между OZ и Sr через |
|||
|
|
H t |
r |
|||
|
|
π −ϕ′ (ϕ′ - угол отражения) |
|
|||
|
|
z |
St |
|
Рис. 3а |
(j = i, r,t) |
E j = Ei|| + Ei |
Так как Erj|| ZOX , то граничные условия будут иметь следующий вид:
E |
cosϕ + E |
r|| |
cosϕ |
= E |
cosψ, |
|||
|
i|| |
|
|
|
|
t|| |
(9) |
|
|
|
|
−n E |
|
= n E |
. |
||
n E |
r|| |
|
||||||
|
1 |
i|| |
1 |
|
2 t|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Six = sinϕ |
||
|
||
|
ϕ |
|
Srx = sinϕ′ |
||
|
Si |
|
Stx = sinψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ki Siτ |
= kr Srτ = kt Stτ |
ω |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
sinϕ |
|
sinϕ′ |
|
sinψ |
|
|
|
k jc |
|
c |
|||||
= |
= |
, |
nj |
= |
= |
|
|||||||||
u |
|
u |
u |
|
|
ω |
u |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
j |
|
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ =ϕ′ |
− законотражения, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sinϕ = u1 |
= 1 = |
|
ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− законпреломления |
||||||||||||||
sinψ |
|
u2 |
n |
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введя амплитудные коэффициенты отражения и преломления r|| и t|| и решая систему
уравнений (9), получим следующие выражения:
r |
= |
|
Er|| |
= |
sin 2ϕ −sin 2ψ |
= |
tg(ϕ −ψ) |
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|| |
|
|
Ei|| |
|
sin 2ϕ +sin 2ψ |
|
tg(ϕ +ψ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
= |
|
Et|| |
= |
2sinψ sinϕ |
|
|
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|| |
|
|
Ei|| |
|
sin(ϕ +ψ) cos(ϕ −ψ) |
|
||||
|
|
|
|
|
2.Вектор E перпендикулярен плоскости падения электромагнитной волны.
r |
|
Hi |
|
Hτ |
r |
В |
этом |
случае граничные условия будут иметь |
|||
|
|
Sτ |
|||||||||
Si |
|
|
|
|
|
|
следующий вид: |
|
|||
Ei |
|
|
|
ϕ ϕ′ |
E r |
|
|
||||
ε1 |
|
|
|
Ei + Er |
= Et , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
(12) |
||||
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|
(Ei − Er ) cosϕ = n2 Et cosψ. |
|||
|
|
|
|
0 |
H t |
|
n1 |
|
|||
|
|
|
|
|
ψ |
|
Тогда для амплитудных коэффициентов отражения и |
||||
|
|
|
|
|
Et |
|
|
||||
|
|
|
|
|
r |
|
преломления получим следующие формулы: |
|
|||
|
|
|
|
|
z |
St |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 3б |
|
|
|
|
|
|
r = |
Er |
= −sin(ϕ −ψ) |
|
|
|
|
(13) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
E |
|
|
sin(ϕ +ψ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
|
Et |
= |
2sinψ cosϕ |
|
|
|
|
|
||
|
E |
sin(ϕ +ψ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (10), (11), (13) и (14) называются формулами Френеля. Установим с помощью этих формул соотношения между фазами i, r иt волн.
Из уравнений (11) и (14) следует, что при любом значении углов ϕ и ψ знаки Et|| , Ei|| и
знаки Ert|| , Eri|| совпадают между собой, т.е. преломленная волна во всех случаях
оставляет без изменения фазу падающей волны.
Из уравнений (10) и (13) следует, что для отраженных и падающих волн существует зависимость фазы колебаний от угла падения и относительного коэффициента
преломления n = |
n1 |
|
: |
|
|
||
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
а) ϕ >ψ , т.е. n2 > n1 или n >1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Er и Ei |
|
|
|
π |
|
|
||
при |
ϕ +ψ < |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Er|| и Ei|| |
|||
|
|
|
|
|
|
|
↑↓ противоположныпофазеипознаку
↑↓ пофазе(знаку)
|
|
|
|
|
|
|
↑↓ пофазе(знаку) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π |
|
Er и Ei |
|||
при |
ϕ +ψ > |
|
|
|
и E |
↑↑ пофазе(знаку) |
|
2 |
|
E |
r|| |
||||
|
|
|
|
i|| |
|
||
б) ϕ <ψ , т.е. n2 > n1 |
или n <1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
↑↑ пофазе(знаку) |
|
|
|
|
|
|
||
|
ϕ +ψ < π |
|
Er и Ei |
||||
при |
|
|
|
и E |
↑↑ пофазе(знаку) |
||
|
2 |
|
E |
|
|||
|
|
|
|
r|| |
i|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑↑ пофазе(знаку) |
|
|
π |
|
|
|
||
при |
ϕ +ψ < |
|
Er и Ei |
||||
2 |
|
|
|
и E |
↑↓ пофазе(знаку) |
||
|
|
|
E |
|
|||
|
|
|
|
|
r|| |
i|| |
|
|
|
|
|
|
|
E0r |
2 |
|
n2 |
|
E0t |
2 |
|
||
|
|
и Τ = |
|
|
от угла ϕ . |
|||||
|
|
|||||||||
Найдем зависимость коэффициентов R = |
E |
|
|
n |
|
E |
||||
|
|
oi |
|
1 |
|
oi |
|
Стоит отметить, что Er|| и Er зависят от ϕ по-разному.
При ϕ +ψ → π2 , tg(ϕ +ψ) → ∞ и R// → 0 , а R ≠ 0 , т.к sin(ϕ +ψ) →1.
Следовательно, при некотором угле падения отразится только электромагнитная волна вполне определенной поляризации. При ϕ +ψ = π2 (E)|| волны не отразится вообще.
Вектор E в отраженной волне будет колебаться перпендикулярно плоскости падения, или говорят, что отраженный свет поляризован в плоскости падения.
Следовательно, плоскость поляризации света соответствует плоскости,
перпендикулярной направлению колебаний вектора E .
Впервые этот факт экспериментально наблюдал Малю.
Если |
ϕ +ψ = π , то |
sinψ = cosϕ n2 |
= sinϕ1 |
= sinϕ1 = tgϕ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
n1 |
sinψ |
cosϕ1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tgϕб |
= n |
- Закон Брюстера, а угол ϕб называется углом Брюстера. |
|
|
|||||||||||||
Можно наблюдать линейную поляризацию волны, т.е. зависимость ϕ от n . |
|
||||||||||||||||
Для видимой области спектра и стекла с n =1,5 , ϕб = 57°. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sri |
ϕ |
|
|
Sr r |
|
|
r |
Sr r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
n2 > n1 |
|
|
S i |
n2 < n1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
90 ° |
|
|
|
n2 |
Srt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
St |
|
|
|
|
|
|
|
(E |
) |
|
|
(Er )|| = 0 |
|
|
Если связать наличие отраженной волны с вынужденными |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ri |
|
|| |
|
|
|
колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, |
|||||||||||
(Si )|| ϕб |
ϕб |
(Sr |
) = 0 |
|
|||||||||||||
|
перпендикулярном |
нормали |
к преломленной волне, |
не |
|||||||||||||
n1 |
|
|
|
|
|
r |
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90° |
|
|
должна распространяться энергия, т.к. электрон не излучает |
||||||||||
n2 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(Et )|| |
|
в |
направлении, |
вдоль которого осуществляются |
его |
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
колебания. Это относится лишь к колебаниям электронов в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(St )|| |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
падения |
волны, |
происходящим |
в результате |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
действия |
на |
них |
(Et )|| . |
А |
(Et ) будет |
раскачивать |
электроны в |
направлении, |
перпендикулярном плоскости падения, и такое излучение будет распространяться без помех.
При ϕ =ϕ1 = 0 угол ψ также будет равен нулю. |
|||||||
|
E0i − E0r |
= |
n1 |
|
cosψ |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
E |
+ E |
|
n cosϕ |
|||
|
0i |
0r |
2 |
1 |
|
||
Из |
этой |
формулы следует, что при нормальном падении волны (ϕ1 = 0 и ψ = 0 ) |
|
|
|
|
E0r |
2 |
|
− n2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
||
|
|
|
|
|
+ n |
||||
никакого изменения поляризации не происходит, т.к. R = |
E |
= n |
. |
||||||
|
|
|
|
oi |
1 |
2 |
|
||
А при скользящем падении (ϕ → |
π ) R |
и R стремятся к единице. |
|
|
|||||
|
2 |
|
// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это явление можно наблюдать, если смотреть на гладкую поверхность реки ясной ночью. Противоположный берег и звёзды будут ярко отражаться, в то время как, если смотреть на воду в направлении перпендикулярном поверхности, будет видна лишь глубина или дно, а не отражение. Этим же объсняется
Полное отражение света происходит, когда r||2 = r2 =1.
Для характеристики меры и степени поляризации обычно вводят функцию ∆ частичной поляризации:
∆= I − I|| 100%
I + I||
Итак, подведём итог:
(E |
) |
|| |
= tg(ϕr −ϕt ) (E |
) |
|| |
= tg(ϕ −ψ ) |
||||||
0r |
|
|
tg(ϕr +ϕt ) |
0i |
|
tg(ϕ |
+ψ ) |
|||||
|
|
|
|
|
ϕ |
|||||||
(E0t )|| |
= |
2sinψ cos |
|
(E0i )|| |
|
|||||||
sin(ϕ +ψ ) cos(ϕ −ψ ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ψ) = |
π |
|
R |
|||
При tg(ϕ +ψ) → ∞ (ϕ |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
// |
(E ) |
|
(E0r ) = − sin(ϕ −ψ ) |
|||
|
|||||
0i |
|| |
|
|
|
sin(ϕ +ψ ) |
|
|
|
|
||
|
|
(E |
) |
|
= 2sinψ cosϕ |
|
|
0t |
|
|
sin(ϕ +ψ ) |
|
|
|
|
|
|
будет равно нулю, а R ≠ |
(E0i )
(E0i )
0 , tgϕ = tgϕбр = n2 . n1
Характер между падающей и отраженной волной следующий: n1 > n2 (ϕ <ψ ) .
Для волн, у которых Er|| ≠ 0 , а E = 0 следует, что (Er )|| |
и (Ei )|| будут синфазными, если |
|||
ϕ <ϕбр и будут находиться в противофазе, если ϕ >ϕбр . |
|
|||
Для волн, у которых Er|| = 0 , |
а E ≠ 0 следует, что (Er ) и (Eri ) |
будут совпадать по |
||
фазе при ϕ ≠ϕбр . |
|
|
|
|
При этом сложно добиться больших значений углов, |
так как при |
n2 <1 (к примеру, |
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
стекло-воздух: ϕбр < 45°) |
sinϕ |
= n2 = n <1, откуда |
следует, что возможно такое |
|
|
sinψ |
n1 |
|
|
значение угла, при котором sinψ >1, чего не может быть. Следовательно, должно выполняться условие sinψ > n , что возможно, когда n <1, т.е. когда свет идет из более преломляющей среды в среду с меньшим показателем преломления.
Угол ϕ такой, что sinϕ = n называется критическим (предельным). При этом sinψ =1.
При выполнении условий, что преломленной волны не будет, и весь свет отразится в первую среду, угол ϕ называется углом полного внутреннего отражения.
sinψ → sinnϕ
cosψ → ± |
1 |
− |
sin2 |
ϕ |
, |
sinϕ |
>1 |
sin2 |
ϕ |
>1, т.е. cosψ |
= ±i |
sin2 |
ϕ |
−1 |
|
n2 |
|
n |
|
n2 |
|
n2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значение |
cosψ = +i |
|
sin2 |
ϕ |
−1 отпадает, т.к. при |
удалении |
амплитуда бесконечно |
||||||||
|
n2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастает, что физически невозможно.
Комплексное выражение для амплитуд r и t |
означает, что амплитуды отличаются еще |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и по фазе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Er|| |
= |
sinϕcosϕ −sinψ cosψ |
, |
|
|
E |
r |
= − |
sinϕcosψ −sinψ cosϕ |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
sinϕcosϕ +sinψ cosψ |
|
|
|
|
|
sinϕcosψ +sinψ cosϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим два возможных случая: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) |
|
E |
r |
|
2 |
= |
|
E |
|
2 |
и |
|
E |
r|| |
|
2 = |
|
E |
|
2 , |
|
E |
r |
|
|
2 + |
|
|
E |
|
|
2 = |
|
E |
r|| |
|
2 + |
|
E |
i|| |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
следовательно, в этом случае интенсивности отраженного и падающего света |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
равны, т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(ψ |
= |
π |
) |
Er|| |
= |
|
sinϕcosϕ |
=1, |
|
E |
r |
= − |
−cosϕ |
=1, |
|
|
|
|
n1 |
= 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
E |
|
sinϕcosϕ |
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. падающая волна отражается всегда.
S
б) Компоненты Er и Er|| испытывают изменение фазы по отношению к Ei и Ei|| .
Обозначим через δ и δ|| |
перпендикулярную и параллельную составляющую |
|||||||
разницы фаз соответственно. Но отличается от δ|| , поэтому |
||||||||
tg |
1 |
(δ |
|| |
−δ |
|
) = |
cosϕ sin2 ϕ − n2 |
|
2 |
sin2 ϕ |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Следовательно, если sin ϕ = n , |
|
то |
|
tg |
1 |
(δ|| −δ ) = 0 , т.е. сдвиг фаз равен нулю, и |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
плоскополяризованный свет остается плоскополяризованным, не переходя в эллиптическиполяризованный.
Эллиптическая поляризация возникает (sinϕ = n) при δ|| −δ = 45°.
Двукратное полное внутреннее отражение под углом 45° в стекле дает изменение фазы
на |
π |
, т.е. аналогично действию пластинки толщиной λ . |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
||||||||
2 |
ϕ ϕ |
π |
Если Ei|| = Ei , то |
|
Er |
|
= |
|
Er|| |
|
, и, т.к. δ|| −δ = |
π |
, то свет |
|
|
|
|
|
|||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ϕ |
ϕ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ϕ |
ϕ = 54°37′ |
|
получается поляризованным по кругу. |
|
|
||||||||
n =1, |
|
|
|
Параллелепипед
Френеля