- •Оглавление
- •1. Модели и системы 9
- •2. Технология моделирования 20
- •3. Непрерывные детерминированные модели 36
- •4. Модели массового обслуживания 66
- •5. Дискретные модели 98
- •Предисловие
- •Модели и системы
- •Физические и математические модели
- •Моделирование: системный подход
- •Общая модель функционирования
- •Технология моделирования Построение моделей
- •Содержательное описание системы
- •Концептуальное моделирование
- •Построение математических моделей
- •Истинность моделей
- •Непрерывные детерминированные модели Непрерывные модели динамических систем
- •Задачи анализа непрерывных систем
- •Основные определения
- •Построение фазовых портретов
- •Устойчивость точек равновесия
- •Линейные системы
- •Стационарное решение
- •Общее решение
- •Двумерные канонические системы
- •Простые канонические системы
- •Фазовые портреты простых канонических систем
- •Фазовый портрет простой линейной системы
- •Качественная эквивалентность
- •Непростые канонические системы
- •Нелинейные системы Глобальные и локальные фазовые портреты
- •Линеаризация нелинейных систем
- •Предельные циклы
- •Модели массового обслуживания Основные понятия. Терминология
- •Потоки событий
- •Пуассоновский поток событий
- •Распределение событий на малом интервале времени
- •Распределение событий в пуассоновском потоке
- •Распределение интервалов между событиями
- •Законы обслуживания
- •Марковские смо
- •Марковские цепи
- •Матрица перехода для пуассоновского потока заявок
- •Одноканальная смо с ожиданием
- •Многоканальная смо с ожиданием
- •Смо с отказами
- •Многоканальные смо с взаимопомощью
- •Замкнутые системы
- •Дискретные модели Конечные автоматы
- •Вероятностные автоматы
- •Сети Петри
- •Ординарные сети Петри
- •Библиографический список
Устойчивость точек равновесия
Как мы уже видели из примера, различные по своему типу стационарные точки характеризуются различным расположением фазовых траекторий в достаточно малой окрестности этих точек. Вместе с тем существует еще одна характеристика - устойчивость точки равновесия, которая позволяет получить дополнительную информацию о поведении фазовых траекторий в окрестности неподвижных точек.
Состояние равновесия физической системы соответствует стационарной точке на фазовой плоскости. Малые возмущения неустойчивой точки равновесия приводят к большим отклонениям от этой точки; в случае же устойчивой точки равновесия малые возмущения приводят к малым отклонениям. Отправляясь от таких наглядных интуитивных соображений, рассмотрим неподвижную точку системы . Можно показать, что локальный фазовый портрет в окрестностях произвольной неподвижной точки принадлежит одному из трех типов:асимптотически устойчивому, нейтрально устойчивому или неустойчивому.
Будем говорить, что особая точка устойчива,если для любой ее окрестностиN радиусомсуществует окрестность n меньшего радиуса () такая, что любая фазовая траектория, выходящая в начальный момент временииз точки, лежащей в окрестности n, при всех, не выйдет за пределы окрестностиN. Не придерживаясь строгой формулировки, можно сказать, что точка покоя является устойчивой, если все фазовые траектории, которые в начальный момент времени находятся вблизи особой точки, с течением времени также остаются вблизи этой точки.
Далее, особая точка называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и если существует окрестностьNэтой точки такая, что каждая траектория, которая в момент временинаходится в этой окрестности, пристремится к точке покоя.
Наконец, если особая точка не является устойчивой, то ее называют неустойчивой.
Пример асимптотически устойчивой и неустойчивой стационарных точек дает рис.3.4,a, где показано поведение фазовых траекторий в случае колебаний маятника в среде с трением, стационарные точки имеющие координаты (2m,0),гдеm=0,1,2...,являются асимптотически устойчивыми, а стационарные точки с координатами(n,0),гдеn=0,1,2...,- неустойчивыми.
Неподвижная точка x*системы, которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называетсянейтрально устойчивой.
Из рассмотренных примеров, таким свойством обладают стационарные точки (2m,0), где m=0,1,2,.., консервативной механической системы, фазовый портрет которой приведен на рис.3.3.
Введенное понятие устойчивости точки равновесия является понятием чисто качественным, так как ни о каких свойствах, касающихся характера поведения фазовых траекторий, здесь не говорится. Что же касается понятия асимптотической устойчивости, то по сравнению с понятием простой устойчивости здесь дополнительно требуется, чтобы любая фазовая траектория с течением времени стремилась к точке покоя. Однако и в этом случае никаких условий на характер приближения к этой точке также не накладывается.