- •Московский государственный строительныйуниверситет
- •§ 2. Определители второго и третьего порядков.
- •§ 3. Определители n-ого порядка.
- •§4. Свойства определителей.
- •§5. Алгебра матриц.
- •Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число.
- •Свойства умножения матриц.
- •§6. Обратная матрица.
- •§ 7. Ранг матрицы.
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •§ 3. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
- •§ 4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •§ 5. Метод Гаусса.
- •§ 6. Теорема Кронекера – Капелли.
- •§ 7. Однородные системы линейных уравнений.
- •Примеры.
- •Глава 3. Примеры. Задание 1.
- •Задание 2.
- •Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
- •Задание 3.
- •Ответ: , , .
- •Ответ: , , .
- •Задание 4.
- •Оглавление.
Московский государственный строительныйуниверситет
_
Кафедра высшей математики
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И
ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Москва 2007
С о с т а в и т е л и:
доцент, кандидат физико-математических наук Е.Е.Ассеева,
доцент Т.А.Мацеевич,
доцент, кандидат физико-математических наук И.Б.Раскина,
ассистент А.Н.Федосова .
ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ.
§ 1. Основные понятия.
Определение 1.Матрицейразмерности(читаетсяна) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая изстрок истолбцов:
.
Числа называютсяэлементами матрицы, индексуказывает номер строки, индекс- номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так, например, элементстоит на пересечении четвертой строки и пятого столбца.
Для обозначения матрицы используются следующие символы:
,,,,,
Определение 2. Матрицаназываетсяквадратной матрицей - ого порядка, если(число строк равно числу столбцов):
.
Элементы , где, называютсядиагональными элементами матрицы.
Определение 3. Квадратная матрицаназываетсядиагональной,если(все элементы матрицы, за исключением, быть может, диагональных, равны нулю):
.
Определение 4. Диагональная матрицаназываетсяединичной, если все ее диагональные элементы равны единице (). Единичная матрица обычно обозначается буквой:
.
Для обозначения единичной матрицы используют также символ Кронекера:
символ Кронекера.
Определение 5. Матрица называетсянулевой, если все ее элементы равны нулю:
.
Матрицей – столбцомназывается матрица, состоящая из одного столбца (размерность):
.
Матрицей – строкойназывается матрица, состоящая из одной строки (размерность):
.
Определение 6. Две матрицыиназываютсяравными, если
1) размерности матриц совпадают;
2) соответствующие элементы матриц равны:
Пусть задана матрица размерности. Заменим 1-ую строку на 1-ый столбец, 2-ую строку на 2-ой столбец и т.д.,-ую строку на-ый столбец. Такая операция называетсятранспонированием матрицы.
Определение 7. Матрица, полученная в результате транспонирования, называетсятранспонированнойпо отношению к матрицеи обозначается символом.
Пример. Транспонировать матрицу
,
.
§ 2. Определители второго и третьего порядков.
Рассмотрим матрицу 2-го порядка:
.
Этой матрице соответствует число, которое называется определителем(детерминантом) матрицы.
Для обозначения определителя используют символы:
,.
Определение 1. Определителем 2-го порядкаматрицыназывается число:
. (1)
Например,
.
Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть
.
Определение 2. Минором элементаматрицыназывается определитель, который получается из матрицывычеркиванием-ой строки и-ого столбца. Минор элементаобозначается символом.
Например, для элемента матрицыминором служит определитель
.
Определение 3. Алгебраическим дополнениемэлементаматрицыназывается его минор, умноженный на:
. (2)
В качестве примеравычислим алгебраическое дополнение элементаматрицы
.
В нашем случае , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим
,.
Определение 4. Определителем 3-го порядка матрицыназывается число
. (3)
Поясним это определение на примере:
, тогда
Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:
Например,
.