11

Московский государственный строительныйуниверситет

_

Кафедра высшей математики

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И

ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Москва 2007

С о с т а в и т е л и:

доцент, кандидат физико-математических наукВ.Н.Борзунов

Примеры решения задач по теории пределов

§1. Основные определения

Определение 1.Число A называется пределом последовательности , если для любогоможно вычислить число(зависящее отε) такое, что для всех натуральных выполняется.

В этом случае пишут илии говорят, что последовательностьсходится к числуA.

Пример.1.Используя определение предела последовательности, доказать, что.

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число, что для всех натуральныхбудет выполняться неравенство, то это значит, что. Рассмотрим. Умножаем левую и правую часть неравенства наnи на, учитываем, чтоn>0 и, знак неравенства не изменится. Получаем, что. Таким образом, за числоможно принять числоили любое другое число, большее, чем. При всех натуральных, выполняется, следовательно. 

Пример.2.Используя определение предела последовательности, доказать, что.

◄ Возьмем произвольное число . Рассмотрим. Умножаем левую и правую часть неравенства наnи на, учитываем, чтоn>0 и, знак неравенства не изменится. Получаем, что. Таким образом,При всех натуральных, выполняется, следовательно. 

Пример.3.Используя определение предела последовательности, доказать, что.

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число, что для всех натуральныхбудет выполняться неравенство, то это значит, что. Рассмотрим. Умножаем левую и правую часть неравенства наnи на, учитываем, чтоn>0 и, знак неравенства не изменится. Получаем, что. Таким образом, за числоможно принять числоили любое другое число, большее, чем. При всех натуральных, выполняется, следовательно. 

Определение 2.Число A называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого можно вычислить число(зависящее отε) такое, что для всех x, для которых , выполняется.

В этом случае пишут илиf(x)→Aприx→aи говорят, что предел функцииf(x) в точкеaсуществует и равен числуA.

Пример.4.Используя определение предела функции, доказать, что.

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено числоδ(ε)>0 такое, что для всехx, удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство, то это значит, что. Рассмотрим. Таким образом, за числоδможно принять числоили любое другое положительное число, меньшее, чем. При всехx, для которых справедливо, выполняется, следовательно. 

Определение 3.Число A называется пределом функции f(x) в точке a слева, если для любого можно вычислить число(зависящее отε) такое, что для всех x, для которых , выполняется.

В этом случае пишут илиf(x)→Aприx→a–oи говорят, что предел функцииf(x) в точкеaслева существует и равен числуA.

Определение 4.Число A называется пределом функции f(x) в точке a справа, если для любого можно вычислить число(зависящее отε) такое, что для всех x, для которых , выполняется.

В этом случае пишут илиf(x)→Aприx→a+oи говорят, что предел функцииf(x) в точкеaсправа существует и равен числуA.

Определение 5.Число A называется пределом функции f(x) при x→–∞, если для любого можно вычислить числоx_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x<x_o, выполняется .

В этом случае пишут илиf(x)→Aприx→–∞ и говорят, что предел функцииf(x) приx→–∞ существует и равен числуA.

Определение 6.Число A называется пределом функции f(x) при x→+∞, если для любого можно вычислить числоx_o=x_o(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x>x_o, выполняется .

В этом случае пишут илиf(x)→Aприx→+∞ и говорят, что предел функцииf(x) приx→+∞ существует и равен числуA.

Пример.5.Используя определение предела функции, доказать, что.

◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено числоx_o(ε) такое, что для всехx>x_o, будет справедливо неравенство, то это значит, чтоРассмотрим . Неравенство имеет два решения:или. Поскольку вычисляется пределf(x) приx→+∞, то выбираем первое решениеx_o=. При всехx>x_o, выполняется, следовательно. Второе решениесоответствует значениямx→–∞, пределf(x) приx→–∞ также равен,.