книги из ГПНТБ / Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие
.pdf- 40 |
- |
2. Умножение начинается |
со старших разрядов множителя |
/множитель сдвигается влево/. После каждого такта суммиро вания множимое сдвигается вправо. Сумма частичных произве
дений неподвижна. |
|
|
|
||
|
Примеры. |
|
|
|
|
1. Используя |
первый метод умножения, умножить два числа, |
||||
представленные |
в естественной форме: |
||||
множимое - |
[х] |
пр |
- |
0,1100; |
|
множитель- |
[У] |
пр |
= |
1,1101. |
|
а/ |
Определение |
знака |
произведения: |
||
|
|
0 + 1 |
= |
1 . |
|
б/ |
Умножение абсолютных значений чисел: |
Значение цифр мно-
1
0
1
1
+
+
+
+
000000000 |
- |
сумма частичных произведе |
|
01100 |
|
ний до умножения. |
|
|
1-е частичное |
произведение. |
|
-ОТ1000000 |
|
|
|
001100000 |
- |
сдвиг. |
|
000U0 |
- |
2-е частичное |
произведение. |
001100000 |
- |
сдвиг. |
|
000110000 |
|
||
01100 |
- 3-е частичное |
произведе |
|
011110000 |
|
ние . |
|
001111000 |
- |
сдвиг. |
|
01100 |
- 4-е частичное |
произведе |
|
100111000 |
|
ние . |
|
010011100 |
- |
сдвиг. |
|
Полученному результату присваивается полученный ранее
знак произведения: |
|
|
[X |
• УЗ |
пр= 1,10011100 . |
При умножении |
ITI - |
разрядных двоичных чисел произве |
дение может иметь 2 - т . раврядов. Поэтому после умножения произведение округляется до ГП цифровых разрядов. Правило округления следующее: если цифра /ГП + 1/-го разряда рав на 0, то младшие разряды, начиная с /ГП + 1/-го теряются,
-41 -
апервые W. разрядов остаются без изменения; если цифра
/ГП+ 1 / -го |
разряда |
1, |
то к первым ГП разрядам добавляет |
ся единица |
младшего |
/ |
ГП -ного разряда/, а остальные раз |
ряды теряются.
В рассматриваемом примере после округления получим
|
|
[X |
- У ] |
пр = |
|
1,1010. |
2. |
Используя |
второй метод умножения, умножить два |
||||
числа, представленные в естественной форме: |
||||||
|
множимое - |
[ X ] пр = |
1,0011; |
|||
|
множитель- |
[У] пр * |
1,1101 . |
|||
|
а/ |
Определение |
знака |
|
произведения: |
|
|
|
|
1 + 1 * 0 . |
|||
|
б/ |
Умножение абсолютных значений чисел: |
||||
Значения |
|
|
|
|
|
|
цифр мно |
|
000000000 |
- сумма частичных произве |
|||
жителя |
|
|
||||
1 |
сдвиг |
000011000 |
|
дений до умножения. |
||
|
1-е частичное произведе |
|||||
|
|
|
+000011000 |
|
ние . |
|
1 |
сдвиг |
000001100 |
|
2-е частичное произведе |
||
|
|
|
+000100100 |
ние. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
сдвиг |
000000000 |
3- е частичное произведе |
||
|
|
|
+000100100 |
ние . |
||
|
1 |
сдвиг |
4 - е частичное произведе |
|||
|
000000011 |
|||||
|
|
|
0001 о о ш |
ние . |
||
|
|
|
|
[X • У] пр = 0,00100111. После округления получим
[х • у] пр - 0,0010 .
Д е л е н и е
Операция деления является наиболее сложной из всех операций, выполняемых ЭЦВМ. Способы проведения операции деления в машинах могут отличаться как составом элементар ных операций, так и последовательностью их выполнения.
- 42 - Деление чисел в машинах с фиксированной запятой и деление
мантисс в машинах с плавающей аапятой производится одинако во. Абсолютное значение частного получается в результате деления абсолютного значения делимого на абсолютное зна
чение |
делителя представленных в |
прямом коде. Знак |
част |
|
ного |
получается аналогично |
знаку |
произведения. В машинах |
|
с плавающей запятой порядок |
частного определяется |
путем |
вычитания порядка делителя из порядка делимого. При нару шении нормализации мантиссы частного производится нормали зация ее и соответственно изменяется порядок частного. В машинах с фиксированной запятой делимое всегда должно быть меньше делителя, в противном случае произойдет переполне ние разрядной сетки.
Б современных ЭЦВМ наиболее распространенным является метод деления без восстановления остатка. Сущность этого метода заключается в том, что из делимого /или остатка/ производится последовательное вычитание /или прибавление к остатку/ делителя, сдвигаемого вправо на один разряд при каждом шаге деления /вместо сдвига делителя вправо производится сдвиг остатка влево/. Если после вычитания
делителя соответствующий остаток оказывается положительным /или равным нулю/, то значение данного разряда частього равно 1 и производится следующее вычитание сдвинутого впра во делителя из полученного остатка. Если остаток получится отрицательный, то в данном разряде частного ставится 0 и для получения следующего остатка прибавляется сдвинутый на один разряд вправо делитель. Следует заметить, что в про цессе деления сложение и вычитание производится в обратном или дополнительном модифицированном коде.
Таким образом, при использовании метода без восстанов ления остатка каждый шаг деления должен состоять из двух элементарных операций:
-сдвнг делителя вправо /или сдвиг остатка влево/ на один разряд;
-сложение делителя с остатком или вычитание делителя из остатка и определение цифры частного.
- 43 -
Пример:
делимое - [х] пр ш 0,1001 делитель- [ y j пр = 0,1101
а/ Определение знака частного:
0 + 0 = 0 ; б/ Деление чисел:
00,1001 сдвиг + 01,0010 11,0011
00,0101
сдвиг + 00,1010 11,0011
11,1101 сдвиг + Ц ,1010 00,1101
00,0111 сдвиг + 00,1110 11,0011
00,0001 сдвиг + 00,0010 11,0011
11,0101 сдвиг + 10,1010 00,1101
11,0111
- 44 -
н т.д. |
пр =» 0,101100 и после округления 0,1011. |
В некоторых ЭЦВМ операция деления заменяется умноже нием на обратную величину. Пусть, например, требуется най ти величину N~ "у .Для этого предварительно вычисляют ве личину Z =-д- . Тогда 7V= X'Z . Вычисление обратной величи ны Z = j j производится обычно методом итераций, что требует выполнения значительного количества операций сложения и умножения.
$ 1.5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Логика - это наука о формах и законах правильного мыш ления. Математическая логика - одна из ветвей общей логики. Математическая логика использует тот же язык формул,
что и математика. Для получения логических следствий из исходных посылок проводятся формальные преобразования логи ческих формул. Правила этих преобразований в ряде случаев соответствуют правилам алгебраических действий.
В настоящее время математическая логика приобрела также прикладное значение. Особенно широко математическая логи ка применяется для решения задач анализа и синтеза схем электронных цифровых вычислительных машин и автоматических устройств.
При решении задачи анализа необходимо работу схемы опи сать логическим выражением. Затем путем формальных преоб разований можно проанализировать вопрос экономичности схе мы и упростить схему, не изменяя функций, которые ока вы полняет.
При синтезе схем, имея логическое выражение, описываю щее некоторую логическую функцию, необходимо определить, из каких элементарных схем и каким образом может быть построена сложная схема, реализующая данную функцию. Для
этого |
заданная функция обычно преобразуется и расчленяет |
|
ся |
на |
отдельные члены таким образом, чтобы каждый из чле- |
н о |
е |
мог быть представлен элементарной схемой. |
- 45 - Логические связи и операции
Одним из разделов математической логики является ис числение высказываний /алгебра логики/. Высказыванием в математической логике называется всякое предложение, ко торое либо истинно, либо ложно. Одновременно истинным и ложным высказывание быть не может. Отдельные высказывания принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита /А, В, С А Высказывания, различные по содержанию, обозначаются рааличными буквами, но в дальнейшем оценка высказываний производится только по их истинности или ложности.
Для обозначения значений истинности высказываний могут быть испольэованы различные способы /например: И - истина, Л - ложь/, но чаще всего применяют двоичные цифры. Если выскавывание истинно, то значение истинности его равно 1, если ложно, то значение истинности равно 0. Запись А=1 означает, что высказывание А истинно; В = 0 означает, что высказывание В ложно. Знак равенства при записи высказыва ний является символом их эквивалентности. Запись А * В означает, что значения истинности высказываний А и В оди наковы, т . е . они одновременно либо истинны, либо ложны.
Высказывания могут быть простые и сложные. Простым вы сказыванием называется такое высказывание, значение истин ности которого не зависит от значений истинности других высказываний. Примеры простых высказываний: "Начались эк замены". "Сумма внутренних углов треугольника равна 180°" и т.д.
Сложным высказыванием называется такое высказывание, значение истинности которого зависит от значений истин ности других высказываний. Например, предложение "Оценка отлично выставляется в том случае, если даны правильные ответы на два вопроса и правильно решена задача" являет ся сложным высказыванием.
Объединение простых высказываний в сложные произво дится с помощью логических связей. Сложные высказывания, составленные из простых с помощью логических связей, мо-
- 46 -
гут изображаться в виде логических формул. Рассмотрим несколько примеров логических связей.
Л о г и ч е с к о е |
о т р и ц а н и е , или л о г и |
||
ч е с к а я |
с в я з ь |
"НЕ". Отрицанием выеказывания А |
|
называется такое сложное высказывание, которое истинно, |
|||
когда А ложно, и ложно, |
когда А,истинно. Это сложное выска |
||
зывание записывается А и читается "не |
А". |
||
Значение |
истинности |
высказывания |
А в зависимости от |
истинности исходного высказывания А получается а результа те операции логического отрицания и определяется таблицей истинности /табл. 1.3/.
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
Логическое |
отрицание |
|||
А |
|
|
1 |
|
|
|
А |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
Из табл. 1.3 следует, |
что |
А = А. |
||
Действительно,_ |
_ |
|
|
|
0. = |
(о) |
« |
1 |
- 0 ; |
1 - |
(Т) |
= о = 1 . |
В общем случае высказывание с четным числом отрица ний эквивалентно основному высказыванию, а с нечетным чис
лом отрицанийотрицанию высказывания. |
|
|
Л о г и ч е с к а я |
с в я з ь "И", или |
к о н ъ |
ю н к ц и я двух в ы с |
к а з ы в а н и й . |
Логической |
связью "И" называется такая связь, при которой сложное высказывание Р, образованное простыми высказываниями А и В, истинно только в случае истинности обоих высказываний, его составляющих. Во всех остальных случаях высказывание Р ложно.
|
- |
47 |
- |
Эта |
связь записывается |
Р * |
АВ, или Р = А * В, или |
Р « А Л В и читается Н Р есть А и В". |
|||
Значение истинности сложного высказывания Р в зависи |
|||
мости от |
истинности простых |
высказываний А и В получается |
с помощью операции логического умножения л определяется
таблицей истинности /табл. |
1.4/. |
|
|
|
Таблица 1.4 |
Логическое |
умножение |
|
А |
В |
Р = АВ |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Из таблицы 1.4 вытекают следствия:
А• 0 = 0 ;
А* 1 = А ;
А" А = А ;
А' А = 0 .
Распространяя эту связь на большее число высказыва ний, можно получать новые сложные высказывания. В общем случае логическая связь "И" это такая 'связь, при которой сложное высказывание истинно только в том случае, если истинны все простые высказывания, его составляющие. Во всех остальных случаях высказывание Р ложно.
Л о г и ч е с к а я |
с в я з ь |
"ИЛИ", или |
д и з ъ |
||
ю н к ц и я |
д в у х |
в ы с к а з ы в а н и й . |
Логичес |
||
кой связью "ИЛИ" называется такая связь, когда сложное |
|||||
высказывание Р, |
образованное простыми высказываниями А и |
||||
В, ложно только |
в случае ложности |
обоих высказываний, |
|||
его составляющих. Во всех остальных случаях сложное вы |
|||||
сказывание |
Р истинно. |
|
|
|
|
|
- |
48 |
- |
|
|
|
Эта связь |
записывается |
Р = А + В |
или Р = AVB и чи |
||
тается "Р есть А или В". |
|
|
|
|
||
|
Значение истинности |
сложного высказывания Р = А + В |
||||
в |
зависимости |
от истинности |
высказываний А и В получается |
|||
с |
помощью операции логического |
сложения |
и определяется |
|||
таблицей истинности /табл. |
1,о/ |
Таблица 1.5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Логическое |
сложение |
|
||
|
|
А |
В |
|
Р«А + В |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
Следствия: |
д + |
Q |
я |
А . |
|
А+ 1 = 1;
А+ А = А;
А+ А - 1.
Распространяя эту связь на большее число высказываний, можно получать новые сложные высказывания. В общем случае логическая связь "ИЛИ" это такая связь, при которой слож ное высказывание ложно, когда все составляющие его прос тые высказывания ложны. Во всех остальных случаях сложное высказывание истинно.
Р а в н о з н а ч н о с т ь д в у х в ы с к а з ы в а н и й . Равнозначностью двух высказываний называется такая логическая связь, когда сложное высказывание Р, образован ное простыми высказываниями А и В, истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний А и В сов падают /либо оба истинны, либо оба ложны/.
Эта связь записывается Р*А«^з В и читается "Р есть А равнозначно В".
- 49 -
Значение истинности высказывания Р в зависимости от истинности высказываний А и В получается с помощью опера ции равнозначности и определяется таблицей истинности /табл. 1.6/.
|
|
Таблица 1.6 |
Логическая |
равнозначность |
|
А |
В |
Р= А«^>В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Следствия: |
А ^ |
0 |
- А; |
|
A <Ni 1 |
= А; |
|
|
A w |
А = 1 ; |
|
|
A <v> А = 0. |
||
Л о г и ч е с к а я с в я з ь "ШШ-ИЛИ", или о т - |
|||
р и ц а н и е |
р а в н о з н а ч н о с т и . Отрицанием |
равнозначности называется такая логическая свявь, когда сложное высказывание Р, образованное простыми высказыва
ниями А и В, |
ложно только тогда, когда значения истиннос |
|
ти |
высказываний А и В совпадают /либо оба истинны, либо |
|
оба |
ложны/. |
|
|
Эта связь |
записывается Р= Ас\ЬВ и читается "Р есть А |
неравнозначно |
В". |
Значение истинности высказывания Р в зависимости от истинности высказываний А и В получается с помощью опе рации отрицания равнозначности и определяется таблицей истинности /табл. \.7/.