книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности
.pdfft'—3—п |
|
|
|
|
|
|
I t “ |
ft'—4 |
|
1 |
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
* |
|
|
|||
j* |
(k' — n — j — l)2 |
26-3 |
(£' — я —2)2X |
|||||||||||
y=i |
|
v |
|
|
|
|
; |
|
л=1 |
|
|
|
||
|
|
|
ГT 2] |
|
1 |
k' — я —2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
||||||
|
|
X |
5 |
|
|
|
|
k' — и — / —1 |
|
|
|
|||
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lt'—З—п |
|
|
|
1 |
|
k' — n —2 \ 2 |
|
|||||
|
+ |
s |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(k' — n — j —l)2 |
|
|
|
< |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
- |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft' - 4 |
|
|
|
|
1 |
|
22 (2я2 —6) |
|
|||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 j |
|
|
|
(Ä'k'— n —2)2 |
|
|
6 |
|
|
|||
|
2G•3 |
я 2 |
|
' |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
h= i |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
я 2(2я2—6) |
ft'—4 |
|
1 |
|
|
|
|
я2 (2я2 —6) |
|
|||||
|
2M 8 |
|
/i=i |
h T |
' |
(k' — и —2)2 |
~ 2b-9 (k' —3)2 X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[-f] -> |
|
|
|
|
|
|
f t ' - 4 |
------ L _ |
|
||||
X |
^ |
|
1 |
|
|
k' — 3 |
|
V |
X |
|||||
|
n = 1 |
|
я2 |
\ k' — и —2 |
. - J |
(k' - |
n —2)2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
- |
[41] |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
k' —3 |
V21 |
|
|
я 2 (2я2 —6) |
|
22 (2я2 —6) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
25-9(k' —3)2 |
|
|
6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
я2 (2я? — 6)2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
432 (k' —3)2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft_ |
1 _ |
я® |
|
При нахождении оценок учитывалось, |
что lim |
\ |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и V— |
-ХХ |
я2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ft-*« |
/і=і |
|||
Подставив полученные оценки в (2-25), получим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а ^,(т = А )< |
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
я2 |
|
, я2 (2я2 —6) |
я2 (2я2 —6)? |
|||||
[2 (Х -1 )]2 |
|
2 (k’ —I)2 |
~Г 18 (А' —I)2 |
432 (k' —З)2 |
||||||||||
< |
|
|
|
|
|
|
(2k'y- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2-26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Несложные вычисления показывают, что начиная с |
|
|||||||||||||
числитель правой части |
(2-26) |
меньше единицы и, |
• следователь- |
39
но, а < |
1 |
. Поскольку выше показано, что для |
k 5 |
|
(2/г')2
соотношение это также выполняется, мы доказали таким образом, что при любом k
a9i. (m = 4) < |
------ . |
(2-27) |
|
2t |
(2 kf |
|
K ' |
И, наконец, мажорирование ряда (2-24) |
при z = 1 |
сходящимся |
|
рядом |
|
|
|
\Ѵ=1 л----- 1— 1. |
V |
- i — |
(2-28) |
22 |
|
(2/е)2 |
V |
дает право утверждать, что радиус сходимости |
рядов (2-23) |
и (2-24) для т = 2, 3, 4 во всяком случае не меньше единицы, причем эти ряды равномерно сходятся при |х |^1, положи тельны и непрерывны вместе со всеми своими производными в указанной области.
Пусть далее отрезок [0, /] — область существования по ложительного и непрерывного вместе с первой и второй про изводными решения уравнения
и" (л-) ~ — и’ (л-) + ит(л-) = 0, |
(2-29) |
удовлетворяющего начальному условию н(0) = 1 |
(второе ус |
ловие ц '(0)= 0 вытекает из специфики рассматриваемого диф ференциального уравнения). Упомянутая область—не пустое
множество, что легко видеть из вышеизложенного. |
имеет |
||||
Покажем, что уравнение (2-29) на отрезке |
[0, /] |
||||
единственное решение указанного класса. |
Предположим сна |
||||
чала противное, т. е. наличие у уравнения |
(2-29) хотя бы двух |
||||
гладких, не совпадающих на отрезке [0, |
/] решений ut (x) и |
||||
іі2(х), но таких, что ііі(0 )= и2(0) = 1. В силу различия решении |
|||||
предположим также, что при |
О ^ х ^ х і |
(О^ХіС/) |
Ыі(х) = |
||
= и2(х), |
а в некоторой окрестности е>0 точки Xt (хі<х<Х[-|- |
||||
+ е</) |
Ui(x) ф и 2{х). Условие |
гладкости |
и |
непрерывности |
решений «і(х) |
и и2(х) предполагает отсутствие в окрестности |
е бесконечно |
большого, числа колебаний хотя бы одного из |
решений, ибо в противном случае, исходя из физического смысла рассматриваемой задачи, необходимо было бы отбро сить оба решения и заключить, что при х>хі задача не имеет решения вообще. Последнее неверно, ибо ранее мы установи ли область существования решения на отрезке [0, /], вклю чающем значение ац.
Следовательно, хотя бы одно из решений уравнения (2-29) должно быть гладким в окрестности е точки ад. Негладкое, колеблющееся решение мы отбрасываем как не удовлетворяю-
40
щее условиям задачи и заключаем, что полученное решение единственно.
В случае же наличия, согласно предположению, двух глад ких решений будем считать, что е выбрали так, что разность
і і і ( х ) |
— Uz(x) одного знака при хі< х < хі + е, |
например |
іц(х) |
—1г/2(-ѵ)>0 (общность рассуждений от такой |
определен |
ности не теряется). Факт существования такого е следует из
непрерывности и различия решений «і(х), iiz(x). |
|
0 ,< х |
хх |
|||||
Согласно |
предположению, их(х)— «З(х)=0при |
|||||||
и, значит, и\ |
(х) — м'(х) =0 также. |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку, далее, в некоторой окрестности е точки хх |
и1(х)— |
|||||||
— и%(х) > 0, |
существует в силу непрерывности производных и\ (.ѵ) |
|||||||
и и'2 (х) окрестность б > 0 точки xL такая, что и[ (х) — |
(х) > 0 |
|||||||
при хх < . г < |
Ay -j~ б < I. Равенство и\ (х) — м' (х) = |
0 |
для |
0 ■< |
||||
-.< х < х х влечет за собой и равенство |
и"(х) — иЦх) |
=0. Учиты |
||||||
вая же, что |
в окрестности б точки хх |
(хх < |
х < хх |
|
б) и\ (х) — |
|||
— Щ(х) > 0 |
в силу непрерывности |
вторых |
производных |
и" (х) |
||||
и и" (х) найдется такое £ > 0, что и”(х) — и„ {х) > 0 для хх< |
х < |
|||||||
<С хх -|- £ < /• Тогда для значений х, |
принадлежащих |
интервалу |
||||||
(хх, хх -г 1-0, |
где (л — наименьшее из чисел е, б и £ |
|
(можно по |
|||||
казать, что в общем случае р. = £), должно |
выполняться |
соот |
||||||
ношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х) — »" (.ѵ) - Ь -j- [ и\ (х) — «' (х)] + и»1(х) — uf (х) > 0
(т — целое, больше нуля).
С другой стороны, подстановка сначала решения щ(х) в
уравнение (2-29), а затем подстановка и2(х) и вычитание |
из |
||
первого получившегося |
равенства второго дает |
на отрезке |
|
[0, /] тождество |
|
|
|
и'{(х) — (х) -f |
[ и\ (х) — «' (х)| -f и”‘(х) — iq (х) - 0. |
|
|
Поскольку интервал |
(xj, Хі+ р.) принадлежит |
отрезку |
[0, |
Z], остается заключать, что предположение о наличии у урав нения (2-29) на отрезке [0, /] двух различных положительных и гладких решений с одинаковыми начальными условиями не верно, т. е. такое решение единственное.
§ 3. Решение обобщенного дифференциального уравнения Бесселя с полиномом в правой части [26]
Методика, по которой в § 1 было получено решение диффе ренциального уравнения Бесселя нулевого порядка без возму щающего члена, оказывается в некоторых частных случаях
применимой и для решения уравнения е возмущающими чле нами.
Пусть имеется дифференциальное уравнение
и" (х) -|- — и'(х) ± ит (х) = Ь0+ Ьгх + b2x2-f ... -f- bLxl (2-30)
X
с полиномом в правой части {т—целое, больше нуля). Будем искать решение уравнения (2-30), удовлетворяющее началь ному условию и(0) = 1, причем представим его опять в виде бесконечного степенного ряда
00
и (х) = 1 + 2
|
*=1 |
|
|
|
Подстановка и(х) в (2-30) приводит к |
следующему уравнению: |
|||
оо |
со |
|
оо |
/ |
2 k(k — l) ahxk |
2 kahxk 1 ± |
2 ahx'k+1= |
2 ЬІ>Х'!+1’ |
|
k=2 |
k=l |
|
k=0 |
/;=П |
(2-31)
где ah определяются формулой (2-14). Используя метод неопре деленных коэффициентов, находим
ах =0; й. |
+ 1 |
а,,= |
h i- 2 + ^ k - 2 |
|
22 |
k2 |
|||
|
|
т. е. коэффициенты искомого ряда определяются по рекур рентной формуле, как и в случае однородного дифференциаль ного уравнения.
«Пусть все коэффициенты, кроме Ь о , в правой части (2-30) равны нулю. В таком случае будем иметь
ах = |
0; а2 = |
|
ак- 2 |
22 |
+ |
||
|
|
к2 |
|
|
k =3, |
4, |
5, . . . |
Рассуждениями, |
аналогичными |
рассуждениям в § 1, легко |
|
показать, что |
ö2ft+i=°> |
|
, 1, 2, ... |
|
Ь = 0 |
Кроме того, выкладки и результаты, полученные в § 2, дают право утверждать, что радиус сходимости в данном случае при т = 1, 2, 3, 4 также не меньше единицы, если только
Значит, для знака «+» в (2-30) должно выполняться соотношение
0 < Ь0<2,
42
а для знака «—»
— 2 О „ < 0 .
Таким образом, удается получить в виде бесконечного сте пенного ряда решение обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка, если в правой части сто ит полином.
§ 4. Применение теории обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка
к более широкому классу уравнений Эмдена—Фаулера
Полагая в уравнении Эмдена—Фаулера
— |
(х р A L ) |
+ хРи'п= 0 |
(2-32) |
|
dx |
у |
dx ) |
|
|
а = р, после соответствующих преобразований получаем |
|
|||
All|_jl Al+ =о. |
(2-зз) |
|||
dx- |
X |
dx |
- |
|
Легко видеть, что к данному классу уравнений относится и исследованное выше обобщенное уравнение Бесселя нулевого
порядка (р=1). |
удовлетворяющего на |
|
Поиск решения уравнения (2-33), |
||
чальным условиям w(0) = l и ц'(0)=0, |
в виде |
бесконечного |
степенного ряда |
|
|
00 |
|
|
и (х) = 1+ У акхк |
(2-34) |
|
А=1 |
|
|
при пг целом и положительном приводит к следующим рекур рентным формулам для определения коэффициентов ряда:
|
я =0; а, = + |
---------- ; Lh+l |
О, |
||
|
|
|
2 ( 1 + Р) |
|
|
*2к |
+ |
____ °+і—2 _ |
£ = 1 , |
(2-35) |
|
2k (2k +-р — 1) |
2, 3, |
||||
|
|
|
|
||
где ак, как и ранее, определяется формулой |
(2-14). |
||||
Очевидно, |
что при р>1 |
коэффициенты полученного ряда |
по абсолютной величине меньше соответствующих коэффици ентов ряда, полученного при р= 1, поэтому для случая р>1 также справедливо утверждение о равномерной сходимости рядов на отрезке [О, 1] для т = 1, 2, 3 и 4.
43
Решение дифференциального уравнения типа (2-33) с полиномом в правой части
A i l . + A . È |
L ± ит= |
ь |
+ Ъх |
|
/,оЛ-2 |
ь,х‘,(2-36) |
|||
dx- |
|
X |
dx |
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее |
начальным |
условиям |
я(0) = 1 и п'(0)=0, |
||||||
также можно получить в виде ряда |
(2-34). В этом случае ре |
||||||||
куррентные формулы для определения |
коэффициентов ряда |
||||||||
будут такими: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ь0± 1 |
|
|
Jk-2 |
а* |
|
||
а1 — 0; |
я.. |
|
|
|
|
/,'_2 |
|
||
2 ( 1 - Р) |
|
|
k (/е 4- р —1) |
*=з.4.... /+о |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
я,, = |
|
а Й -2 |
|
|
(2-37) |
||
|
|
Ä(Ä Ч- Р —1) |
/;>/—2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Уместно заметить, что для уравнения Эмдена, описывающего |
|||||||||
равновесие сферы из полптропного газа [10]: |
|
||||||||
|
|
d-u |
. 2 |
du |
. |
... |
_ |
оч |
(2-38) |
|
|
— — - — — |
+ |
=0, |
(р —2), |
||||
|
|
dx1 |
X |
dx |
|
|
|
|
|
существование положительного |
и ограниченного |
решения с |
начальными условиями я(0) = 1 и я'(0)= 0 доказано для лю бого т из интервала О ^ т ^ б иОЧЧ=£Чо, где х0 положитель
но и конечно и я(х0)= 0 . |
Расчет значений хо(яг) (яг=0, 1, 2, |
3), проведенный согласно |
(2-37), представляющему решение |
уравнения Эмдена для полптропного газа, дают полное совпа дение с таблицей Эмдена, приведенной'в [35].
Таким образом, интервал равномерной сходимости рядов (область существования непрерывных и ограниченных реше ний), приведенных в этой главе, может быть существенно больше отрезка [0, 1]. Кроме того, очевидно, что наложенное ограничение на параметр т (т — целое) не должно ограни чить область применения полученных решений, поскольку, ис пользуя метод интерполяции, можно продолжить решения и на нецелые т.
ГЛАВА III
ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕССЕЛЯ
Введение
Полученные в предыдущей главе решения уравнений типа Эмдена—'Фаулера (как уже было показано, обобщенные бесселевские уравнения принадлежат к этому классу) кажутся несколько громоздкими, но наличие аналитически представи мых решений упрощает исследование процессов, описываемых дифференциальными уравнениями этого класса.
Рассматриваемый нами тип уравнений ((2-7), (2-33))
* і - + ± , * і ± і Г = 0 dx2 X dx
имеет особенность в точке х=0, в которой, конкретизируя класс исследуемых решений, задаются начальные условия. Это обстоятельство несколько затрудняет получение числен ных значений решений на ЭВМ з отсутствие аналитического представления этих решений. Поэтому наличие решения в аналитическом виде для данного уравнения весьма полезно.
Сложность полученных рекуррентных формул для опреде ления коэффициентов степенных рядов искомых решений не является препятствием при качественном анализе и использо вании аналитических представлений, так как она в значитель ной степени искупается сравнительно хорошей сходимостью на отрезке [0, 1] (табл. а 'ік ).
Поскольку для получения достаточно точных решений тре буется такое количество членов ряда, которое, вообще говоря, исключает возможность проведения расчетов без использова ния ЭВМ, то авторами были рассчитаны и составлены таблицы.
Наличие аналитических представлений решений в виде не которых функций в сочетании с таблицами значений этих функций существенно упрощает задачу исследования указан ного класса уравнений и облегчает использование полученных результатов в инженерных приложениях.
45
|
|
|
Т а б л и ц а |
u2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
тп |
к |
1 |
о |
|
3 |
4 |
|
|
|
||||
|
1 |
0,2500000 |
0,1666667 |
|
0,1250000 |
0,1000000 |
|
2 |
0,0156250 |
0,0083333 |
|
0,0052083 |
0,0035714 |
|
3 |
0,0004340 |
0,0001984 |
|
0,0001085 |
0,0000661 |
|
4 |
0,0000068 |
0,0000028 |
|
0,0000014 |
0,0000008 |
|
5 |
0,0000001 |
<Ю"7 |
|
< 1 0 '7 |
< ю - 7 |
|
6 |
< ю - 7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
— |
— |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,2500000 |
0,1666667 |
0,1250000 |
0,1000000 |
|
|
2 |
0,0312500 |
0,0166667 |
0,0104167 |
0,0071429 |
|
|
3 |
0,0034722 |
0,0014550 |
0,0007595 |
0,0004497 |
|
|
4 |
0,0003526 |
0,0001176 |
0,0000515 |
0,0000265 |
|
|
5 |
0,0000342 |
0,0000091 |
0,0000033 |
0,0000015 |
|
|
6 |
0,0000032 |
0,0000007 |
0,0000002 |
0,0000001 |
|
|
7 |
0,0000003 |
< ю - 7 |
|
< !0 - 7 |
< ю - 7 |
|
8 |
< ю - 7 . |
— |
|
— |
— |
|
9 |
|
|
|||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,2500000 |
0,1666667 |
0,1250000 . |
0,1000000 |
|
|
2 |
0,0468750 |
0,0250000 |
0,0156250 |
0,0107143 |
|
|
3 |
0,0091146 |
0,0037698 |
0,0019531 |
0,0011508 |
|
|
4 |
0,0017700 |
0,0005686 |
0,0002441 |
0,0001236 |
|
|
5 |
0,0003436 |
0,0000858 |
0,0000305 |
0,0000133 |
|
|
6 |
0,0000667 |
0,0000129 |
0,0000038 |
0,0000014 |
|
|
7 |
0,0000130 |
0,0000020 |
0,0000005 |
0,0000002 |
|
|
8 |
0,0000025 |
0,0000003 |
0,0000001 |
< 1 0 '7 |
|
|
9 |
0,0000005 |
< ю -? |
|
< ІО"7 |
— |
|
10 |
0,0000001 |
— |
|
— |
— |
|
11 |
< іо - 7 |
— |
|
— |
— |
|
1 |
0,2500000 |
0,1666667 |
0,1250000 |
0,1000000 |
|
|
2 |
0,0625000 |
0,0333333 |
0,0208333 |
0,0142857 |
|
|
3 |
0,0173611 |
0,0071429 |
0,0036892 |
0,0021693 |
|
|
4 |
0,0049913 |
0,0015800 |
0,0006727 |
0,0003389 |
|
|
5 |
0,0014627 |
0,0'03560 |
0,0001248 |
0,0000538 |
|
|
6 |
0,0004340 |
0,0000812 |
0,0000234 |
0,0000086 |
|
|
7 |
0,0001299 |
0,0000187 |
0,0000044 |
0,0000014 |
|
|
8 |
0,0000391 |
0,0000043 |
0,0000008 |
0,0000002 |
|
|
9 |
0,0000118 |
0,0000010 |
0,0000002 |
< іо-? |
|
|
10 |
0,0000036 |
0,0000002 |
< ю - 7 |
— |
|
|
11 |
0,0000011 |
0,0000001 |
— |
— |
46
§ 1. Характер сходимости полученных функциональных рядов, поведение решений
Было показано (см. § 4 гл. II), что область сходимости рядов (2-34), определяющих решения уравнения Эмдена — Фаулера (2-33) (в частности при р = 1— обобщенных функ
ций Бесселя нулевого порядка Д 1(z), ^"о (2)). по крайней мере не меньше отрезка [0, 1], внутри которого обеспечивается рав-
различных т (здесь и далее номера кривых со ответствуют значению т)
47
I
номерная сходимость. Расчет коэффициентов (2-35) рядов (2-34) убеждает и в достаточно быстрой их сходимости на этом отрезке. Таким образом, характер убывания величины коэффициентов позволяет во многих случаях ограничиться сравнительно небольшим числом членов ряда для получения инженерных решений и аналитической оценки исследуемого явления, а также установления функциональной зависимости между основными параметрами процессов.
48