книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности
.pdfТогда, используя условие (1-10), после несложных преобразова ний будем иметь
Р сп ,пЛ -тѵК 2спР / Ті |
(1-14) |
~ - T l T Ly |
|
c‘-TT(7W”, - TF (т |
|
Поскольку в этом случае справедливо утверждение (1-3), то из (1-13) с учетом условий (1-3) и (1-9) получим
dx /л*r=n—о V
и окончательно
C ,=
2 А \ Ц - - Т І Г П Сі =
Q2 |
2cnP |
( Tt |
2 Ri |
X J |
( - f - r t T , ) . |
X\F |
5 |
Приравнивая (1-14) и (1-16), будем иметь
Q |
(1-15) |
|
XxF |
||
|
||
|
(1-16) |
к = — |
(QlFf - cl (ТІ - |
Tt) |
F. (1-17) |
||
Tl |
ToT. |
rpb |
|||
2cRP |
~ - |
TtTL |
|||
|
Данное выражение можно использовать для эксперименталь ного определения коэффициента теплопроводности Ль если известен коэффициент лучеиспускания сп. Однако наиболее целесообразно таким образом определять коэффициент сп, если Xi определен каким-либо другим методом. При этом вы ражение (1-17) следует решить относительно сп« с і (сог^ссц).
Если предположить, что излучение через торец пренебре жимо мало по сравнению с потоком через боковую поверх ность (7'j,ä ;7'o), то соответственно получим:
X ^ Q V c J P ^ - T t T n )
и
сі = QI2XJFP |
Т\Тп). |
Приближенный закон распределения температуры вдоль поверхности стержня (вдоль его оси)' можно найти по (1-1) либо (1-2), если, согласно [1], линеаризуем (1-8) и предста вим его в виде [3]
dx2 |
= - а™Р - [Г (х) — Т0] , |
XtF L |
где апр = сп (Тп + Т0) (ТІ + То).
9
Для нахождения истинного закона распределения темпе ратуры воспользуемся методом неопределенных коэффициен тов, т. е. будем искать решение уравнения ( 1-8) в виде степен ного ряда. Для этого предварительно с помощью замены пере
менных Q—TjTb, |
y = L—х\ y = y/L\ z=yV Ä от ( 1-8) перейдем |
к безразмерному виду |
— 0 і — Ѳо. |
(1-18) |
dz2 |
|
Здесь и далее А = саРТь1-2І \ Р п Ѳ0= Т 0/Т j_. |
Граничные усло |
вия будут: |
|
при X = L у — 0 и z — О, |
|
при г = О Ѳ (0) = 1 и Ѳ' (0) = 0.
Равенство нулю первой производной на конце стержня соот ветствует условию отсутствия теплообмена на торце. Последнее может быть при условии TL = T0 или со4 = PL > F, т. е. Г /Р « L, и, следовательно, теплообменом с торца практически мож но пренебречь в сравнении с теплообменом с боковой поверхно
сти.
В соответствии с принятым условием ищем решение (1-18) в виде ряда
Ѳ (z) = а0+ axz + a2z2 4- . . . , |
(1-19) |
|
откуда |
|
|
Ѳ' (z) — ах -{- 2ö2z -Г 3a3z- -j- . .., |
(1-20) |
|
Ѳ" (z) — 2аг -]- 6a3z -J- 12a4z2 -j- ... |
(1.21) |
|
Из (1-19) и (1-20), используя граничные условия, получаем |
ao=l |
|
и ах — 0. |
|
|
|
|
|
Поскольку согласно [30] |
|
|
(2 O |
' " = І v ‘. |
(1-22) |
ft=0 |
k=0 |
|
где с0 = $ и 4 = ~~ |
(ém — l + k) ahci-k, TO |
|
la° iS* |
|
|
[Ѳ (г)]4 = |
c0 4- CjZ4- c2z2 4- • •. |
(1-23) |
Подставив (1-21) и (1-23) в (1-18), получим |
|
|
2аг -Ь 6а32 -[- 12a4z2 |
с0 -|- cxz + c„z2-f- . . . — Ѳо, |
(1-24) |
ГО
откуда при с0= 1 будем иметь 2a1 = |
1 — Ѳ0'; |
6й3 = |
сх; 12й4 = с2 |
|||
и т. д. или в общем виде |
|
|
|
|
|
|
|
k { k — \) ah = ck_2 |
|
|
|
|
|
и, |
1 — ©o |
cx |
ö4 |
c„ |
и т- Д- |
|
следовательно, a2 = ------^------! aa = |
q ! |
= -y j- |
||||
|
Вычислив коэффициенты ch по приведенной выше рекуррент |
|||||
ной формуле, определим, что сх = 4ах = |
0, откуда а3 = |
0; с2 = |
||||
= |
4а2 и, следовательно, я4 = 4й2/12 = 8 й2/41; с3 = 4<з3 = |
0 и, зна |
чит, аъ= 0.
Последовательное вычисление коэффициентов Си и й;г при
водит к заключению, что все нечетные |
коэффициенты |
ряда |
||||
(1-19) |
равны нулю, а четные образуют следующую последова |
|||||
тельность: |
|
|
|
|
|
|
|
1 - ® о . „ |
4(1 - Ѳ 40) . |
„ ( і _ Ѳ 40) [16+36 (1—©è) ]. |
|||
а 2 — |
2 ’ |
4! |
’ |
ав |
gj |
’ |
|
(1 — Ѳо) [64 + 864 |
(1 — Ѳо) + |
360 (1 — Ѳо)2] |
|
||
|
а&~ |
|
|
gl |
|
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение ис |
Подставляя значения коэффициентов ah в (1-19), |
|||||||||||
ходного уравнения будем иметь в виде |
|
|
|
||||||||
|
|
= 1 + i = ß L * + Ч і - e S ) ^ |
|
|
|||||||
|
0 (z )= 1 + ^ - 2Г ^ г2+ |
|
4, |
|
|
|
|||||
|
|
(1 — Ѳр) [ і6 + |
36 (1 — Ѳр) ] |
„fi |
. |
(1-25) |
|||||
|
+ |
|
|
61 |
|
|
|
|
2® + |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда при Ѳ0 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ѳ (2) = |
|
|
4г4 |
. |
52г6 |
1288г8 |
|
(1-26) |
|||
1-I-----------1---------- 1- |
6! |
|
+ |
8! |
|
||||||
|
w |
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
||
а при 0<Ѳ 0 < |
1 |
приближенно |
|
|
|
|
|
|
|||
- . і |
1 |
ОІ |
Ѳр |
4(1 - Ѳ 40) |
* |
52 (1 ■ |
Ѳр) |
||||
Ѳ (2 ) "—^ |
* |
2 |
"I |
А\ |
|
Г |
0| |
|
|
||
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
(1-27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуя полученное решение на сходимость, нетрудно за |
|||||||||||
метить, что начиная с третьего члена |
коэффициенты при 2 под |
||||||||||
чиняются вполне определенной закономерности, а именно |
|||||||||||
|
а,, < |
4k~3(k — 3) (1 |
©oh |
(k = 4, |
6, 8, |
.. .)• |
|||||
|
|
|
k\ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п
Следовательно, поскольку по признаку Даламбера при г ф оо
lim |
*л+1 |
= Пт |
4+2 |
|
и,. |
||
/I «> |
|
It-Усо |
|
лк—1(А — I) (1 — Ѳо) zk+2k\ |
|||
lim ---- ' — —, |
------------------ ,— = 0, |
ft- - (к -f 2)! i k~3(k — 3) (1 — Ѳо) zk
то ряд сходится при любом конечном z. При этом надо иметь в
виду, что поскольку |
0 <1 у ф 1 |
и А ф 1 (в практически |
интере |
||||||||
сующих |
случаях), то |
|
|
|
|
1, следовательно, |
сходимость ре |
||||
шения обеспечена. |
|
|
|
является и Ѳ0^г 1, |
когда |
решение |
|||||
Весьма важным случаем |
|||||||||||
(1-25) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ(г) ^ 1 - Ь - 1 ^ - 2 * + |
4(1 — Ѳо) ^ |
, |
16(1 — Ѳо) |
|
|||||||
|
|
4! |
С р |
|
6! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
64(1 — Ѳо) |
z |
-■ |
|
, |
4,г—1(1 — Ѳо) |
у2к |
(1-28) |
|||
|
8! |
“ |
1 ' ' ‘ |
” |
|
(2А)! |
|
|
|
||
Последнее выражение можно представить как |
|
|
|||||||||
|
Ѳ ( ^ П - ( |
1 |
- |
Ѳ ^ |
|
22k~2zik |
|
|
|||
|
|
(2А)! |
|
|
|||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
к^ 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
■et |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2гр |
|
|
|||
|
Ѳ(2) ^ 1 |
|
|
s |
|
|
|||||
|
|
|
|
т |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k—\ |
|
|
|
|
откуда получаем, что (при 1 |
- ѳ 04 «5 0) |
|
|
|
|
||||||
|
Ѳ (z) ^ |
|
1 + |
1 |
- |
• Ѳп (ch 2z — 1). |
|
(1-29) |
Аналогичным образом выражение (1-27) можно представить в ви де
Ѳ (z) ^ 1 |
1 |
■et |
Y г2 |
-г |
(ch 4г — 1) |
(1-30) |
|
|
что позволяет использовать для расчетов температурных по лей имеющиеся таблицы значений гиперболических функций.
Переходя от переменной z к естественным координатам, рас пределение температуры вдоль стержня (1-25) получим в виде
Ѳ (х) = 1 -!- |
А (1 — Ѳо) |
( 1 - х ) 2 |
4А2(1 — Ѳо) |
( 1 - * ) 4 + |
||
1 ■ |
4! |
|||||
|
2! |
|
|
|||
Л3(1 — Ѳо) [16 + 3 6 (1 — Ѳ40)] |
( 1 - х ) 3 |
|
||||
|
6! |
|
- |
|
|
а вместо (1-27), (1-29) и (І-30) соответственно будем иметь:
Ѳ (*)«1 |
Л (1 -Ѳ ?) |
( l - x f |
+ |
4А2(1 — Ѳо) |
(1 - x f |
|
|||
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
(1-27') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѳ(х)' |
|
1 — Ѳп |
[ch 2 Ѵ'Ж(1 — x) — 1 ]; |
(1-29') |
||||
|
|
4 |
|||||||
Ѳ {x)«s 1 |
1 — ©S |
| 3 |
7 |
x f |
-^-[ch 41/ Л (1 — х) — 1]}, |
||||
|
4 |
— А (1 - |
|||||||
|
|
( 2 |
|
1 |
16 |
|
(1-30') |
||
откуда, например из (1-27') (Ѳ0« |
1), |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
Ѳ (0) = Т Г = 1 |
+ |
А (1 2! |
Ѳо) |
+ ~ |
* ( 4Т Ѳо) + • • • ’ |
(1-31) |
|||
TH= T L |
(1 -Ѳ о ) £ г і + . |
4(1 — Ѳо) В2 |
ТІ |
(1-32) |
|||||
|
2! |
|
|
|
4! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее B = cnPL2/XiF — комплексный параметр, оце нивающий геометрию образца и теплофизические свойства материала и имеющий размерность град~3. При В —0 имеем сверхпроводник, при 5 = о о — сверхизолятор.
В обычных условиях параметр В по порядку величи ны равен ІО-5—ІО-8 град~3,
точно |
ограничиться |
двумя |
------------------------------ |
|
7 |
7 |
|
первыми членами ряда. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
і,5 |
|
|
|
|
Рис. "1. |
Зависимость Ѳ(0) |
от А |
|
|
|
|
|
|
при различных Ѳ0: |
|
|
|
|
|
|
|
1 -0 , 2—0,5, 3—0,75 |
|
, |
„ |
|
: |
|
|
|
|
1 п |
|
|
||
|
|
|
- |
1-------------—— |
|||
|
|
|
•о- - |
0,5' |
ißА |
||
Графическое изображение |
зависимостей |
(1-31) и (1-32) |
|||||
представлено на рис. |
1 |
и 2. Примерный |
ход |
температурной |
кривой вдоль образца показан на рис. 3. Порядок расчета мо жет выглядеть следующим образом. По известным размерам
и теплофизическим свойствам образца рассчитывается |
пара- |
( >метр В и по" (1-32) строится зависимость Ta=f (B, Тф). |
Зная |
13
Тн, найдем TL, а затем по (1-27'), (1-29') или (1-30') рассчиты ваем распределение температуры.
Полученный результат позволяет оценить суммарную из лучательную способность стержня. Действительно, поскольку по условиям задачи все тепло, поступившее в образец через начальное (х=0) сечение, излучается с боковой поверхности, то
QeOR = Q„ = - KP [ ^ ) x_ = - К Р — &'( W |
(1-33) |
Pnc. 2. Зависимость Гн от TL при различных В:
і —0 і 2—2 •ІО"* . 3—ІО"7, 4—2 ■ IO’ 7,- 5—2 -ІО- ®град'3 ; сплошная ли ния— Ѳ 0=0, штриховая — 0,75
Дифференцируя зависимости (1-27'), (1-29') и (1-30'), получаем
Ѳ' (0) = - ( 1 -@t) ( |
л |
(1-34) |
Ѳ' (0) = — О, |
— ®о) / Л sh 2 Y J . |
(Ь35) |
в' (0) = _ (! — Ѳ°) ^ |
^3 V ^ + - l s h 4 T / ~Xj. |
(1-36) |
14
Подставляя, например, (1-36) в (1-33) и учитывая, что при А = ВТ\ < 1 sh 4 V ä п о порядку очень мал и близок к нулю,
можем получить sh 4 V А « 4 V А + (4 V А )3/3! |
и |
Q60K» c nP L ( 7 l - 7 l ) ( l + 4 |
(1-37) |
т;к |
|
ш |
|
Рис. 3. Распределение температуры j qq
вдоль стержня |
при |
5 = 2 |
- ІО-7 |
град~3 и различных Ѳ0: |
|
||
/ —I, 2-0,9, |
3-0,75, |
з -о |
200 |
|
|
|
Построив по выражению (1-32) зависимость TB = f(B) (рис.
4), по известным из эксперимента Гн и TL найдем В, |
а затем |
сп или А-1- |
і |
Приближенное значение В можно получить и непосредст венно из (1-32), если ограничиться первыми двумя членами. Тогда
В ж 2 { Т п - Т ь ) І { Т І - Т І ) , |
(1-38) |
||
_ |
2\ F |
TB- T L |
(1.39) |
сп Wo |
p D • |
Т4 _ Т4 |
15
§ 2. Теплопроводность двухслойного (с покрытием) тонкого излучающего стержня
В инженерной п строительной практике все чаще применя ются конструкции со всевозможными изолирующими покры тиями, например на основе полимеров и полимерных пленок. В связи с этим актуальной является задача теплопроводно сти такого рода систем. Очень важно исследовать тепломассоперенос в процессе нанесения таких покрытий, например, экст рузионным методом из расплава, что требует расчета темпе ратурных полей в материале конструкции и покрытии, которые оказывают существенное влияние на характер фор мирования полимерного покрытия, его свойства и адгезион ную способность.
Рассмотрим задачу распространения тепла в системе из тонкого длинного стержня, покрытого слоем материала с ма лой теплопроводностью при наличии теплообмена с боковой поверхности и источника постоянной тепловой мощности на ограничивающем торце. Таким образом, от источника в стер жень в единицу времени поступает некоторое количество теп ла Q, которое передается теплопроводностью вдоль стержня и отводится через боковую поверхность теплообменом.
Как и в § 1. рассматриваем стационарный режим. При этом считаем, что покрытие имеет достаточно малую толщину и весьма низкую (по сравнению с материалом стержня) тепло проводность. Это позволяет в первом приближении не учиты вать теплопроводность вдоль поверхности стержня по мате риалу покрытия и рассматривать его как распределенное тепловое сопротивление. Таким образом, тепло в рассматри ваемой системе передается теплопроводностью вдоль материа ла стержня, теплопроводностью по радиусу покрытия и отдает ся в окружающую среду теплообменом с боковой поверхности.
Итак, рассмотрим систему (рис. 5), состоящую из тонкого длинного стержня радиусом г\ и длиной L, соединенного од ним концом с источником тепла мощностью Q, и покрытия
Рис. 5, Схема двухслойного стержня:
У—полимерное покрытие, 2—металлический стержень
Гб
толщиной ‘6. Система помещена в среду с температурой Т0 (в частном случае температура стенок вакуумной камеры).
Аналогично предыдущему (см. (1-6)) уравнение распро странения тепла через поперечное сечение стержня F на рас стоянии X от источника имеет вид
— XxF |
сІТг (x) |
dx. |
(1-40) |
|
dx
Поскольку теплопроводностью вдоль покрытия мы по условию пренебрегаем, то изменение количества тепла d Q по длине элемента d x осуществляется теплопроводностью слоя по радиусу и излучением с боковой поверхности d a = P d x .
Следовательно, в случае двухслойного стержня вместо уравнения (1-7) условие на границе будет
d Q = |
c aP [ T t ( x ) - T i ] d x , |
|
(1-41) |
||
которое совместно с уравнением теплопроводности слоя |
|
||||
d Q = |
А |
р [т г (X) - |
Т 2 (X)] d x |
|
( 1 -42) |
|
6 |
|
|
|
|
(считаем, что б < г х) |
дает связь Т г (х) и Т 2 (х) |
в виде |
|
||
Т г (X) |
= Т 2 (X) + |
\ Т \ (X) - |
То) . |
(1-43) |
Тогда уравнение (1-40) подстановкой (1-43) приводим к уравне нию
1 + 4- |
Т\{х) |
d*T2 (X) |
+ 1 2 - ■Tl(x) |
dT2 {x) |
|
dx2 |
dx |
||||
|
|
|
|||
|
|
cnP |
[ T i ( x ) - T t ] , |
(1-44) |
|
|
|
KXF |
|
|
решение которого ищем при следующих граничных условиях:
|
Т, (0) = |
Тв » |
Т0; |
|
(1-45) |
||
Q |
|
ч |
dT1 (х) |
|
|
||
|
= const. |
|
|||||
F |
|
dx |
|
|
|||
|
|
х=0 |
|
|
|||
Обозначив Ѳ — Т2(х)/Тв,‘ z = x/L, |
запишем (1-44) как |
|
|||||
Ѳ" |
ЬѲа |
|
|
|
â — сѲ^ |
0, |
(1-46) |
|
. (Ѳ')2------2---—— = |
||||||
1 + а Ѳ 3 |
|
|
|
1 + аѲ3 |
|
|
|
2. Зак. 1208 |
|
I |
•нлуч '■ о-ѵс.хнН'Г’ е.- |
I |
17 |
||
|
|
/ |
|
||||
|
|
’s |
|
|
ОС |
|
где, согласно |
(1-44), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а = |
4бсп Тн/Я2; |
b — За; |
|
||
|
|
|
с = cnPL2Tfy\F; |
d = cQt. |
|
|||
Введя обозначения f(y) = ЬѲ2/(1 -j- а©3); |
h (у) = (d — сѲ4)/(1 + |
|||||||
-г аѲ3); |
у = © |
и используя подстановку у' = р(у), |
уравнение |
|||||
(1-46) сводим |
к |
уравнению |
типа |
Абеля |
[23] pp' -|- f (у) р2+ |
|||
-f h (у) = |
0 или |
p' + f {у) р + h (у)/р = 0, |
которое дальнейшей |
|||||
подстановкой и (у) = р1 приводим к виду |
|
|
||||||
|
|
|
«' + 2 f(y)u = g(y), |
|
(1-47) |
|||
где 8 (У) = 2 (св4 — d)/(l |
-f аѲ3). |
|
|
|
||||
Решение, согласно [23], ищем в виде |
|
|
||||||
|
и = |
ехр [— F (г/)] |
[Сх + J g (у) exp F (у) dy], |
(1 -48) |
||||
где F (у) = J |
2/ (у) dy = 2 ln (1 + ay3). Откуда получим |
|
||||||
|
и (У) = |
( Сх + |
-§- сг/5 — 2dy + - j- дсг/8— |
|
||||
|
|
|
V |
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ady* ) / ( 1 |
+ <и/3)2 |
(1-49) |
или с учетом обратных подстановок
(1-50)
Следовательно, распределение температуры в поверхностном слое получим в виде, аналогичном (1-12):
(1 + a©3)d© |
— * + С2. |
|
С .+ ^ с Ѳ * - ■2d® + 1 |
||
асѲ8----2" |
(1-51)
Как видим, и в этом случае закон распределения темпера туры в явном виде найти не удается (следует заметить, что при 6->-0 формула (1-51) асимптотически переходит в (1-12)). Однако, поступая подобно предыдущему, так же оказывается
возможным обойти операцию интегрирования (1-51) |
и после |
|||||
дующего обращения ряда. |
|
|
дошедшее до конечного |
|||
Действительно, поскольку все тепло, |
||||||
сечения (х = L; z = 1), |
излучается, |
то, |
допуская |
dT1(L)ldx — |
||
— dT2(L)/dx, получим |
|
|
|
|
|
|
dQ = - KF |
f |
) |
= cnT* F (ѲІ - |
©о). |
(1-52) |
|
L |
\ dz |
/г=1 |
|
|
|
|
18