книги из ГПНТБ / Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности

dr2

4. _ L . cK i rl +

А [Г4 (/■) — Г4] = О

(2- 1)

г .

dr

где искомое решение Т(г)

и Т0 больше нуля и А>0,-

Поскольку получение точного

решения уравнения (2-1) в

аналитическом виде представляет

существенную

сложность

[23], в практических расчетах

прибегают к

всевозможным

приближениям,

в частности к уже

описанной

замене закона

замены нелинейное

дифференциальное уравнение (2-1)

сво­

дится к линейному уравнению

агт{г)

-------- ^

- ± А 11 Т ( г ) - Т 0] = 0 ,

(2- 2)

dr2

г

dr

решению уравнения (2-1).

_

Заменой переменных х = г У А (2-1) приводится к виду

.

X

+ Г4 (х) = ± Т\,

(2-3)

dx2

dx

и" (х) — — и' (х) ± и"1(х) = f (х),

(2-4)

X

к которым, в частности (при т= 1), относится и

уравнение

Бесселя нулевого порядка.

— (х? — \ + х° ит= 0.

(2-5)

dx \ dx ) ~

и" -!- — иг ± ит ■= f (х)

(2-6)

и” + — и’ + ит = 0,

(2-7)

и" -I- — и' — ит = 0

(2-8)

z

получается из (2-7) заменой переменных z^ ix ,

поэтому перей­

ния (2-7)

в виде бесконечного ряда

со

00

И (х)

=

2

°кХк = ы° +

2 йкХ!і

(2-9)

Ä=0

k—\

и попытаемся определить неизвестные коэффициенты ак.

Для упрощения последующих выкладок будем

считать, что

и0 = 1 .' Это нисколько

не

уменьшает

общности

рассуждений,

так как уравнение

(2-7)

заменой и = и0Ѵ и z =

х ] / и'*~1

приво­

дится к уравнению

V" -)— — V' -j- V"1= 0

(2-10)

z

с начальным условием V (0) =

Ѵ0=

1.

Представив,

таким образом, решение (2-7) в виде ряда

и (х) =

1 + 2

акхк,

(2-11)

будем иметь

к—1

оо

оа

и' (х) — V

/га^Д“1;

и" (х) =

^

k (k — 1) akxk~2

(2-12)

ft=l

к=2

и, согласно формуле бинома Ньютона,

1+ Сш

00

п _і_ Г2

00

00

=

2

2

а^ + * "

1

a,iX

1 V-Wt 1

00

п—1

2=i

00

anXn 2

djX’ • • • 2

asxs =

2

« /

(2-13)

Л=1

/=1

S=1

ft=0

а 0 — 1> ак —

к—1

k—2 /г—І—

-|- Ст2

апак-п

! ^"12

0,12

я=1

п=1

/=1

к—т+1 к—ш+2—п

к—1—n—j-----

• • • + О,!

2

ап

2

аі'

' '

2

asak—n—j------ s •

(2-14)

п=1

/=1

s=l

Действительно, из .бинома Ньютона

(1 + 2

а-х'1)"! = [ + с гп 2 а»хП+ с "‘

2

а* 2

+

П=1

П=1

П=1

/=1

+ 2

^

2

öj ’ 2

ЯгЛ:1+ / + л + ■

•• +

Cm 2

йп2 ^ ’

П = 1

/ = 1

І = 1

/ ! = 1

/ = Г

...

2 « s2

a^

+s+’"+/+"

(а)

S = 1

< = 1

где Cm— число сочетаний из т по /.

сте­

Найдем выражения для коэффициента при А-ой (/г > 1)

пени X в (а).

Коэффициент

при

хк во

втором

слагаемом

(а),

очевидно,

равен Сmahl . Для того чтобы

найти аналогичный

ко­

вием

(б\

j + n = k,

п= 1

Из условия

І -|—j -}- Д — k

(в)

принимать только те значения,

которые

ведут

к

равенству

i+ j = k — п, т. е. каждому

/

соответствует

единственное

i=.k — п — /. Далее,

поскольку

1, то j

может

изменяться

только от 1 до

(k — п — \), а п

(так как и

/ ^ 1

и

1) —

только от 1 до

\k — 2), откуда следует, что коэффициент при

к—2

k—n—l

хк в четвертом слагаемом (а)

равен Ст^’

а п

2

а^к-п-і-

Я=1

/= 1

Рассуждая аналогичным образом и далее, нетрудно найти

коэффициенты при хк в каждом слагаемом (а),

а с ними и все

выражение для коэффициента при k-он

(k ^ m )

степени х:

к—1

ft—2

ft—л—1

& к — Ст ßfe + Cm

+

Cm

^ j ^ h - n - i

+

• • •

n = l

л=1

;=1

ft—m+1

ft—m + 2 — n

k-l—n—j-

a,

2

aj

■■

V

üflh-n-j-.

- t

•

(Г)

jieesi

Л = 1

/=i

/=1

Заметим, что если k < т, то

последние

т — k -j-1

слагае­

мые в (г) равны нулю.

и (2-13) в (2-7), получаем

Подставляя далее (2-12)

2 k (k - 1 ) ahxk~'+

2

k a ^ + 2

« кл*+1 = 0 ,'

(2-15)

к=2

к—1

/;=0

°і == 0; а2 =

; ан= — ^ ~ .

(2-16)

£4

0; о5 =

3*

fl2„+1 =

0,

А=0,

1, 2,

3, ...

(2-18)

Таким образом, искомый ряд имеет вид

и (X) = 1 -

- 1 X2 +

У ]

a2hx^,

(2-19).

где

/с.—2

h—m

1

! C,na2h_2 — Ст 2

а2па2/і-2п-2

2 ai

агк

• ■♦ "1" ^/;i

1

/1=1

ti=1

к—т+1—п

Ä—2

■

2п—...—2^

1

j

X

2

S—1

(2k f

/=і

k = 2 , 3, 4,

. . . ,

3. Зэк: 1208

33

u (z) = і— — ( -

izf +

2 ^

aih (- iz)a* = l + —

z2-!-

22

- I -

V

( - 1

fa,hz^,

( 2 - 2 1 )

k=2

где a2k

(A = 2,

3, 4,...)

— коэффициенты ряда (2-19).

Из

(2-19),

(2-20)

и

(2-21) нетрудно видеть, что при т —1

Действительно,

при k = 1

ao;, = а, = ------- < 0 ;

при /г =2

22

а . =

а

— -------__ — С„;аа_ _

42

о. Учитывая далее,

2,‘

4

.

42

а.2к (k >

64

что

коэффициенты

3)

вычисляются по

рекуррентной

а-ік =

(— 1)/г (Cm а2к-2 -г С;„ ^

а'ы а'2к__2п_ 2 -|- . . .

+

С,и X

п=1

к—т

k—2—n—j—,,.

X 2

а?п ■■■

2

a2sa2k-2n-...-2)

т

2

( - і ) 'Ч * ;

1

s= 1

(2-22)

00

со

и (X) = 1— —

Л'2 +

^

а2кх*к = 1 — -L X* +

2 (—1)* ß2A

к = 2

А’= 2

(2-23)

Ц (г) = 1+ —

г2 +

/ г = 2

( - l ) fc a2hz%k = 1 + - 1

г-

£

а-2кZ2fe-

к = 2

(2-24)

Докажем теперь, что радиус сходимости R(ni)

ряда (2-24),

а следовательно, и ряда

(2-23)

для т = 2, 3, 4 по крайней мере

не меньше единицы.

из выра­

Поскольку коэффициенты а'к строго больше нуля,

жения (2-22)

нетрудно видеть,

что начиная с k = 2

а'г>к{т—4)>

> а'2к (т — 3) > а'0к (т= 2) и, значит, сходимость ряда (2-24) при

т = 4

влечет за собой сходимость его при т = 3 и /?г = 2 и Д (4)<

Д

(3) .< Д (2). Доказав таким образом, что радиус сходимости

ряда

(2-24) при т = 4 не меньше единицы, мы тем самым дока­

жем это и для т =3 и т =2.

(2-24) при т =4:

Найдем первые пять коэффициентов ряда

т(т —1)

fl2 = 22 ’

1

, -

4 2

> ßs —

62

0,625

6 2

з»

35

та' + in (in — 1) а' а +

m(ni—1) {in --2)

3!

as”

82

168

576

0,32

83

82

та’ + tn (т —1) а’ а0’ -|-

т (т —1) а,

+

2!

гт{т —1) {т—2)

,=

,

т{т — 1) ( т —2) {т—3)

2!

---------

а2 а4 '1-------------------------------------------------------а2 I

X

1

0,147

4!

X

ІО3

~

ІО3

1

Легко видеть,

что при

k' <

5

а\к, <

. Использовав

далее метод математической индукции,

(2/е')3

что при к >

5

покажем,

также аок <

1

2

т

5.

Предположим,

что

дтя

к <

k' выпол­

Зафиксируем k' >

няется соотношение а.ѣ Л 1/(2/е)3 и докажем,

что в этом предпо­

ложении a’2k, <

1/(2А')3- Согласно (2-22),

fc'- З

k ' — з

a 2 k ' (m = 4 ) = [ C * Я2 * ' - 2 + C * 2

a '2 n a 2 k ' - 2 n - 2 + C 4 2

a 2 ' l X

n = 1

П—1

k ' — 2— n

1

k ' ~ A

k ' —3— n

X

2

P

2

<4

2

4 ,

X

%

a 2k ' - 2 i - 2 ]

(2k')2

/=1

n=i

/=1

k ' —2—n —/

1

(2-25)

*

2

a 2 i

a 2 k ’— 2 n — 2 j— 2 i

(2k')2

i=l

Считая,

что k'

> 6,

оценим каждое

слагаемое в числителе

выражения

(2-25):

1 •

7^1 ~

С4 &2k'

2 ~

2k'

2^

[ 2 ( Ä ' - l ) j 3

2-

А'2 ~

С? 5

<

а**'-**-*< С і 2

(2я)3 X

V

к'--

,

X

п —I)]2

6

у ч

I

(k'— /г —I)2

[2 (А'—

2'1

я3

23 (k' — l)2

n*(k' — n — \y

-

X

23 (k' —l)2

1

f

k ' - \

k ' — 2

k '—1

X

n-

\k ’ — n —1

+

2

X

n = 1

X

<

[-f]-

22+

{

Jmt

n?

(Ä' — /I —l)a /

23 (k' — l)2

k ' —2

1

[-5 4 - ,

+

s

2*1 =

2

n'-

2 (k’ — 1)°-

(ft' — n — l)2

■

/ 1=1

[-f]

, [ * ] -

. y i

(k’—

1

1_

3

Г у ч _L _ i_

:

2 j

n — l ) 2 J

2 (k’— l ) 2

\ j<Ji

n-

.

n — k ’—2

/2 = 1

У

1

•

V

l x

V

-

- > <

i=1

l-\

2 (k'—

l ) 2

2 j

,i2

1 2 j

4

/1=1

i=1

3

/ яЯ2“

,

яn“2 \

я2

2 (k '— \)-

\~6~

T

2(k’ — 1)*

3

/г'—2—n

fc'-3

3. A, = C4

a 2 n

j

a 2 j a 2 k '— 2 n - 2 j -

V

X

/1=1

/=1

n=i

k ’— 2— n

1

1

. * '- 3

X

L ^

4

X

[2

1

1^

П.-

(2/)2

150

i

k ' — 2— n

1

1

X

O

i

2

X

S

/ 2

( Ä ' —

— / — l ) 2

. 2 4

/ г 2 ( £ ' — / г — 1 ) !

/=i

,

ft'~3

1

k ' — 2— n

(fe' — /г—l)2

<4 УІ4-

X

У!

X

j2 (k' — n — / —l)2

/= 1

24

n — 1

n2

(/e' — n —l)2

x 2 « -5 1 = -ü1 V

1

(k' — n — \y-

12 (k'— l)2

X

3

12

UU

n?

n = l

v

'

fc'-3

(k' —

l ) 2

JT2

Ш

-

X £

s

- i

X

пҢк' — п — l)2

12 (Ä' —-1)

n = l

n =l

k'— \

k ' — Z

k '— \

V

1

X

s

<

k'— n — 1

k' — а —г

“

[■f]

[

4

4 -

■

,

Ш

я 22 2

(

Y

1

i

V

1

1 2

(k' —l ) 2

1

ZU

n = k ' —3

(k' — II— l)2

I f

]

*

'

- m

-

It'

2

<

X

3 (k’ — 1)*

fc=l

I I -

/2

3(Ä'—l)2

/=2

X У

1

oo

JT2

я-

4r-tJ! -

- 1

=

/I-

+

V ,

3 (ä' —1)E I 6

n = 1

1 = 2

л2 (2л2 —6)

18 ( k '- -ir-

k ' — 4 k ' —3—n

k ' —2 —n—/

c l V

» ,

V

« ,

u u

/1 = 1

/=i

i= I

k ' —4

1

1

k ’— 2 — n — f

V i

X

ZU

(2/г)2

(2/)2

/“ I

І = 1

( 202

/2=1

,

k ' — 4

k ' —3—л

X

[2(*' — /г — / — г —

1)J!

1

V

-

V

— X

2s

Z u

/г2 UU

у

Л = 1

/=і

2—n

/

1

1

k ' —4

1

X

. 1

2

(k' — П — /

— 1; —l)2 ^

2s 2

— X

l 2

‘

/г2

£=I

/1=1

/г'—3—/г

к’- і ,

! 1

1

2 * n *

■Л2

V 1

/=1

/*

(k' -

Я

-

/ -

1 )

2

3

2B-3

Zu п

г