Тензорная функция Грина, Яцук
.pdfОСНОВЫ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗЛУЧЕНИЯ И РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН.
Следует учесть, что задача электродинамики, как правило, сводится к решению уравнений, вытекающих из однородных и неоднородных уравнений Максвелла. Отыскание собственных колебаний в системе связано с решением однородных уравнений, задачах излучения и рассеяния электромагнитных волн приходится иметь дело с неоднородными уравнениями, в которых фигурируют источники поля в виде функций распределения плотности электрического и
магнитного токов j э и j M . Для определения искомого поля в общем случае надо решать шесть связанных дифференциальных уравнений в частных производных относительно шести компонент электрического и магнитного поля. Эта сложная задача упрощается введением вспомогательных
электрического Πэ и |
магнитного ΠM векторов Герца, |
удовлетворяющих |
||||||||
неоднородным уравнениям Гельмгольца: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ΔΠэ(М ) + k 2Πэ(М ) = |
j э(М ) |
. |
|
|
(1) |
||
|
|
|
iωε (μ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
и |
далее ε |
и μ, соответственно, диэлектрическая |
и магнитная |
||||||
проницаемости |
среды, |
k =ω |
εμ = 2π λ |
- волновое число, |
ω– |
круговая |
||||
частота, λ– |
длина волны, |
i – мнимая единица; в знаменателе в правой части |
||||||||
уравнения (1) стоит либо ε , либо μ. |
|
|
|
|
|
|||||
Если |
источником |
поля |
является электрический |
ток |
j э, |
векторы |
электрического и магнитных полей Ε и Η находят с помощью электрического вектора Герца Πэ:
Ε = graddivΠэ + k 2Πэ;
(2)
H = iωεrotΠэ.
Если поле возбуждается магнитным током, для определения векторов Ε и Η используют магнитный вектор Герца ΠM :
Η = graddivΠM + k 2ΠM ;
(3)
Ε= iωεrotΠM .
Вобщих случаях для определения полей Ε и Η необходимо сначала решить уравнение (1).
2
Необходимо отметить, что в ряде случаев (например, при решении двумерных задач, когда вариация поля по одной из координат равна нулю) уравнения Максвелла могут быть сведены к скалярному уравнению Гельмгольца относительно одной из компонент поля, с помощью которой могут быть найдены остальные компоненты. Запишем это уравнение относительно некоторой скалярной функции ψ (r ) в виде
ψ (r )+ k 2ψ (r )= −4πρ(r ), |
(4) |
где ρ(r )- известная функция, однозначно связанная с плотностью источника
поля. От векторного уравнения (1) к скалярному (4) можно перейти, если условия задачи позволяют расписать его по компонентам в декартовой системе координат.
Из всего сказанного выше ясно, как важно уметь решать скалярные и векторные уравнения Гельмгольца. Одним из наиболее эффективных методов решения неоднородного уравнения Гельмгольца является метод функции Грина. Теория функции Грина систематически изложена в монографии [1] и ряде советских и зарубежных авторов [2-5].
Вопросы и упражнения.
1.Какие вспомогательные векторы вводятся для упрощения решения уравнений Максвелла, каким уравнением они удовлетворяют?
2.Как выражается поле Ε и Η с помощью электрического и магнитного векторов Герца?
3.Какой метод чаще всего используется для решения неоднородного уравнения Гельмгольца?
4.Распишите по компонентам векторное уравнение Гельмгольца в декартовой системе координат
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРИНА
В соответствии с определением, данным в [1], функция Грина является ядром интегрального оператора, преобразующего в решение плотность распределения внешних источников и (или) граничные условия. Если источники и решения являются скалярными функциями, то функция Грина – тоже скаляр. Если рассматриваются векторное поле и породивший его векторный источник, то функция Грина должна быть тензором, поскольку именно тензор преобразует один вектор в другой.
3
Свойства скалярной функции Грина
1.Скалярная функция Грина (обозначим ее G (rr′) удовлетворяет
такому уравнению:
G(r r′)+ k 2G (r r′)= −4πδ (r − r′), |
(5) |
где δ (r −r′) - дельта-функция Дирака, r и r′– радиусывекторы двух точек.
Физический смысл функции Грина следует из самого вида уравнения (5), которое получается из (4), если в последнем в качестве функции распределения плотности источника везде равна нулю, за исключением единственной точки r = r′, где она образуется в бесконечность. Следовательно, G (rr′) есть поле в точке r , возбужденной точечным источником, расположенным в точке r′.
2.Функция Грина инвариантна относительно взаимной замены
координатr и r′,
• |
В трехмерном случае при |
r − r′ она стремится к бесконечности, |
как1 r −r′ ; |
|
|
• |
В двумерном случае – как 2ln |
r − r′ ; |
• |
В одномерном случае функция Грина непрерывна в точкеr = r′, но ее |
производная первого порядка здесь терпит разрыв первого рода.
Свойства тензорной функции Грина
1. Тензорная функция Грина (обозначим ее G (rr′) удовлетворяет тензорному уравнению Гельмгольца
G (r r′)+ k 2G (r r′)= −4πI δ (r − r′), |
(6) |
где I -единичный вектор.
2.Функция G (rr′) – это симметричный тензор второго ранга,
определяемый девятью компонентами. Симметричность тензора обеспечивается выполнение равенства
F (r )G (rr′)=G (rr′)F (r ).
4
Наличие девяти компонент обусловлено тем, что каждая компонента векторного источника может породить три компоненты поля (3х3=9).
3.Все компоненты тензорной функции Грина G (rr′)
характеризуются также свойствами, определенными в п.2 и 3 для скалярной функции Грина.
4. Самым важным свойством функции Грина, как скалярной, так и тензорной, является то, что с их помощью можно получить решения соответствующих уравнений Гельмгольца.
Вопросы к теме
1.Каким уравнением удовлетворяют скалярная и тензорная функции Грина?
2.Что такое дельта-функция Дирака?
3.Каков физический смысл функции Грина?
4.Какими особенностями характеризуются трехмерная, двумерная и одномерная функции Грина?
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
СПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА
1.Решение скалярного уравнения (4) в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , может быть представлено в следующем виде:
ψ (r )= ∫ρ(r )G (rr′)dv′+
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
1 |
|
∂ψ (rs' ) |
|
|
|
) |
∂G (r r′) |
|
||||
|
∫s |
|
|
' |
′ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|||||
+ |
|
|
|
|
−ψ |
r |
|
|
ds . |
|
|||
4π |
|
∂n |
|
∂n |
|
||||||||
|
|
|
( s |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь индекс S у радиуса– вектораrs′ обозначает, что точка интегрирования
расположена на поверхности S , n – орт внешней нормали к поверхности S . Для получения выражения (7) необходимо было выполнить следующие
операции: уравнение (4) умножить на функцию G (rr′), уравнение (5)– на
ψ (r ), вычесть полученные равенства одно из другого, произвести взаимную
замену координат r и r′, проинтегрировать результат в объеме V по штрихованным координатам и, воспользовавшись вторым тождеством Грина [1], перейти к полученному выше окончательному результату.
2. Решение векторного уравнения (1) получают аналогичным образом,
5
рассматривая его совместно с уравнением (6). Однако здесь приходится пользоваться не вторым тождеством Грина, а его векторным аналогом [1]. Поэтому окончательный вид решения оказывается несколько более сложным, чем решение (7) скалярного уравнения Гельмгольца:
Πэ(м) (r )= |
1 |
∫ j э(м)G (r r′)dv + |
|
||
|
4πiωε (μ) v |
+41π ∫s {n G (rrs′)divΠэ(м) (rs′)−nΠэ(м)divG (rrs′)+
+nG (rrs′) rotΠэ(м) (rs′)− nG (rrs′) rot G (rrs′)}ds′.
Второе тождество Грина
|
|
|
|
ϕ |
∂ψ |
−ψ |
∂ψ |
||
∫(ϕ ϕ −ψ ϕ)dv = ∫ |
|
∂n |
|
ds. |
|||||
v |
|
|
s |
|
|
|
∂n |
||
Векторный аналог второго тождества Грина |
|||||||||
∫(E |
F − F |
E )dv = ∫{EndivF − FndivE + |
|||||||
v |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+n ErotF |
−n FrotE }ds, |
|
|
|
|||||
где Ε, F - векторные |
функции координат, |
|
n - орт |
внешней нормали к |
|||||
поверхности, ограничивающий объем V . |
|
|
|
|
|
|
|||
Данное тождество обобщается также на случай, |
когда одни из векторов |
||||||||
является тензором. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение
Проделайте все промежуточные выкладки для получения выражений (7) и (8), пользуясь данными в настоящем разделе методических указаний /пп.1,2/
6
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА Надо подчеркнуть, что как в скалярном, так и векторном случаях,
решение соответствующего уравнения Гельмгольца представляется суммой объемного и поверхностного интегралов. Подынтегральные выражения поверхностных интегралов содержат граничные значения искомой функции и ее производных, которые должны быть заранее известны. Разумеется, это ограничивает круг решаемых задач или существенно усложняет получение решения. Если граничные значения искомой функции заранее не известны, равенства (7) и (8) превращаются, по сути, в интегральные уравнения, решение которых - задача не менее сложная, чем решение искомых дифференциальных уравнений.
От поверхности интегралов в рассматриваемых выражениях можно избавиться, специальным образом подбирая функцию Грина. Если функция Грина удовлетворяет на поверхности S тем же однородным граничным условиям, что и искомая функция, поверхностные интегралы исчезают благодаря тому, что подынтегральные выражения в них обращаются в нуль. Сформируем граничные условия для функций Грина таким образом, чтобы решения уравнений Гельмгольца определялись только Объемными интегралами.
Скалярная функция Грина В случае скалярного уравнения Гельмгольца характер граничных условий
весьма прост: на идеально проходящей поверхности искомая функция, как правило, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле
(ψ (rs′)= 0) или Неймана (∂ψ (rs′)∂n = 0). Тем же условиям должна удовлетворять и скалярная функция Грина G (rrs′)= 0 или ∂G (rrs′)∂n = 0.
Тензорная функция Грина В случае векторного уравнения Гельмгольца граничные условия гораздо
сложнее, поскольку их надо формулировать отдельно для тангенциальных и нормальных компонент искомого поля.
Векторные уравнения Гельмгольца (1) записаны относительно электрического и магнитного ве5кторов Грина, которые на идеально проводящей поверхности должны удовлетворять тем же граничным условиям, что и соответственно векторы электрического и магнитного полей. В этом можно убедиться, анализируя выражения (2) и (3),
7
следовательно, для электрического вектора Герца Πэ граничные условия на идеальном металле можно записать в таком виде:
n,Πэ (rs′) = 0; (9) divΠэ (rs′)= 0.
Первое условие очевидно, поскольку оно отражает поведение тангенциальных компонент электрического поля. Второе условие при отсутствии сторонних зарядов и однородном диэлектрическом заполнении области V непосредственно вытекает из материальных уравнений Максвелла.
Граничные условия для магнитного вектора Герца формулируются так:
|
(n,ΠM (rs′))= 0; |
|||||
|
|
|
M |
′ |
|
(10) |
|
|
= 0. |
||||
|
n,rotΠ |
|
(rs |
) |
||
Здесь первое условие отражает тот факт, что на идеально проводящей |
||||||
поверхности |
нормальная |
составляющая вектора магнитного поля, а |
следовательно, и магнитного вектора Герца, равна нулю. Второе условие требует равенства нулю тангенциальной составляющей электрического поля (см. (3) второе равенство).
Таким образом, для электрической и магнитной функции Грина следует формулировать граничные условия, аналогичные условиям (9) и (10).
Возникает вопрос, каким же образом построить функцию Грина, являющуюся тензором и удовлетворяющую заданным граничным условиям.
Вопросы и упражнения
1.Какова структура решения неоднородного уравнения Гельмгольца, полученного в самом общем виде с помощью функции Грина?.
2.Напишите граничные условия, которым удовлетворяют тангенциальные и нормальные составляющие электрического и магнитного полей на идеально проводящей поверхности.
8
ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЗОРНОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
1.Метод построения Грина Необходимо знать, что при построении функции Грина для замкнутых
областей правильной формы (когда составные части граничной поверхности совпадают с участками координатных поверхностей) обычно используются метод собственных функций. Тензорную функцию получают путем тензорного перемножения векторов. В качестве перемножаемых векторов используются собственные векторные функции уравнения Гельмгольца и неизвестные векторные коэффициенты разложения.
2. Трехмерные собственные векторные функции Полная система полных векторных функций построена в шести из
известных одиннадцати ортогональных систем координат с разделяющимися переменными: в прямоугольной системе x, y, z трех цилиндрических (круговой, эллиптический и параболический цилиндры сферической и конической [1].
В наиболее употребляемой цилиндрической системе координат вид этих функций таков:
|
|
L(r )= gradϕ(r ); |
|
||||
|
|
M (r )= rot (z0ψ (r )); |
(11) |
||||
|
|
N (r )= |
|
1 |
rotrot (z 0 χ(r )) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k |
|
||
Коэффициент |
1 |
введен для |
сохранения размерности |
функции, орт z0 |
|||
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
направлен вдоль оси цилиндрической системы (в случае декартовой системы роль z0 могут выполнять также орты x0 и y0 ).
Скалярные функции ϕ(r ),ψ (r )и χ(r ) удовлетворяют идентичным уравнениям Гельмгольца. Запишем одно из них для функции ϕ(r ):
ϕ(r )+ k2 (ϕ)(r )= 0 |
(r ), |
(r )и |
|
(r ) |
(12) |
|
Граничные условия для функций ϕ |
χ |
диктуются |
||||
ψ |
|
|
граничными условиями, которым должна удовлетворять собственные векторные функции (11). Последние подчиняются тем же граничным условиям,
9