Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теория

Элементарные операции

1) “перестановка” i

j 2) “умножение” α³ k 3) “сложение” i + j

не изменяют характера системы векторов:

линейно независимая (зависимая), полная (неполная) и, как следствие, базисная (небазисная). Из 2), 3) следует, что к любому вектору можно прибавить линейную комбинацию остальных.

Метод Гаусса представляет собой последовательное применение к системе векторовстолбцов (строк) элементарных операций, с целью преобразования ее к “диагональному” виду, в котором соответствующее свойство становится очевидным. Отметим, что для выяснениямногихвопросовдостаточнопроведения“половины” преобразований, приводящих систему к “треугольному” виду (неполный метод Гаусса).

№ 2.1.

Элементарные операции удобней проводить с векторами-строками (напоминает привычное сложение/вычитание целых чисел в столбик). Поэтому развернем векторы-столбцы в строки и составим из них матрицу. Метод Гаусса (неполный) позволяет привести матрицу с помощью элементарных операций над строками к “треугольному” виду.

Если в процессе преобразований появится нулевой вектор, то преобразованная система (вместе с исходной) линейно зависима. При этом на соответствующем месте в исходной матрице стоял вектор, являющийся некоторой линейной комбинацией остальных.

Если нулевой строки не появится, то придем к “треугольной” системе векторов, являющейся линейно независимой вместе с данной.

			1						1					1
a	1	=	1 ,		a	2	= 2			,	a	=	4
	1		3			2			3		3			3
			1						3					7
			1						3					7

		a1	1 1 3					1			~ a2			a	1	= a1
A = a2			1 2 3					3			~ a2		−a		1	= a2
		a		1 4 3				7				a	−a		1	= a
		3										3			1	3

a3 = a3 −3a2 = (a3 − a1 )−3(a2 − a1 )= 0

Замечание. Проверим

	a	1		1	1	3	1
A = a2			= 1		2	3	3
	a	3		1	4	3	7
		3

1	1	3 1		~	a1	= a1 1	1	3 1
0	1	0	2	~	a2	= a2 0	1	0	2	= A
0	3 0		6			0	0 0		0
					a3 −3a2 = a3

2a1 −3a2 + a3 = 0 ( a3 = −2a1 + 3a2 )

					1		1		1			2	1	−3	1	+1	1
2a	1	−3a	2	+1a	= 2 1		−3 2		+1 4		=	2	1	−3	2	+1	4	=	= 0
	1		2	3		3		3		3		2	3	−3	3	+1	3
						1		3		7		2	1 −3 3 +1 7
						1		3		7		2	1 −3 3 +1 7

№ 2.2.

Линейной оболочкой векторов {a }={a1, ... , ak , ... , am } называется множество всех линейных комбинаций

L = Lin{a1, ... , ak , ... , am

Линейная оболочка Lin{a1, ... , ak , ... , am } векторов, очевидно, полна в нем (а если и

}={b = ∑αk a k } En

k =1

- подпространство в En , а сама система

линейно независима, то образует базис)

Для нахождения базиса и размерности линейной оболочки L системы векторов, построим матрицу, строками которой являются векторы данной системы. С помощью метода Гаусса (неполного) приведем матрицу к “треугольному” виду.

Если в процессе преобразований будут появляться нулевые векторы, то удаляем их

(“пропалываем лишние”)

В конечном итоге придем к “треугольной” подсистеме векторов, являющейся с одной стороны полной вместе с данной системой, но уже линейно независимой, а значит, образующей базис в L . Строки, стоящие в исходной матрице на соответствующих местах, образуют базис в L , а их число (т.е. число ненулевых строк в преобразованной матрице) равно dim L .

№ 2.2. a.

−2

−5

1 −1

−2

−1

3 ,

= 6

A = a2

−2 3

−2

−1

−2

−8

−5 6 4 2

−1

−4

1 0

−8

−4

1 −1

−2

−1

1 −1

−2

−1

1 −1

−2

−1 a1

A =

−2 3

−2

−1

0 1

−6

−3

±0 1

−6 −3 a

= A

−5 6 4 2

0 1

−6

−3

0 0 0 0

1 0

−8

−4

0 1

−6

−3

0 0 0 0

преобразованной

методом

Гаусса

матрице

A~ A

строки

a1, a2 , образуя

“треугольную” систему,

линейно независимы, а строки

a3 = a4 = 0 .

Следовательно,

соответствующие строки a1, a 2 исходной матрицы линейно независимы,

а строки a3 , a4

являются некоторыми их линейными комбинациями (см. № 2.1.), так что

L =Lin{a1, a2 , a3, a4 }=Lin{a1, a2 , a3 =0, a4 =0 }=Lin{a1, a2 }=Lin{a1, a2 }

dim L=2

причем система { a1, a2 } образует базис.

№ 2.3.

Сумма двух подпространств, заданных как линейные оболочки

L1= Lin{a1,

a2 , ...},

L2 = Lin{b1,

b2 , ... }

является линейной оболочкой объединенной системы

L = L1 + L2 = Lin{{a1, a2

, ...} {b1,

, ... }}

1 −1 ±2 −1 −1

−1

−3

A =a

2 −1 7

−3

−2

−1

−3

−6

1 1 7 2

±2

2 −3 2

−6

−5

−1

−2

−5

−1 2

−1

1 −1 2

−1 −1

1 −1 2

−1 −1

1 −1 ±2

−1 −1 a

A =

−1 7

−3

−2

0 1 3

−1 0

0 1 3

−1 0

0 1 3

−1 0 a

= A

1 1 7 2 2

0 2 5 3 3

0 0 −1 5 3

−3 2

−6

−5

−1 −2

−4

−3

0 0 1

−5

−3

0 0 0 0 0

В преобразованной методом Гаусса матрице			A~ A		строки	a1,	a 2 , b1 , образуя
“треугольную” систему, линейно независимы,				а	строка	b2 = 0 .	Следовательно,
соответствующие строки a1, a 2		, b1 исходной матрицы линейно независимы, а строка b2 ,
является некоторой их линейной комбинацией (см. № 2.1.), так что
L = Lin{a1, a 2 , b1, b2 }= Lin{a1, a 2 , b1, b2 = 0				}= Lin{a1, a 2 , b1 }= Lin{a1, a 2 , b1 }
причем	система {a1, a 2 , b1}	образует базис	в	“объединенной” линейной оболочке
векторов	Lin{a1, a 2 , b1, b2 },	в которой вектор		b2	“лишний”. Итак,

dim (L1 +L2 ) =3

№ 2.4.

Разобьем матрицу A размерности m×n

- на m строк p1, ... , pi , ... , pm Rn “длины”

-на n столбцов q1, ... , q j , ... , qn Rm “высоты”

a11

...

a1 j

...

a1n

...

A = p

...

i j

...

i n

...

m j

...

m 1

m n

m 1

n
m
...	q j		...	qn
...	a1 j		...	a1n

...	ai j		...	ai n
				a
...	a		...	a
		m j			m n
		m j			m n

Рангом (строчным / столбцевым) матрицы A называется максимальное число линейно независимых строк / столбцов, т.е. размерность линейных оболочек строк / столбцов.

Теорема

dim Lin{ p1, ... , pi , ... , pm }= dim Lin{q1, ... , q j , ... , qn }

Общее значение размерностей называется просто рангом матрицы rang A .

Для нахождения ранга матрицы, приведем ее методом Гаусса (неполному) с помощью элементарных операций над строками к “треугольному” виду. Число оставшихся

ненулевых строк равно dim Lin{ p1, ... , pi , ... , pm }= rang A , а сами строки (точнее

строки, стоявшие в A на соответствующих местах) являются базисными. Базисные столбцы - это столбцы “треугольного” блока (точнее столбцы, стоящие в A на соответствующих местах).

q1 q2 q3 q4 q5 q6

1 3 −2 2 3 1

1 3 −2 2 3 1 p1

−2 −6 4

−4 −6

−2

0 0 0 0 0 0

A = p2

1 3

−1 1 3

−1

0 0 1

−1 0 −2

0 0 1

−1 0

−2

p2 = A

2 6 −3 3 6 0

0 0 1 −1 0 −2

0 0 0 0 0 0

q q q

q q

В преобразованной методом Гаусса матрице A~ A строки

p1, p3 и столбцы q1, q3 ,

образуя “треугольные” системы, линейно независимы, а строки

p2 , p4

(= 0)

и столбцы

q2 , q4 ,

q5 , q6

являются некоторыми их

линейными

комбинациями.

Следовательно,

соответствующие

строки

p1,

и столбцы q1,

исходной

матрицы

линейно

независимы, а

строки

p2 ,

столбцы

q2 , q4 ,

, q 6

являются

некоторыми их

линейными комбинациями, так что

rang A = 2 , базисные строки и столбцы - { p1,

p3 }

и { q1,

q3 }

3.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

№3.1. Найти решение систем с 2мя неизвестными и дать геометрическую интерпретацию.

a.	x −2 y =1		b.	x −2 y = 1		c.	x −2 y = 1
	2x	−3y =3		2x −4 y =2			2x −4 y =0

a.	x −3y =−2		b.		x −3y =−2	c.		x −3y =−2
	2x	−5y =−3			−2x +6 y = 4			−2x +6 y = 1


№ 3.2.		Найти решение систем с 3мя неизвестными и дать геометрическую интерпретацию.

	x −2 y + 3z = 2				x −2 y + 3z =2
a.	2x −3y +4z =		4 b. 2x −			3y +	4z =4
	−2x + y −7z =−11			x −		y +	z =2

	x +3y − z = 4				x + 3y − z = 4
a.	−2x −5y	=−11 b.			−2x −5y		=−11
	2x +8y	−5z =	4	x +2 y + z =				7

x −2 y +3z = 2					x −2 y + 3z =2
c.	2x −4 y +6z = 4 d. 2x					−	3y		+	4z =	4
	−3x +6 y −9z =−6			x		−		y	+	z =	3

	x +3y − z = 4					x + 3y − z = 4
c.	−2x −6 y +	2z =−8	d.		−2x		−	5y		=−11
	3x +9 y −	3z =12				x	+	2 y		+ z =	0

№ 3.3.

Найти

- общее решение xoo

однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

- ранг rang

A матрицы системы

- базис и размерность подпространства решений L0

- проверить справедливость равенства

dim L0

= n − rang A

x + x + x −2x =0

+ x2

−2x3

−3x4 − x5

x1+2x2

+4x3

−5x4

=0 b.

−3x1

−

2x2

6x4

−10x5

−2x1

+4x3

−2x4

−2x1

2x2

−

8x3

−

6x4

−

x −3x +4x +5x =0

x −2x +3x +2x + 6x =0

2x1

− x2

−2x3

+2x4

−3x5

a. 2x1

−5x2

+7x3

+8x4

=0 b. 2x1

−

3x2

+6x3

4x4

+10x5

=0 c.

−2x2

−4x3

+4x4

−3x5

−

+2x3

−

+3x3

2x4

4x5

−3x1

−3x2

−6x3

+6x4

− x

−2x

+2x

−2x =0

№ 3.4.

Найти

- общее решение xoн

неоднородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

- ранги rang

A и rang A-

матрицы и расширенной матрицы системы

- базисиразмерностьподпространстварешений L0 соответствующей однороднойсистемы

- общее решение xoo

соответствующей однородной системы линейных уравнений

- частное решение xчн

данной неоднородной системы линейных уравнений

−2x2

−4x3

+4x4

−x1+ x2

−3x3

−4x4

+4x5

= 2

3x1

+7x2

+16x3

− 9x4

= −6

−2x1

−2x2

−

8x3

−

2x4

= −4

−

−2x3

2x4

=2 b. −3x1

−2x2

+3x4

+2x5

6 c. 2x1

+ x2

7x3

5x4

−

−2x

−

−2x

=−2

+2x

−

= −1

−x1+2x2 − x3 −10x4 =−11

− x +4x −4x = 2

−2x1

+3x2 +7x3

+ 3x4

−13x5

=−1 x1

−3x2

+3x3

+8x4

= 7

2x1

−

+6x3

−7x4

= 4 b.

+2x2

+ x3

9x4

− 4x5

=−3 c.

−2x2

+6x3

+9x4

−x1

−2x2

+2x3

+ x4

=−2

−x1

−

− 6x4

−x1

+2x2

−5x3

−8x4

=−2

+2x

−4x

+15x

=−5

+2x

−5x

=−5

№ 3.1.

Каждое уравнение в системе двух уравнений с двумя неизвестными можно интерпретировать, как уравнение прямой на плоскости, а решение системы, как множество общих точек двух прямых. Возможны следующие ситуации:

1.единственное решение – точка (прямые пересекаются)

2.бесконечно много решений – прямая (прямые совпадают)

3.решений нет (прямые параллельны)

№3.1. a.

Любая система уравнений может быть решена обычным методом исключения переменных

x − 2 y = 1

= 1 + 2 y

=1 + 2 y

x = 3

2x − 3y = 3

− 3y = 3

2(1 + 2 y )− 3y = 3

y =1

y = 1

равносильного соответствующим линейным операциям над уравнениями (прямыми)

x −2 y =1

1x −2 y =1

~ l

= l

1x −2 y =1

+ 2l

= l

1x +0 y =3

x =3

2x −3y =3

~ l21

2x −3y =3

− 2l1 = l

0x + 1y =1

y =1

= l

что в свою очередь эквивалентно аналогичным линейным операциям над строками расширенной матрицы системы

x −2 y =1

2x −3y

1 −

= l

1 − 2

+ 2l

= l

1 ±0

l 1

2 −3

±3

±0 1

±1

0 1

±1

l 2

− 2l1

= l

l 2 = l 2

3 //r0

y =1

Замечание. Прямые l1, l 2

пересекаются l1 ×l 2 ={ r0

} в точке - решение единственно.

№ 3.1. b.

x −2 y = 1

−4 y

l1 = l2 =

− 2

1 ~

− 2

−4

±2

x 1 +2 y 1

= 0

+ y 1

x =1 + 2 y

Замечание. Прямые l1, l 2

совпадают l1 ≡ l 2 = l ={ r0 + y p } - решений бесконечно много.

№ 3.1. c.

x −2 y = 1

−4 y

l1 l 2

−2

−4

±0

±0 0

−2

x −2 y =

0 ≠−2

Замечание. Прямые l1, l 2

параллельны l1 l 2

- решений нет.

№ 3.2.

Каждое уравнение в системе трех уравнений с тремя неизвестными можно интерпретировать, как уравнение плоскости в пространстве, а решение системы, как множество общих точек трех плоскостей. Возможны следующие ситуации:

1.единственное решение - точка (плоскости пересекаются в одной точке)

2.бесконечно много решений:

-прямая - если плоскости пересекаются по прямой

-плоскость - если совпадают

3.решений нет:

-плоскости параллельны

-одна плоскость параллельна линии пересечения двух других

№3.2. a.

x −2 y + 3z =																	2
		2x		−3y +								4z =					4
	−2x			+			y −					7z =−11


								s1						1 −2 3										2			~									s1
								s1						1 −2 3										2												s1
							s				2					2	−3				4			4											s
								s								−2 1				−7			−11												s
											3																									2
											3																									2
s		−		s	1		= s			1						1 −2				3				2			~						r0			s
				s			= s									1 −2				3				2
			2s				=s									0 1−2								0
s	2	+	2s		1		= s		2							0	−	3	−		1		−	7												3
	3				1					3						0		3			1			7
s	3	+2s			1	= s				3																						1 0 −1
													1 0 −1											2			~							2		~
													1 0 −1											2										2
1				s2		=s			1							0 1			−2					0				(		)			0 1 −2	0
s		+	3s2			= s		2								0 0			−7				−7				s3 →s3	(	−7	)	≡s3		±0 0 1	1
3				2				3
3				2				3
s1		+ s3					= s1
															1 0 0							±		3
															1 0 0									3
s		+	2s				=s									0 1 −0								2
	2				3					2						0 −0				1				1
				s3			= s3																				//r0

x							=3										x						3
y							=	2									y					= 2
						z =			1										z						1
																											s3 пересекаются s1 ×s 2 =l×s3 ={ r0 }
Замечание. Плоскости s1,																								s 2		,	s3 пересекаются s1 ×s 2 =l×s3 ={ r0 }								в одной точке.

№ 3.2. b.

x −2 y + 3z =2

−

3y +4z

−

y +

1 −2 3

1 ±0

−1

−3 4

±4

±0 1

−2

±0

0 1

−2

±0

−1 1

0 1

−2

0 0

2 + 1z

±2 //r0

=2 +

2z =

0 + z

±2

y =

Замечание. Плоскости s1, s 2

, s3

пересекаются s1 ×s 2 =l ={ r0 +z p

} s3 по одной прямой.

№ 3.2. c.

− 2 y

+ 3z

−

4 y

−3x

6 y

−

= −6

s1 =s2 =s3 =s

1 −2 3

−4 6

±4

0 0 0

−3 6

−9

−6

0 0 0

2 +2 y −3z

2 //

±2

// −3 //

=2 +2 y −3z

= 0

+ y 1

+ z 0

Замечание. Плоскости s1,

s2 ,

совпадают s1 =s2 =s3 =s ={ r0 + y p +z q }.

№ 3.2. d.

−

2 y

−

−2 3

1 −2 3

−1

1 ±0

−3 4

±0 1

−2

±0

0 1

−2

−1 1

0 1

−2

±0

y =

0 ≠1

Замечание. Плоскость s3 параллельна линии пересечения плоскостей s1, s2 : s1 ×s2 =l s3

№ 3.3.

Для решения однородной системы m		уравнений с				n неизвестными, применим метод
Гаусса (полный) и приведем матрицу A системы к “единичному” виду
			1		0	*	*

A ~	Ir			0	1	*
A ~	Ir	*	=	0	1	*	*
	0	0		0	0	0	0

				0	0	0
				0	0	0	0

Восстанавливая по преобразованной матрице систему линейных однородных уравнений, выразим первые r переменных линейно через остальные (n −r) . Отсюда следует, что множество решений L0 образует подпространство и dim L0 = n − r . Учитывая, что rang A = r , получим dim L0 = n − rang A .

Базис в пространстве решений называется фундаментальной системой решений.

№ 3.3. a.

x1			+	x2	+ x3		− 2x4	= 0
	x1		+	2x2	+	4x3	− 5x4	= 0
	−2x	1			+	4x	− 2x	= 0
		1				3	4

−

−2

−2 1

1 1 1

1 0

1 2 ±4

−

0 1 3

−3

0 ±1

−3

−2 0 4

−

±0 2 6

−6

0 0

2x3

−1x4

±2

2x3

− x4

−3x3

+3x4

= x

−3

+ x

=−3x

Замечание.

- rang

A = 2

xоо

Lin{e3, e4 }

L0 =

- имеет место равенство

dim

−

rang

- уравнение u3 - “лишнее”

№ 3.3. b.

− 2x3

− 3x4 − x5

= 0

−3x1

− 2x2

+ 6x4

10x5

= 0

−2x1

2x2

− 8x3

− 6x4

−

= 0

− 9x

−

= 0

1 1 0 −3 −1

1 1 0

−3

−1

−3 −2

−2 6

±0 1 −2

−3

−2 2 −8

−6

−10

0 4 −8 −12

−12

3 3 0 −9

−3

0 ±0 0 0 0

−1±301

	1	0		2	0	2
	0	1		−2	−3 −3
	0	0		0	0	0


0		0	0		0	0

									x1
x1			=−2x3			−2x5			x
x1	x		=−2x3		+3x	−2x5			x2
	x		=	2x	+3x	+ 3x			3
	2			3	4	5			x4
									x
									5
Замечание.
- rang		A = 2
- L0	=	Lin{e3			, e4 , e5 }			3
- L0		Lin{e3			, e4 , e5 }			//
- имеет место равенство							dim L0		=

- уравнения u3 , u4 - “лишние”

−2x3

+0x4

−2x5

−2

2x3

+3x4

+ 3x5

= x

+ x

±3

+ x

±3

1x4

\\xоо

− rang A

№ 3.4.

Для решения неоднородной системы m уравнений с-n неизвестными, применим метод
Гаусса (полный) и приведем расширенную матрицу A						системы к “единичному” виду
					1	0	*	*	*
A- =
		Ir				1 *
	A \| b ~	Ir	* *	=	0	1 *		* *
		0			0	0	0	0 *
		0	0 *
					0	0	0	0
					0	0	0	0	*

Если последние (m −r ) строк преобразованной расширенной матрицы нулевые (включая свободные слагаемые), I то удаляем их (тем самым находим “лишние” уравнения и “пропалываем”). В этом случае система совместна (имеет решение) rang A = rang A- = r .

Восстанавливая по преобразованной расширенной матрице систему линейных неоднородных уравнений, выразим первые r переменных линейно через остальные (n −r) переменных и свободные слагаемые. Отсюда следует, что общее решение xон неоднородной системы имеет вид

xон = xчн + xоо

где xоо - общее решение соответствующей однородной системы, а xчн - некоторое фиксированное (частное) решение данной неоднородной системы.

Если в преобразованной расширенной матрице среди последних (m − r ) свободных слагаемых хотя бы одно отлично от нуля, система не совместна (не имеет решений) rang A ≠ rang A-.

3.4. a.

x1				−2x2		−4x3			+4x4		=3
x1				−	x2	−	2x3		+2x4		=2
	2x	1		−	x	−	2x		+2x		=3
		1			2		3			4

1−2 −4 4								3				±1−2 −4 ±4				3								0 0				1
1−2 −4 4								3			~	±1−2 −4 ±4				3			~		1 0			0 0				1
	1		−1		−2 2			±2			~		0 1 2		−2		−1		~			0 ±1		2 −		2		−1
	2		−1		−2 2			3					0 3 6		−6		−3							0 0				0
	2		−1		−2 2			3					0 3 6		−6		−3					0	0	0 0				0



														x1				1							1				0		0
x1				x	=	1	−2x +			2x				x2			=	−1	−2x3 +2x4				=		−1		+ x		−2	+ x	±2
				x	=−1		−2x +			2x				x					1x	1x					0		3		1	4	0
				2					3		4				x3				3	1x					0				0		1
															4					4

			\\	\\
		\\	e3	e4
		xчн		\\
Замечание.				xoo
Замечание.	-		\\xон
	-	= 2	\\xон
- rang A = rang A		= 2
- L0 = Lin{e3, e4 }		dim L0 = 2

- уравнение u3 - “лишнее”

№ 3.4. b.

−x1		+	x2	−3x3		−4x4	+4x5	= 2
−3x1		−2x2		+	x3	+ 3x4	+2x5	= 6
x	1	+	x	−	x	−2x		=−2
	1		2		3	4

−1 1−3−4 4

+1 −1 3 4 −4

−2

1 1−2

−2

+1 0

−3

−2 1 3 2

±6

−5 10 15

−10

−2 −3 2

1 1 −1−2 0

−2

0 2

−4

−6 4

0 0 0

0 0

−2−1x3

−1x4

+2x5

−2

−1

=−2−

−

+2x5

+3x

−2x

−2

1x3

x =

−2x

Замечание.

- rang A = rang A- = 2

- L0 = Lin{e3, e4 , e5 } dim L0 = 3 - уравнение u3 - “лишнее”

№ 3.4. c.

3x1

7x2

+ 16x3

−

9x4

= −6

−2x1

−

2x2

−

8x3

−

2x4

= −4

2x1

7x3

5x4

2x2

5x3

−

2x4

= −1

−x1

+ 2x2 − x3

− 10x4

= −11

3 7 16 −9

−6

0 1 1 −3

−3

−2

−2 −8

−2

−4

0 2 2

−6

2 1 7 5

−3

−3 9

1 2 5

−2

−1

±1 2 5

−2

−1

−1 2 −1 −10

−11

0 4 4 −12

−12

= −3

−

+ 3x

5−3x3

−4x4

−3−1x

+3x

−

3x3

− 4x4

1x3

xчн	\\
	xoo
	\\
	xон

			0	1	1 −3			−3
			0	1	1 −3			−3
			0	0	0		0		0
~			0	0	0		0		0
			1	0	3		4		5


			0	0	0		0		0
	5			−3				−4
=	−3	+ x		−1		+	x	3
	0		3	1			4		0
	0			0					1
	0			0					1
				\\					\\
	\\			e3					e4
	\\

		xчн	\\
Замечание.	-		xoo
			\\xoн
		= 2
- rang A = rang A

- L0 = Lin{e3, e4 } dim L0 = 2 - уравнения u2 , u3 , u5 - “лишние”

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.2019228.35 Кб610-18.doc
#
28.08.201957.86 Кб110. Нематериальные активы.doc
#
02.11.20182.71 Mб4100 великих адмиралов.doc
#
23.02.20154.76 Mб168102-19.doc
#
23.02.201573.73 Кб6105.doc
#
23.02.20152.22 Mб131060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra.pdf
#
17.09.2019271.04 Кб311-20.docx
#
23.02.201531.76 Кб311.docx
#
18.09.2019217.6 Кб3116.doc
#
16.11.2019644.61 Кб101163065107625.doc
#
23.02.201544.38 Кб19123.docx