Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1
.pdfЛекции по аналитической геометрии. Семестр I
Ямпольский А.Л.
2
Оглавление
1 Геометрия прямых и плоскостей |
5 |
1.1Векторы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1Направленные отрезки. Геометрические векторы . . . . . . . . . . 5
1.1.2Операции над геометрическими векторами . . . . . . . . . . . . . 6
1.2Линейное векторное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 |
Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.2.2 |
Координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
1.3Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1Аффинная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2Формула деления отрезков в данном отношении . . . . . . . . . . 14
1.3.3Уравнение прямой в аффинном пространстве . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4Уравнение плоскости в A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1Скалярное произведение геометрических векторов . . . . . . . . . 26
1.4.2Скалярное произведение в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3Метрическая форма евклидова пространства . . . . . . . . . . . . 28
1.4.4Прямые и плоскости в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . 30
1.4.5Некоторые задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 32
1.5 Ориентация в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1Преобразование базисов и координат . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.2 Ориентация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.3Некоторые применения ориентации . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6 Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.1Определение и свойства векторного произведения . . . . . . . . . 42
1.6.2Некоторые геометрические приложения векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.3Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.4Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.5Некоторые геометрические приложения смешанного произведения 47
1.7Элементы многомерной аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1Уравнение k− мерной плоскости в An . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.2Подпространства в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . 49
1.7.3Взаимное расположение двух плоскостей в An . . . . . . . . . . . 53
1.7.4Практический способ выяснения взаимного
размещения плоскостей в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
4 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
1.7.5Угол между плоскостями в En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8Выпуклые множества в An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.8.1Определение и основные свойства выпуклых множеств . . . . . . 67
1.8.2Выпуклая оболочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.8.3Задача линейнй оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.9Движения. Классификация движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.9.1 Определение и основные свойства движения . . . . . . . . . . . . 73
1.9.2Аналитическое задание движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.9.3Классификация движений на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.9.4Классификация движений в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 81
Глава 1
Геометрия прямых и плоскостей
1.1Векторы и операции над ними
1.1.1Направленные отрезки. Геометрические векторы
Построение курса аналитической геометрии мы начнем с простых геометрических наблюдений и конструкций, мотивированных во многом нашим чувственным восприятием окружающего мира, естественных геометрических форм. Как и во времена Евклида, к неопределяемым, априори ясным геометрическим объектам мы относим
точки, прямые и плоскости, которые расположены в окружающем нас пространстве. Точки будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Из аксиоматики Евклидовой геометрии плоскости и пространства ( например, аксиом элементарной геометрии А.В.Погорелова) нам известно, что всякие две несовпадающие точки A è
B на плоскости или в пространстве определяют единственную прямую, содержащую эти точки, или, выражаясь геометрическим языком, проходящую через точки A è B. Часть прямой, заключенная между точками A è B называется отрезком прямой с концевыми точками A è B. В определении отрезка не важен порядок, в котором мы
перечисляем концевые точки отрезка. Интуитивно ясно, однако, что порядок пере- числения точек отрезка может иметь значение. Это интуитивное представление базируется, несомненно, на нашем опыте течения времени. Для нас по жизни важно,
какое из двух событий произошло раньше . В геометрии такое чувственное ощущение отражается в понятии направленного отрезка и является основой для одного из фундаментальных понятий в геометрии понятия ориентации.
Направленным отрезком на плоскости или в пространстве называется упорядо- ченная пара точек (A, B). Точка A называется начальной точкой, или началом, на-
правленного отрезка, а точка B - его концевой точкой, или концом направленного
−−→
отрезка. Направленный отрезок обозначают AB.
Два направленных отрезка называются коллинеарными, если расположены на одной или на параллельных прямых.
Пусть l прямая, O l. Точка O разбивает l на две полупрямые. Зафиксируем точку A на прямой, отличную от точки O.
Лучем с началом в точке O называется объединение всех отрезков, которые содер-
жат точку A и имеют общий конец в точке O. Очевидно, что направленный отрезок
−→ −→
OA однозначно определяет луч, который мы обозначим через ray(OA).
5
6 |
|
|
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
||
Пусть −−→ −−→ |
|
|
|||
|
l |
AB, CD коллинеарные направленные отрезки, лежащие на одной прямой |
|||
|
|
|
−−→ |
−−→ |
|
прямой |
|
. Эти отрезки называются сонаправленными (обозначение AB |
CD), åñëè |
||
ray(−−→ |
|
|
−−→ |
|
−−→ |
AB) |
|
ray(CD), или наоборот. В противном случае, направленные отрезки AB è |
|||
−−→ |
|
|
−−→ ↑↓ |
−−→ |
|
CD называются противоположно направленными (AB |
CD). |
|
Из аксиом планиметрии известно, что прямая разбивает плоскость на две полу-
плоскости. |
|
|
|
|
Пусть −−→ −−→ |
|
|
|
|
|
AB, CD коллинеарные направленные отрезки, не лежащие на одной пря- |
|||
мой. Они называются сонаправленными, если точки B è D лежат в одной полуплос- |
||||
кости относительно прямой AC и противоположно направленными, если точки B è |
||||
D лежат в различных полуплоскости относительно прямой AC |
|
|||
Длиной направленного отрезка |
−−→ |
|
|
|
[A, B] |
|
AB называется длина соответствующего отрезка |
||
|
−−→ |
|−−→| |
|
|
|
. Длина направленного отрезка AB обозначается через |
AB |
. |
Два направленных отрезка называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Геометрическим вектором называется совокупность всех равных между собой направленных отрезков . Каждый из таких направленных отрезков называется представителем вектора. Векторы, в отличие от направленных отрезков, будем обозначать
строчными буквами латинского алфавита со стрелкой. Например, a, b, c, . . . .
Каждый направленный отрезок однозначно определяет вектор и каждый вектор имеет своего представителя с началом в любой точке плоскости или пространства. Выражение:"Задать представитель вектора в данной точке "эквивалентно выражению "Отложить вектор от данной точки ". Чтобы не утяжелять терминологию, в дальнейшем вектор и направленный отрезок различать не будем в том смысле, что
говоря о векторе каждый раз будем выбирать его представитель, отложенный от нужной точки.
1.1.2Операции над геометрическими векторами
Сложение векторов
Определение 1.1.1 Пусть a, b заданные векторы. Суммой a + b векторов a è b называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец с
концом вектора
b, при условии, что вектор b отложен от конца вектора a.
Очевидными свойствами сложения векторов, вытекающими из определения их суммы, являются
• Коммутативность a + b = b + a
•Ассоциативность (a + b) + c = a + (b + c).
Дополним множество рассматриваемых нами направленных отрезков "отрезком на- чало и конец которого совпадают. Разумеется, длина такого отрезка равна 0, а направление не определено. Определим нулевой вектор, как "вектор представленный в
каждой точке нулевым направленным отрезком. Обозначать нулевой вектор будем
0.
Вектор |
называется противоположным вектору |
, åñëè |
|
|
. Такой вектор |
b |
|
a |
a + b = 0 |
|
будем обозначать −a. ßñíî, ÷òî | − a| = |a|.
1.2. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. |
7 |
Произведение числа на вектор
Пусть a вектор, λ вещественное число. Произведением числа λ на вектор a íàçû- |
|||||||||
вается вектор |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b, определяемый следующими свойствами: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|b| = |λ||åñëè| |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
λ > 0; |
|
|
|
|
|
|
b a, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
λ < 0; |
|
|
|
|
|
b a, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
0,↑↓åñëè λ = 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для произведения вектора на |
|
|
|
|
|
λ a |
|
||
åñëè |
, òî |
|
число употребляется обозначение |
|
. Легко видеть, что |
||||
для любого |
λ |
. |
|
|
|
|
|||
|
a = 0 |
λ a = 0 |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что определение произведения числа на вектор согласовано с определением суммы векторов в том смысле, что
na = a + · · · + a, для любого натурального n N
| {z }
n
Отметим следующие свойства умножения числа на вектор. Если a − вектор, λ, µ R, òî
1.λ(µa) = (λµ)a;
2.(λ + µ)a = λa + µa;
3. λ(a + b) = λa + µa;
4. 1a = a.
1.2 Линейное векторное пространство.
Множество L элементов произвольной природы называется вещественным линейным векторным пространством , если:
1. Каждым двум элементам a, b L поставлен в соответствие элемент a + b, íàçû-
ваемый суммой элементов a è b.
2.для каждого a L и для каждого вещественного λ сопоставлен элемент λ a L, называемый произведением числа λ на элемент a.
Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:
1.a + b = b + a (коммутативность);
2.(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
3. |
существует |
L |
такой, что для каждого |
a L |
выполнено равенство |
|
; |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
a + 0 = a |
|
||
4. |
для каждого |
a L |
существует |
−a L |
такой, что |
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a + (−a) = 0 |
|
|
|
8 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
5.λ(µa) = (λµ)a;
6.(λ + µ)a = λa + µa;
7.λ(a + b) = λa + λb;
8.1a = a.
для любых вещественных λ, µ и любых a, b L.
Элементы линейного векторного пространства принято называть векторами.
Примеры линейных векторных пространств.
1.Множество геометрических векторов с определенными выше операциями сложения и умножения на число.
2.Совокупность всех многочленов степени, не превышающей n N, с обычными операциями сложения и умножения на число.
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0, ak R.
Заметим, что множество многочленов с вещественными коэффициентами степени равной n не образует линейного пространства (докажите).
3.X произвольное множество, L множество всех функций, определенных на X. Определим операции сложения и умножения на число на множестве L следующими естественными правилами:
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
.
(kf)(x) = kf(x)
в каждой точке x X.
4.Вектор-строки.
Пусть L = {(a1, a2, . . . , an)| ai R} множество наборов из n вещественных чисел. Элементом этого множества являются строки, вида a = (a1, a2, . . . , an).
Определим на L операции сложения и умножения на число следующим образом:
(a) Åñëè a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn), òî
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn);
(b) Åñëè a = (a1, a2, . . . , an), λ R, òî λa = (λa1, λa2, . . . , λan)..
Пусть L линейное пространство, (a1, . . . , an) L. Линейной комбинацией векто- ðîâ a1, . . . , an называется выражение
λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan.
1.2. ЛИНЕЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. |
9 |
Линейная комбинация векторов, очевидно, является вектором.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов этой комбинации не равен нулю.
Совокупность векторов a1, . . . , an ( или, в другой терминологии, система ) называ-
ется линейно независимой , если не существует нетривиальной линейной комбинации
этих векторов, равной 0. В противном случае, эта система называется линейно зави-
симой.
Рассмотрим несколько простых утверждений о линейной зависимости систем векторов.
Предложение 1.2.1 Если система векторов {a1, . . . , an} содержит нулевой вектор, то система линейно зависима.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать, что первый вектор нулевой. Составим линейную комбинацию, вида
λ1a1 + 0a2 + · · · + 0an, λ1 ≠ 0.
Ясно, что эта линейная комбинация дает нулевой вектор, но не является тривиальной. Следовательно, {a1, . . . , an} линейно зависимая система.
Предложение 1.2.2 Система векторов {a1, . . . , an} линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через остальные.
Доказательство. Пусть система {a1, . . . , an} линейно зависима. Это означает, что
λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan = 0,
причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Перенумеровав, если нужно, векторы, мы можем считать, что λ1 ≠ 0. Умножим обе части последнего равенства
íà 1/λ1. Получим |
|
|
λ2 |
|
|
λn |
|
||
|
|
|
|
|
|
+ · · · + |
|
||
|
|
|
|
a1 + |
λ1 |
a2 |
λ1 |
an = 0, |
|
а следовательно |
|
a1 = µ2a2 + · · · + µnan, |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
λ2 |
λn |
|
|
|
|
|
||
ãäå µ2 = − |
|
, . . . , µn = − |
|
. |
|
|
|
|
|
λ1 |
λ1 |
|
|
|
|
|
Обратно, пусть некоторый вектор системы {a1, . . . , an} линейно выражается через остальные. Перенумеровав, если нужно, векторы, можно считать, что это вектор a1:
a1 = µ2a2 + · · · + µnan.
Но тогда линейная комбинация
a1 − µ2a2 − · · · − µnan = 0
не тривиальная, что означает линейную зависимость всей системы.
10 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
1.2.1Базис линейного пространства
Определение 1.2.1 Пусть L линейное пространство. Система векторов
{a1, . . . , an} L
называется базисом линейного пространства L, åñëè:
• Система {a1, . . . , an} линейно независима;
|
|
• для каждого b |
L система векторов {a1, . . . , an, b} линейно зависима. |
Количество элементов базиса называется размерностью линейного пространства и обозначается через dim L.
Из второго условия следует, что любой
Замечание. b L может быть представлен в виде линейной комбинации векторов {a1, . . . , an}, òî åñòü
b = λ1a1 + · · · + λnan.
Рассмотрим некоторые примеры.
Предложение 1.2.3 Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство L, размерность которого dim L = 1 а базис в L составляет любой нену-
левой вектор из L.
Доказательство. Пусть a произвольный ненулевой вектор. Система векторов
{a}, состоящая из одного вектора, линейно независима. Действительно, пусть λa = 0.
Тогда |λ||a| = 0. Íî a ≠ 0, значит |a| ̸= 0, и следовательно λ = 0. Таким образом, не существует нетривиальной линейной комбинации данной системы, равной нулевому
вектору, что означает линейную независимость системы. Пусть
b произвольный вектор, коллинеарный a. Рассмотрим два случая:
|
|
|
|
|
a) Векторы a è b сонаправлены. |
|
a. Тогда c a è òàê êàê |
a b , |
|
Пусть |b| = b, |a| = a. Рассмотрим c = a |
||||
|
b |
|
|
|
òî c b. Поскольку |c| = |
a |a| = b |
, òî c = b как векторы, имеющие |
||
|
b |
|
|
|
одинаковую длину и направление. Таким образом, |
b |
|
||
|
|
b = |
a a, то есть вектор b |
линейно выражается через вектор a.
б) Векторы a è b противоположно направлены.
Аналогично п. а), легко показать, что b
b = −a a.
Таким образом, базис пространства коллинеарных векторов составляет произволь-
ный вектор {a} ≠ 0 и размерность dim L = 1.
Векторы a1, . . . , an называются компланарными, если представляющие их направленные отрезки расположены в одной или параллельных плоскостях.