Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1
.pdf1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
51 |
Доказательство. |
|
k, |
|
|
|
|
Пусть a1, . . . , ak базис L b1 |
, . . . , bl |
|||||
l |
|
|
k |
+L |
l |
= |
Lin(a1, . . . , ak), L |
= Lin(b1 |
, . . . , bl). Следовательно, L |
|
|
базис Ll. Тогда Lk =
Lin(a1, . . . , ak; b1, . . . , bl).
|
Очевидно, что |
|
|
k |
l |
|
|
. Åñëè dim(Lk |
+ Ll) = k + l, то сумма на- |
|||||||
|
|
|
|
dim(L |
|
+ L |
) ≤ k + l. Ясно, что если сумма прямая, то векторы |
|||||||||
зывается прямой и обозначается Lk Ll |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
L |
l |
|
|
|
|
|
a1, . . . , ak; b1 |
, . . . , bl образуют базис в L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Åñëè Lk Ll прямая сумма, то для каждого z Lk Ll разложение z = x+y | x |
|||||||||||||||
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, пусть |
L , y L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
единственно (то есть x è y однозначно определены). Тогда. |
||||||||||||||||
a1, . . . , ak |
|
|
k |
|
|
|
|
|
l |
. Пусть z L |
k |
L |
l |
|||
базис L |
, b1, . . . , bl |
базис L |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ∑ xiai + ∑ xjbj . |
|
|
|
|i=1{z } |j=1{z }
x Lk y Ll
Для данного z координаты xi, yj определены однозначно в силу единственности разложения по базису, а значит однозначно определены и векторы x Lk è y Ll
Упражнение 1.7.4 Доказать обратное утверждение, то есть если в сумме для каждого z Lk + Ll разложение z = x + y | x Lk, y Lk единственно , то сумма
Lk + Ll прямая.
Пересечение подпространств
Определение 1.7.3 Пусть Lk è Ll линейные подпространства в Ln. Пересечени- åì Lk ∩ Ll подпространств Lk è Ll называется множество
{x Ln| x Lk, x Ll}.
Предложение 1.7.3 Lk ∩ Ll подпространство в Ln.
Доказательство. Пусть x, y Lk ∩ Ll. Òàê êàê Lk è Ll подпространства, то справедливы следующие импликации:
x, y Lk λx + µy Lk |
} |
λx + µy |
|
Lk |
∩ |
Ll. |
x, y Ll λx + µy Ll |
|
|
|
Формула Грассмана
Предложение 1.7.4 Пусть Lk è Ll подпространства в Ln. Тогда dim(Lk + Ll) = dim Lk + dim Ll − dim(Lk ∩ Ll)
Если положить m = dim(Lk ∩ Ll), то формула Грасмана выпишется более лаконично: dim(Lk + Ll) = k + l − m.
Для доказательства формулы Грассмана нам потребуется лемма, используемая и в некоторых дальнейших утверждениях.
52 |
{ |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
||
k). Тогда ее можно |
} |
|
L |
|
Лемма 1.7.1 Пусть |
|
q1, . . . , qm |
линейно независимая система векторов в Lk (m < |
|
|
дополнить до базиса |
k, то есть найдутся такие векторы |
||
am+1, . . . , ak, что система векторов |
|
|||
образует базис Lk. |
|
{q1, . . . , qm; am+1, . . . , ak} |
Доказательство. Пусть q1, . . . , qm линейно независимы. Тогда линейная оболоч- ка Lin{q1, . . . , qm} является линейным подпространством в Lk. Обозначим его че- ðåç Lm. Åñëè Lm ≠ Lk, то существует x Lk такой, что x / Lm, òî åñòü x /
Lin(q1, . . . , qm). Следовательно, q1, . . . , qm, x линейно независимы. Положим am+1 =x. Тогда Lin(q1, . . . , qm, am+1) = Lm+1 Lk. Åñëè Lm+1 ≠ Lk, продолжим процесс. В
результате построим исчерпывающую цепочку подпространств
Lm Lm+1 . . . Lk.
На последнем шаге получим Lk = Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak).
Доказательство формулы Грассмана. Обозначим: |
Lm = Lk∩Ll. Пусть q1, . . . , qm |
||||||||
базис Lm. Дополним его до базисов в Lk è Ll |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Lk : q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
L : q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k |
+ L |
l. Для этого следует |
Покажем, что q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl базис L |
|
|
|||||||
проверить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) любой вектор из Lk + Ll |
является линейной комбинацией векторов |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) векторы q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl линейно не зависимы. |
|||||||||
Пусть z Lk + Ll. Тогда z = x + y, ãäå x Lk, y Ll. |
|
|
|
|
|||||
Òàê êàê q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak базис в Lk, òî |
|
|
|
|
|||||
|
|
x = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak). |
|
|
|
||||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, bm+1). |
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = x + y = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl). |
|||||||||
Пусть существует нетривиальная |
|
|
|
|
|
|
|||
ë.ê. |
(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak |
|
|
|
|
|
|||
|
|
, bm+1, . . . , bl) = 0. |
|
||||||
Разобъем ее на две части: |
|
|
|
|
|
|
|
||
ë.ê. |
(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) + |
ë.ê. |
|
|
|
|
|||
|
(bm+1, . . . , bl) = 0. |
1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
53 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что л.к.(bm+1, . . . , bl) нетривиальна, так как если бы она была тривиальной, |
||||||
òî ë.ê. |
(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) |
была бы нетривиальной и равной |
, что невозможно, |
|||
|
|
0 |
|
|
||
òàê êàê q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak базис Lk. Положим |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = ë.ê.(bm+1, . . . , bl). |
|
|
Тогда с одной стороны, w Ll как линейная комбинация векторов базиса Ll. С другой стороны,
ë.ê(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) = −w,
а значит w Lk как линейная комбинация векторов базиса Lk. Следовательно, w Lk ∩ Ll. Но векторы q1, . . . , qm образуют базис Lk ∩ Ll. Следовательно,
w = ë.ê.(q1, . . . , qm),
причем линейная комбинация в правой части равенства нетривиальная, так как w ≠ 0.
Таким образом, имеем две нетривиальных линейных комбинации, выражающие вектор w:
|
|
|
|
|
|
|
|
w = ë.ê.(bm+1, . . . , bl) |
|
|
|||
|
w = ë.ê.(q1, . . . , qm) |
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë.ê.(q1, . . . , qm) = ë.ê.(bm+1, . . . , bl). |
|
|
|||
Мы получили нетривиальную л.к. |
|
|
|
|
, что невозможно, так |
|
|
|
(q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl) = 0 |
|
|||
|
l. |
|
|
|
||
êàê q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl базис L |
|
|
|
|
1.7.3Взаимное расположение двух плоскостей в An
Пусть
∑k
πk : r = r1 + tiai
i=1
k-мерная плоскость в An. Точка M1 с радиусом-вектором r1 называется начальной точкой плоскости πk. Векторы a1, . . . , ak линейно независимы, а t1, . . . , tk ïðî- извольные параметры. Это означает, что уравнение плоскости πk можно записать в
âèäå
πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak)
или еще короче
πk : r = r1 + Lk,
ãäå Lk = Lin(a1, . . . , ak) называется направляющим подпространством плоскости πk.
54 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
Параллельность плоскостей а An
Пусть
πk : r = r1 + Lk,
πl : r = r2 + Ll
две плоскости в An, причем k ≤ l. Плоскости πk è πl называются параллельными (πk πl), åñëè Lk Ll.
Взаимное расположение двух параллельных плоскостей в An описывается следу-
ющим утверждением.
Теорема 1.7.1 . Пусть
πk : r = r1 + Lk, |
(k ≤ l) |
πl : r = r2 + Ll, |
две параллельные плоскости а An. Положим w = r2 − r1. Тогда
•åñëè w / Ll, òî πk ∩ πl = ;
•åñëè w Ll, òî πk πl.
Доказательство. |
Пусть a1, . . . , ak базис Lk. Поскольку Lk Ll, дополним |
||||
l |
|
|
|
|
|
a1, . . . , ak до базиса в L |
: a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl. Тогда |
|
|||
πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak), |
|
||||
π |
l |
: r = r2 + Lin(a1 |
|
|
|
|
, . . . , ak, bk+1 |
, . . . , bl). |
Пусть w = r2 − r1 / Ll, но предположим, что πk ∩ πl ≠ . Пусть M πk ∩ πl. Тогда
|
|
|
rM = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rM = r2 + ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1 |
, . . . , bl). |
|
|
|||
Вычитая, находим: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ë.ê. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = −w + |
|
(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
l. Противоречие. |
|
|
|
òî åñòü w = ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl) |
L |
|
|
|
|||||
Пусть w |
|
l |
|
|
|
|
= |
||
L . Это означает, что r2 |
− r1 = ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl). Тогда r2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) + ë.ê.(bk+1, . . . , bl). Следовательно, |
|
|
|||||||
|
πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak), |
|
|
|
|||||
|
π |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: r = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) + Lin(a1, . . . , ak, bk+1 |
, . . . , bl). |
|
Положим r0 = r1 +ë.ê.(a1, . . . , ak). В уравнении πk выделим найденную л.к.(a1, . . . , ak) из линейной оболочки Lin(a1, . . . , ak). Получим
πk : r = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) +Lin(a1, . . . , ak), |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
{z1 |
|
|
|
} |
1 |
k k+1 |
|
l |
|
|
|
|1 + |
( |
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
l |
: r = r |
ë.ê. a |
|
|
|
|
|
||||||||
|
, . . . , a ) +Lin(a , . . . , a , b |
, . . . , b ). |
||||||||||||||
|
|
| |
|
|
|
{z0 |
|
|
} |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
55 |
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
πk : r = r0 + Lin(a1, . . . , ak), |
|
|
||
l |
: r = r0 |
|
|
|
π |
+ Lin(a1, . . . , ak) + Lin(bk+1 |
, . . . , bl). |
|
Теперь очевидно, что πk πl, òàê êàê πk можно получить из уравнения πl, âçÿâ
нулевую Lin(bk+1, . . . , bl).
Посним доказательство теоремы для случая прямой и плоскости.
π1 : r = r1 + at,
|
|
|
2 |
: r = r2 |
|
|
|
|
|
π |
+ ua + vb, |
||
|
|
|
w = r2 − r1. |
|
||
Пусть w |
|
|
|
|
|
|
Lin(a, b). Например, пусть w = 2a + 3b. Тогда r2 = r1 + 2a + 3b и имеем |
||||||
|
π1 : r = r1 + at, |
|
|
|
||
|
2 |
: r = r1 |
|
|
|
|
|
π |
+ 2a + 3b + ua + vb = r1 |
+ 2a + ua + (v + 3)b = |
r1 + 2a + ua + µb
Выделим в уравнении "плоскости" π1 линейную комбинацию r1 + 2a:
π1 : r = r1 + a(t + 2 − 2) = r1 + 2a + a(t − 2) = r1 + 2a + au.
Полагая r0 = r1 + 2a, получаем |
|
|
π1 |
: r = r0 |
+ au, |
2 |
: r = r0 |
|
π |
+ ua + µb. |
Очевидно, что π1 π2. Достаточно положить µ = 0.
Скрещивающиеся плоскости в An
Две плоскости πk è πl â An называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Взаимное расположение двух непараллельных плоскостей в An описывается следующим утверждением.
Теорема 1.7.2 Пусть |
|
πk : r = r1 + Lk, |
(k ≤ l) |
πl : r = r2 + Ll |
|
две непараллельные плоскости в An. Положим |
|
w = r2 − r1, Lm = Lk ∩ Ll, Ls = Lk + Ll.
Тогда
•åñëè w / Ls, то плоскости скрещиваются;
•åñëè w Ls, òî πk ∩ πl = πm (т.е. плоскости пересекаются по плоскости размерности m).
56 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
Доказательство. |
Åñëè πk πl, то существуют плоскости p1s è p2s такие, что |
ps1 πk, ps2 πl, ps1 ps2.
Действительно, пусть q1, . . . , qm базис Lm. Дополним q1, . . . , qm до базисов в Lk è Ll:
|
|
Lk : q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, |
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
L : q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
s. Рассмотрим две плоскости: |
||
Тогда q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl |
базис в L |
|
|
||||
s |
: r = r1 |
|
|
|
|
|
s |
p1 |
+ Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1 |
, . . . , bl) = r1 |
+ L , |
||||
s |
: r = r2 |
|
|
|
|
|
s |
p2 |
+ Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1 |
, . . . , bl) = r2 |
+ L . |
Очевидно, что ps1 ps2 (направляющие пространства совпадают). При этом ps1 πk.
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) + Lin(bm+1 |
, . . . , bl). |
|||||||||||
è π |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задается как Lin(bm+1, . . . , bl) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Аналогично p2s πl. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s |
Тогда s |
s |
s |
s |
= |
. Следовательно, |
|
k |
∩ π |
l |
= |
. |
|
Пусть w / L .. |
Тогда p1 |
p2 è p1 |
∩ p2 |
|
π |
|
|
|
|||||
|
Пусть w Ls |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = r2 − r1 = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl), |
||||||
òî åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r2 = r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak) + ë.ê.(q1, . . . , qm, bm+1 |
, . . . , bl) |
||||||
Теперь уравнения плоскостей можно выписать с общей начальной точкой |
|||||||
|
|
|
r0 = r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak). |
|
|
|
|
А именно |
|
|
|
|
|
|
|
l |
: r = r1 |
|
|
|
|
|
|
π |
+ ë.ê.(am+1, . . . , ak) + Lin(q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl), |
||||||
πk : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) = |
|
|
|
||||
|
r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak) + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak). |
||||||
И более того, направляющие пространства этих плоскостей ращепляются в виде |
|||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
π |
: r = r0 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(bm+1, . . . , bl), |
|
||||
|
πk : r = r0 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(am+1, . . . , ak). |
||||||
Рассмотрим плоскость. |
πm = r0 + Lin(q1, . . . , qm). ßñíî, ÷òî πk πm è πl πm, òî |
||||||
åñòü πk ∩ πl πm |
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
Покажем, что πk ∩ πl πm. Действительно, пусть M πk ∩ πl |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) = r0 + Q1 + A, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm, bm+1 |
, . . . , bl) = r0 |
+ Q2 |
+ B, |
1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
57 |
||||||||||||
где обозначено, соответственно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= ë.ê.(q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q1 |
, . . . , qm), A = ë.ê.(am+1, . . . , ak) в первом выражении rM , |
|
||||||||||
|
|
|
= ë.ê.(q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q2 |
, . . . , qm), B = ë.ê.(bm+1 |
, . . . , bl) во втором выражении rM . |
|
|||||||||
Вычитая, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë.ê. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = Q1 |
− Q2 |
+ A − B = |
|
(q1 |
, . . . , qm)+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ë.ê.(am+1, . . . , ak) − ë.ê.(bm+1, . . . , bl). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из линейной независимости векторов q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl следует, что |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
= Q2 |
, A = B = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm) πm, что завершает доказательство.
Частичная параллельность плоскостей в An
Пусть πk è πl две плоскости в An. Плоскость πk параллельна порядка m плоскости πl (обозначим это через πl m πl ), если их направляющие пространства Lk è Ll имеют пересечение размерности m.
Равенство m = min(k, l) соответствует ситуации параллельности плоскостей, в то время как m = 0 означает отсутствие параллельных направлений и в этом слу- чае плоскости естественно называть вполне непараллальными . Если при этом πk è πl имеют общую точку, то есть πk ∩ πl ≠ , òî πk è πl называются пересекающимися трансверсально.
Предложение 1.7.5 Пусть πk è πl äâå m−параллельные плоскости. Тогда πk содержит (k − m) параметрическое семейство плоскостей, параллельных πl. πk ñî- держит (l − m) параметрическое семейство плоскостей, параллельных πk.
Доказательство. Действительно, пусть q1, . . . , qm базис пересечения Lk ∩Ll. Тогда πl è πk могут быть заданы соответственно:
{ |
πk : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(am+1, . . . , ak), |
πl : r = r2 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(bm+1, . . . , bl). |
Рассмотрим плоскость πk. Зафиксируем произвольную линейную комбинацию am+1, . . . , ak,
например, t1a |
m+1 |
+ |
· · · |
+ tk−ma . Тогда в πk "вырезается"плоскость, задаваемая урав- |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = r |
+ t1a |
m+1 |
+ |
· · · |
+ tk−ma |
+Lin(q , . . . , q ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
k |
1 |
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространство |
|
m лежит в |
|
l, а следовательно, эта плоскость парал- |
||||||||||||
Ее направляющее |
|
|
| |
|
|
|
L |
|
|
{z |
|
L |
} |
|
|
лельна Ll. Ее начальная точка r0 определяется (k − m) независимыми параметрами
t1 |
, . . . , tk−m |
0 |
0 . |
58 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
1.7.4Практический способ выяснения взаимного размещения плоскостей в An
Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax = b, |
|
|
|
|
|
ãäå A матрица размером m |
|
n, x = |
x...1 |
|
столбец неизвестных, b = |
b...1 |
||
|
× |
|
xn |
|
|
|
|
bn |
столбец правых частей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в рассмотрение векторы столбца матрицы A: |
. |
|
||||||
a1 = a...1 |
, a2 = |
a...2 |
|
, . . . , an = |
a...n |
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
a1m |
|
a2m |
|
anm |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда система уравнений Ax = b можно переписать в виде: |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
x a1 + · · · + x an = b. |
|
|
|
Таким образом, решение системы линейных уравнений дает ответ на вопрос, принадлежит ли вектор
b линейной оболочке заданных векторов a1, . . . , an)?
В частности, если |
, то соответствующее решение дает ответ на вопрос, явля- |
|||||||||
b = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ются ли векторы a1, . . . , an) линейно зависимыми? |
||||||||||
Построение базиса суммы подпространств |
|
|||||||||
Пусть подпространства Lk è Ll заданы своими базисами: |
||||||||||
|
|
|
|
Lk = Lin(a1, . . . , an), |
|
|||||
|
|
|
|
L |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Lin(b1 |
, . . . , bn). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ Lin(a1, . . . , an). Тогда |
Возьмем {a1, . . . , an}. Предположим,что найдется bj1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
l |
|
|
Lin(a1, . . . , an, bj1 ) L + L . |
||||||||
|
|
k |
|
l, то поищем |
|
|||||
Åñëè Lin(a1, . . . , an, bj1 ) ̸= L |
|
+ L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj2 / Lin(a1, . . . , an, bj1 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
l и т.д. Процесс, очевидно, конечен и |
|
и рассмотрим Lin(a1, . . . , an, bj1 |
, bj2 ) L |
|
+ L |
|
заканчивается нахождением базиса суммы пространств. Количество векторов построенного базиса даст размерность суммы.
Описанный процесс реализуется алгебраически следующим образом. Пусть
a1 |
= |
a...1 |
, a2 |
= |
a...2 |
, . . . , ak = |
a...k |
, |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
a1m |
|
a2n |
akn |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ |
59 |
||||||||
b1 |
= |
b...1 |
, b2 |
= |
b...2 |
, . . . , bl = |
b...l |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
b1n |
|
b2n |
bln |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы базисов Lk è Ll стлбцов) матрицы
a11
A = ..
.
an1
соответственно. Сформируем из их координат (как из
. ..... a...k1 |
, |
B = |
b...11 . ..... |
b...l1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . akn |
|
|
|
b1n . . . |
bln |
|
|
Напомним, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы, а это число равно, в свою очередь, иаксимальному размеру минора матрицы, отличному от нуля. Ясно, что rg(A) = k. Составим матрицу
(A B) = |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
.a.1. .. .. .. |
.a.k. |
.b.1. .. .. .. |
.b.l. |
||||
| |
|
an . . . |
an |
|
bn . . . |
bn |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
1 |
l |
|
Последовательное добавление к столбцам матрицы A столбцов матрицы B, увеличи- вающих на каждом шаге ранг матрицы (A|B) дает в конечном итоге максимальную линейно независимую систему векторов в сумме пространств Ll + Ll. Таким образом,
s= dim(Lk + Ll) = rg(A|B),
àбазис суммы образуют столбцы, которые отвечают базисному минору матрицы
(A|B).
Построение базиса пересечения подпространств |
|
|||||||||
|
|
|
} |
базис L |
k |
+L |
l. Перенумеруем векторы так, чтобы базис |
|||
Пусть a1, . . . , ak; bj1 |
, . . . , bj |
|
|
|
|
|
||||
{ принял вид: |
s−k |
|
|
|
|
|
|
|
||
Lk + Ll |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{a1, . . . , ak; b1, . . . , bs−k} |
|
|||||
Тогда {a1, . . . , ak} базис L |
k |
, |
|
|
|
|
l. ßñíî, ÷òî |
|||
b1, . . . , bs−k, bs−k+1 |
. . . , bl} базис L |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bs−k+1, . . . , bl |
Lin(a1, . . . , ak; b1, . . . , bs−k). |
Найдем соответствующие линейные комбинации как решения l + k − s := m систем линейных уравнений. Тогда получим:
|
|
= |
|
|
|
|
bs−k+1 |
ë.ê.(a1, . . . , ak; b1 |
, . . . , bs−k), |
||||
. . . |
|
. . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bl |
|
= ë.ê.(a1, . . . , ak; b1 |
, . . . , bl−1). |
|||
Разобъем полученные выражения так: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
ë.ê.(a1, . . . , ak), |
|
bs−k+1 |
− ë.ê.(b1 |
, . . . , bs−k) |
||||
. . . |
|
|
|
. . . . . . |
||
|
|
|
|
= |
ë.ê.(a1, . . . , ak) |
|
bl − ë.ê.(b1 |
, . . . , bl−1) |
60 |
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
и заметим, что левые части равенств лежат в Ll как линейные комбинации векторов базиса Ll, а правые части лежат в Lk по аналогичной причине. Поэтому векторы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 := bs−k+1 |
− ë.ê.(b1 |
, . . . , bs−k) = ë.ê.(a1, . . . , ak), |
|
||||||
. . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
, . . . , ak) |
|
|
qm := bl − ë.ê.(b1, . . . , bl−1) = ë.ê.(a1 |
|
|
|||||||
лежат в Lk ∩ Ll. Покажем, что q1, . . . , qm линейно независимы. Действительно, |
|||||||||
|
|
∑ |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
qi = |
i |
|
ë.ê. |
|
|
|
|
|
λ |
λ bs−k+i + |
(b1, . . . , bk−s) = 0 |
|
||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
и следовательно λ |
i |
|
|
|
|
|
l |
|
, . . . , qm |
|
= 0, òàê êàê b1, . . . , bl базис L . Таким образом, q1 |
линейно независимы, лежат в пересечении подпрострвнств и их количество равно размерности пересечения. Поэтому найденные векторы образуют искомый базис.
Описанный процесс реализуется алгебраически следующим образом. Составим матрицу
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
(A B) = |
.a.1. .. .. .. |
.a.k. |
.b.1. .. .. .. |
b.s−. .k |
||
| |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
an . . . |
an |
|
bn . . . |
bn |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
k |
|
1 |
s k |
b1s−k+1
. . .
bns−k+1
.. .. .. |
1 |
|
.b.l. |
||
. . . |
bln |
|
первые s столбцов которой являются векторами базиса суммы. Для каждого по-
следующего столбца найдем решение системы уравнений с этим столбцом в каче- стве столбца правых частей. Если для столбца с номером s − k + i набор чисел
λ1 |
, . . . , λk ; µ1, . . . , µs−k |
есть решение, а именно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
i i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
s−k+1 |
= λ1a + |
· · · |
+ λka + µ1b |
1 |
+ |
· · · |
+ µs−kb |
s−k |
, |
|
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
k |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
òî |
|
|
|
|
|
qi = bs−k+i − µi1b1 − · · · − µis−kbs−k |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или, эквивалентно, |
|
|
|
|
|
qi = λi1a1 + · · · + λikak. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Выяснение взаимного размещения плоскостей |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak) = r1 + Lk, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
π |
: r = r2 + Lin(b1 |
, . . . , bl) = r2 + L . |
|
|
|
|||||||||||
|
k |
+ L |
l |
|
|
k |
∩ |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем базисы L |
|
|
è L |
L |
. Пусть это будут векторы a1, . . . , ak; b1 |
, . . . , bs k è |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда и только тогда, когда имеет− |
||||||
q1, . . . , qm. Вектор w := r2 −r1 принадлежит Lk + Ll |
|
|
|
|
|
|
решение система: |
a...1 .. .. .. |
a...k |
|
||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
a1n . . . |
akn |
b1 . . . |
b1 |
1 |
s−k |
. |
. |
.. . . . |
.. |
bn . . . |
bn |
1 |
s−k |
|
|
|
n |
. |
|
w. .1. |
||
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|