17
.pdf
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
Приход теплоты в контур за счет теплопроводности (кондукции) через левую грань dydz, где температура равна t, согласно закону Фурье за
время dτ составляет Прx = dydzdτ.
Через правую грань dydz, где температура равна t + dx, теплота уходит из контура — за время dτ в количестве Ухx= dx)dydzdτ.
Разность этих Прихода и Ухода (потоки теплоты на рисунке показаны стрелками) после раскрытия скобок и очевидных сокращений выразится так:
+ Прx — Ухх = |
|
|
dxdydzdτ = |
dVdτ |
online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
Приход теплоты в контур за счет теплопроводности (кондукции) через левую грань dydz, где температура равна t, согласно закону Фурье за
время dτ составляет Прx = dydzdτ.
Через правую грань dydz, где температура равна t + dx, теплота уходит из контура — за время dτ в количестве Ухx= dx)dydzdτ.
Разность этих Прихода и Ухода (потоки теплоты на рисунке показаны стрелками) после раскрытия скобок и очевидных сокращений выразится так:
+ Прx — Ухх = |
|
|
dxdydzdτ = |
dVdτ |
Аналогичные разности кондуктивных потоков теплоты вдоль осей у и z запишутся как:
+ Прy — Ухy = |
|
|
|
= |
|
|
dVdτ и + Прz |
— Ухz |
dVdτ |
online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
Приход теплоты в контур за счет теплопроводности (кондукции) через левую грань dydz, где температура равна t, согласно закону Фурье за
время dτ составляет Прx = dydzdτ.
Через правую грань dydz, где температура равна t + dx, теплота уходит из контура — за время dτ в количестве Ухx= dx)dydzdτ.
Разность этих Прихода и Ухода (потоки теплоты на рисунке показаны стрелками) после раскрытия скобок и очевидных сокращений выразится так:
+ Прx — Ухх = |
|
|
dxdydzdτ = |
dVdτ |
Аналогичные разности кондуктивных потоков теплоты вдоль осей у и z запишутся как:
+ Прy — Ухy = |
|
|
|
= |
|
|
dVdτ и + Прz |
— Ухz |
dVdτ |
Общее количество теплоты, воспринятое объемом dV за время dτ путем теплопроводности, будет равно:
+ Пр - Ух = Σ( + Пр - Уx )= dVdτ dVdτ
j j online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
В общем случае в контуре dV могут существовать Источники и(или) Стоки теплоты — за счет экзоили эндотермической реакции, индукционного нагрева, ряда других причин. Обозначим Источник (Сток) теплоты, отнесенный к единице объема и единице времени, через qv (в СИ: Дж/м3с). Тогда для элементарного объема dV и временного промежутка dτ можно записать алгебраическую сумму:
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
14 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
В общем случае в контуре dV могут существовать Источники и(или) Стоки теплоты — за счет экзоили эндотермической реакции, индукционного нагрева, ряда других причин. Обозначим Источник (Сток) теплоты, отнесенный к единице объема и единице времени, через qv (в СИ: Дж/м3с). Тогда для элементарного объема dV и временного промежутка dτ можно записать алгебраическую сумму:
+Ис — Ст = qvdVdτ.
Врезультате кондуктивных потоков и тепловыделения (теплопоглощения) произойдет Накопление теплоты, т.е. нагрев или охлаждение жидкости в элементарном контуре dV
— температура изменится на величину dt.
Нак = cρdVdt,
где с — теплоемкость рабочего тела в объеме dV.
15 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
+ Пр - Ух = dVdτ dVdτ
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
Нак = cρdVdt,
Собирая теперь найденные элементы баланса в общее соотношение, приходим после сокращения на dV и dτ к следующему выражению:
+qv=cρ
16 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
+ Пр - Ух = dVdτ dVdτ
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
Нак = cρdVdt,
Собирая теперь найденные элементы баланса в общее соотношение, приходим после сокращения на dV и dτ к следующему выражению:
+qv=cρ
Обычно каждое слагаемое делят на сρ и представляют результат решенным
относительно dt/dτ. Тогда после |
замены λ/сρ=a |
(а – коэффициент |
температуропроводности) получается: |
|
|
|
! q# |
|
|
$ |
|
17 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
+ Пр - Ух = dVdτ dVdτ
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
Нак = cρdVdt,
! q$#
Поскольку температура есть функция координат и времени, то ее полный дифференциал равен:
%% %&% & %'% ' %(% (
18 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
+ Пр - Ух = dVdτ dVdτ
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
Нак = cρdVdt,
! q$#
Поскольку температура есть функция координат и времени, то ее полный дифференциал равен:
%% %&% & %'% ' %(% (
Отсюда, поделив все слагаемые на dτ и выражая производные пути по времени вдоль осей координат в виде соответствующих скоростей, имеем:
%% ) %&% ) %'% ) %(%
19 online.mirea.ru
Центр дистанционного обучения
Уравнение Фурье-Кирхгофа
+ Пр - Ух = dVdτ dVdτ
+ Ис — Ст = qvdVdτ.
Нак = cρdVdt,
! q$#
%% ) %&% ) %'% ) %(%
С этим значением полной (субстанциональной) производной выражение, представляющее собой дифференциальное уравнение переноса теплоты в движущейся жидкости (уравнение Фурье-Кирхгофа), принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
23 |
* |
+, |
, |
+- |
- |
+. |
. |
/0 |
45 |
20 online.mirea.ru