38. Сопряжённый оператор

Определениесопряженногооператора

Определение

Пусть V пространство со скалярным произведением, а A линейный оператор в V . Оператор B в V называется сопряженным к оператору A, если для любых векторов X, Y V выполнено равенство

Оператор, сопряженный к A, обозначается через A .

Из определения не вытекает ни то, что оператор, сопряженный к A, существует, ни то, что если он существует, то является линейным.

§ 38. Сопряженный оператор

Существованиеиединственностьсопряженногооператора(1)

Предложение о существовании, единственности и линейности сопряженного оператора

Пусть V пространство со скалярным произведением. Если A линейный оператор в V , то существует однозначно определенный оператор, сопряженный к A. Этот оператор линеен.

Доказательство. Существование. Если V = {0}, то для любых X, Y V

выполнены равенства

A(X) · Y = A(0) · Y = 0 · Y = 0 = X · 0 = X · O(Y),

и потому A = O. Пусть теперь V 6= {0}. Возьмем в V ортонормированный базис (E1, E2, . . . , EN ) и определим оператор B в V правилом:

Докажем, что B = A . Пусть X V и (λ1, λ2, . . . , λN ) координаты вектора X в базисе (E1 , E2 , . . . , EN ). Тогда

A(X) · Y = A(λ1 E1 + λ2 E2 + · · · + λN EN ) · Y =

= λ1 A(E1 ) + λ2 A(E2 ) + · · · + λN A(EN ) · Y =

= λ1 A(E1 ) · Y + λ2A(E2 ) · Y + · · · + λN A(EN ) · Y =

= λ1 A(E1 ) · Y + λ2 A(E2 ) · Y + · · · + λN A(EN ) · Y .

§ 38. Сопряженный оператор

Существованиеиединственностьсопряженногооператора(2)

В то же время, используя теорему о скалярном произведении в ортонормированном базисе (см. § 37), имеем

X · B(Y) = (λ1E1 + λ2E2 + · · · + λN EN ) ·

· Y · A(E1 ) E1 + Y · A(E2 ) E2 + · · · + Y · A(EN ) EN =

= λ1 · Y · A(E1 ) + λ2 · Y · A(E2 ) + · · · + λN · Y · A(EN ) =

= λ1 A(E1 ) · Y + λ2 A(E2 ) · Y + · · · + λN A(EN ) · Y .

Мы видим, что самые правые части в двух последних цепочках равенств совпали. Следовательно, совпадают и самые левые их части. Иными словами, A(X) · Y = X · B(Y) для любых X, Y V . Следовательно, B = A .

Единственность. Предположим, что B1 и B2 операторы, сопряженные к A. Тогда X · B1 (Y) = A(X) · Y = X · B2 (Y), т. е. X · B1 (Y) = X · B2 (Y) для любых X, Y V . Зафиксируем вектор Y V . Применяя ослабленный закон сокращения в пространстве со скалярным произведением (см. § 36) получаем, что B1 (Y) = B2(Y). Поскольку это равенство выполнено для любого Y V , получаем, что B1 = B2 .

§ 38. Сопряженный оператор

Линейностьсопряженногооператора

Линейность. Пусть Y1, Y2 V . Для любого X V получаем, что

A(X) · (Y1 + Y2) = X · A (Y1 + Y2) в силу (1) и

A(X) · (Y1 + Y2) = A(X) · Y1 + A(X) · Y2 =

= X · A (Y1) + X · A (Y2) = X · A (Y1) + A (Y2)

по аксиомам скалярного произведения и определению сопряженного оператора. Таким образом, X · A (Y1 + Y2) = X · A (Y1) + A (Y2) для любого X V . В силу ослабленного закона сокращения в пространстве со скалярным произведением (см. § 36) A (Y1 + Y2) = A (Y1) + A (Y2).

Пусть теперь λ произвольное число и Y V . Вновь получаем, что, для любого X V , с одной стороны, A(X) · (λY) = X · A (λY), а с другой

A(X) · (λY) = λ A(X) · Y = λ X · A (Y) = X · λ · A (Y) .

Таким образом, X · A (λY) = X · λ · A (Y) для любого X V . В силу ослабленного закона сокращения в пространстве со скалярным произведением (см. § 36) имеем A (λY) = λ · A (Y).

§ 38. Сопряженный оператор

Свойствасопряженныхоператоров(1)

Предложение о свойствах сопряженного оператора

Пусть V пространство со скалярным произведением, A и B линейные операторы в V , а λ произвольное число. Тогда:

1)(A + B) = A + B ;

2)(λA) = λA ;

3)(A ) = A;

4)(AB) = B A .

Доказательство. 1) С одной стороны, (A + B)(X) · Y = X · (A + B) (Y), а с другой

(A + B)(X) · Y = A(X) + B(X) · Y = A(X) · Y + B(X) · Y = = X · A (Y) + X · B (Y) = X · A (Y) + B (Y) .

Таким образом, X · (A + B) (Y) = X · A (Y) + X · B (Y) = X · A (Y) + B (Y)

для любого X V . Используя, как обычно, ослабленный закон сокращения в пространстве со скалярным произведением (см. § 36), имеем

(A + B) (Y) = A (Y) + B (Y) для любого Y V , т. е. (A + B) = A + B .

§ 38. Сопряженный оператор

Свойствасопряженныхоператоров(2)

2) С одной стороны (λA)(X) · Y = X · (λA) (Y), а с другой

(λA)(X) · Y = λ A(X) · Y = λ A(X) · Y = λ X · A (Y) = X · λA (Y) .

Таким образом, X · (λA) (Y) = X · λA (Y) для всякого X V . Применяя, как всегда, ослабленный закон сокращения в пространстве со скалярным произведением, имеем (λA) (Y) = λA (Y) для всякого Y V , т. е.

(λA) = λA .

3) Используя определение сопряженного оператора и аксиомы скалярного произведения, имеем

A (Y) · X = X · A (Y) = A(X) · Y = Y · A(X).

С другой стороны, применяя определение оператора, сопряженного к оператору A , имеем A (Y) · X = Y · (A ) (X). Следовательно,

Y · A(X) = Y · (A ) (X) для любого Y V . По ослабленному закону сокращения в пространстве со скалярным произведением, имеем A(X) = (A ) (X) для всякого X V , т. е. A = (A ) .

4) Для любых X, Y V , имеем

(AB)(X) · Y = B A(X) · Y = A(X) · B (Y) = X · A B (Y) = X · (B A )(Y).

В силу определения сопряженного оператора отсюда следует, что

(AB) = B A .

§ 38. Сопряженный оператор

Матрицасопряженногооператора(впроизвольномбазисе)

Предложение о матрице сопряженного оператора

Пусть V пространство со скалярным произведением, P базис в V , Aлинейный оператор в V , имеющий в базисе P матрицу A, а A сопряженный к A оператор в V , имеющий в базисе P матрицу A′. Тогда A′ = GP−1 A GP .

Доказательство. Пусть X, Y V . Запишем обе части равенства

A(X) · Y = X · A (Y) с помощью координат векторов в базисе P. Используя предложение о матрице Грама и скалярном произведении из § 36, получим

A(X) · Y = A(X) P · GP · [Y]P = A · [X]P · GP · [Y]P = [X]P · A · GP · [Y]P и X · A (Y) = [X]P · GP · [A (Y)]P = [X]P · GP · A′ · [Y]P = [X]P · GP · A′ · [Y]P .

Таким образом, [X]P · A · GP · [Y]P = [X]P · GP · A′ · [Y]P . Поскольку в качестве столбцов [X]P и [Y]P могут выступать любые матрицы размера

n × 1, где n = dim V , мы можем дважды применить ослабленный закон сокращения для матриц (см. § 25) и сделать вывод, что A · GP = GP · A′. Отсюда сразу следует доказываемое равенство.

§ 38. Сопряженный оператор

Матрицасопряженногооператора(вортонормированномбазисе)

Поскольку матрица Грама ортонормированного базиса единичная, из предложения о матрице сопряженного оператора непосредственно вытекает

Следствие о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе

Пусть V пространство со скалярным произведением, P ортонормированный базис в V , A линейный оператор в V , имеющий в базисе P матрицу A, а A сопряженный к A оператор в V , имеющий в базисе P матрицу A′. Тогда A′ = A .

Определение

Если A матрица над полем C, то матрица A называется эрмитово сопряженной к матрице A и обозначается A .

Таким образом,

в ортонормированном базисе матрицей оператора, сопряженного к A, является матрица, эрмитово сопряженная к матрице оператора A.

§ 38. Сопряженный оператор

Самосопряженныйоператор

Определение

Линейный оператор A в пространстве V со скалярным произведением называется самосопряженным, если A = A .

Приведем пример самосопряженного оператора. Пусть S подпространство евклидова пространства V . В силу теоремы об ортогональном разложении (см. § 37) V = S S . Следовательно, мы можем рассмотреть оператор проектирования на S параллельно S (см. пример 3 в § 29). Он называется оператором ортогонального проектирования на подпространство S и обозначается через PS . Пусть

X, Y V . Тогда X = X + X , Y = Y + Y и X · Y = X · Y = 0. Следовательно, с одной стороны,

PS (X), Y = (X , Y + Y ) = X · Y + X · Y = X · Y + 0 = X · Y ,

а с другой

X, PS (Y) = (X + X , Y ) = X · Y + X · Y = X · Y + 0 = X · Y .

Следовательно, PS (X), Y = X, PS (Y) , т. е. PS самосопряженнй оператор.

§ 38. Сопряженный оператор