- •Пп 26 однородные и неоднородные дифференциальные уравнения (олду и нлду) с постоянными коэффициентами
- •1. Решение олду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Олду n-го порядка с постоянными коэффициентами ,,
- •3.Решение нлду второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Принцип суперпозиции
- •4. Метод вариации произвольных постоянных для решения нлду второго порядка
- •5. Решение нлду n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов,
- •6. Метод вариации произвольных постоянных для нлду высших порядков
Принцип суперпозиции
Если , то.
4. Метод вариации произвольных постоянных для решения нлду второго порядка
Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ второго
порядка применяется, еслине совпадает с функциями, перечисленными в таблице решения НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.
Пусть известно общее решение соответствующего
ОЛДУ .
Общее решение НЛДУ имеет вид , гденаходятся из системы:
№ п/п |
ЗАДАЧИ ПП 26 4. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных |
Ответ |
№ 11 |
Найдите решение НЛДУ: . Решение: Найдем решение ОЛДУ: ,,,,. Частные решения ОЛДУ: . Найдем . Отсюда . | |
№ 12 |
Найдите решение задачи Коши ,,. Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение . , - пара комплексно сопряженных корней кратности 1. . 2) Общее решение неоднородного уравнения. , где и- неизвестные функции. Система дифференциальных уравнений для их определения имеет вид
Решая систему, получаем ,. Интегрируя эти уравнения с разделяющимися переменными, имеем ,; ,. . 3) Из начальных условий находим неизвестные постоянные: ,. Решение задачи Коши принимает вид: . . |
5. Решение нлду n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов,
Вид правой части |
Корни характеристического уравнения |
Вид частного решения |
1. - многочлен степениn |
а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r | |
2. |
а) число не является корнем б) число является корнем кратностиr | |
3. |
а) число не является корнем б) число является корнем кратностиr | |
4. |
а) число не является корнем б) число является корнем кратностиr |
+ |
5. |
а) число не является корнем б) число является корнем кратностиr |
Здесь - многочлены с неопределенными коэффициентами.
№ п/п |
ЗАДАЧИ ПП 26 5. Решение НЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов |
Ответ |
№ 13 |
Найдите решение НЛДУ . Решение: Характеристическое уравнение ,. Общее решение однородного уравнения: . Правая часть уравнения имеет вид: , где , корни характеристического уравнения не совпадают с . Частное решение ищем в виде: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим: , . Общее решение: . | |
№ 14 |
Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) Характеристическое уравнение: ,. Общее решение ОЛДУ: . 2) имеет вид: , . Частное решение НЛДУ ищем в виде: , ,. Подстановка этих значений в исходное уравнение дает откуда . . 3) Общее решение НЛДУ: | |
№ 15 |
Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. , , ,- три действительных корня кратности 1. Общее решение однородного уравнения вид . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. В правой части уравнения имеется сумма двух слагаемых, частное решение ищем в виде, гдеи- частные решения уравнений
соответственно. 2.1) Находим частное решение первого уравнения. , . Подставляя это выражение в уравнение, находим ,; 2.2) Находим частное решение второго уравнения. , . Подставляя в уравнение, получаем . Приравнивая коэффициенты при и, получаем,. Частное решение НЛДУ: . 3) Общее НЛДУ является суммой найденных решений: . . |